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1、3.3 整式【课程分析】本节课要求学生了解单项式、多项式、整式的概念,弄清它们与代数式之间的联系和区别,学会确定单项式和多项式的系数、次数及项,通过对单项式、多项式、整式概念的学习,培养学生观察、分析、归纳、概括的能力;学会将一个多项式按某个字母降幂或升幂排列,通过对多项式的升降幂排列提高学生的审美情操.【教材分析】1.地位与作用:单项式和多项式的概念以及升幂降幂排列是整式运算的起始课,学生已经学习了“有理数”和“字母表示数”,有了充分的认知前提;由此学习单项式及系数、次数、多项式的项数、次数等概念,它既是对前面所学知识的继续和拓展,更是随后学习合并同类项,整式的加减乘除运算、公式、乃至不等式
2、、函数等数学知识最基本的基础,有着承上启下的作用.2.重点与难点:本节的重点是单项式的系数与次数及多项式的项与次数;能把一个多项式按某个字母进行升(降)幂排列;本书的难点是单项式的概念的建立,多项式次数的确定.【教法分析】单项式、单项式的系数、单项式的次数等概念是代数式中的几个基本概念、教学中要让学生理解单项式的系数包括它前面的符号;对于“单独的一个数或字母也是单项式”,教师不必作过多的解释,教材中的注意事项应结合具体例子先讲解,后总结,而不是作为教案把学生套住,讲解时对学生从正面予以强化,不要从反面予以否定;多项式的次数是一个难点,教学中,最好对比单项式的次数进行教学,让学生切实能将多项式的
3、次数与单项式的次数区分开来,“升降幂的排列”的呈现,能培养学生的审美观,也有利于教师把握本节课的情感因素.教学中,教师应引导学生去发散思考,然后将思维聚合,在学生的思索中引入新知识,让学生体会到升(降)幂排列的可行性和必要性,教学时以启发谈话法为主,进行讲解及作用,达到掌握知识的目的.【学法分析】本节学习中要注意应通过观察,归纳、结合实例,对比理解单项式的系数与次数及多项式的项与次数,抓住概念的特征;在理解记住这些概念的同时,在解决问题时要有意识地联系这些概念,以这些概念为依据完成题目.3.3.1单项式【教学目标】知识与技能1.使学生理解单项式及单项式系数、次数的概念,并会找出单项式的系数、次
4、数.2.初步培养学生观察分析和归纳概括能力,使学生初步认识特殊与一般的辩证关系.过程与方法1.引导学生阅读教材,培养学生的自学能力.2.培养学生主动参与、积极交流的主体意识和乐于探索,勇于创新的科学精神.情感态度与价值观1.培养学生的探索精神.2.在平等的教学氛围中,通过学生之间,师生之间的交流合作与评价,拉近学生之间,师生之间的情感距离.【教学重难点】重点:理解单项式及单项式系数、次数的概念并会找出单项式的系数、次数.难点:识别单项式的系数与次数.【教学过程】一、创设情境,导入新课设计意图:通过现实与虚拟的故事引入,创设问题情境,引起学生的学习兴趣,引发学生思考.师:我国第一颗绕月卫星“嫦娥
5、一号”发射成功之后,数学世界里很多成员也深受鼓舞,航天迷8a正准备召开会议,研讨不久后的探月计划,已入会场的有:100t,6a2,a3,2.5x,-n,vt,a,9,a,-3x2y等,但主持人却把-3a+b,拒之门外这是为什么呢?让学生思考讨论,归纳特点,教师可适当点拨.师:要求学生概括这些代数式的相同点,引出单项式的概念数与字母的乘积组成的式子叫单项式.师:“9”是不是单项式?“a”是不是单项式?“0”是不是单项式?以引出单项式概念的补充单个的数或字母也称为单项式.师:是不是单项式?2x+1和a-b是不是单项式?由此更深一步了解分母中含有字母的式子不是单项式;数字和字母之间由加减号连接的也不
6、是单项式.现在你知道主持人为什么把-3a+b拒之门外了吧,因为这是一个单项式成员会议.二、推进新课设计意图:通过学生的自学讨论,再次对单项式的概念加深理解,同时对单项式的系数、次数有一个初步的认识.师:布置学生阅读教材95页概括中的一、二段.然后讨论回答以下几个问题:1.谈谈你对单项式的系数,次数的认识.2.单项式100t,6a2,a3,2.5x,-n,vt,a,-3x2y的系数,次数分别是什么?3.以上各单项式中,哪些是一次单项式,哪些是二次单项式,哪些是三次单项式?师:让学生指出识别单项式的系数时的注意点:当单项式的系数是“1”或“-1”时,常可将“1”省略不写;当系数是带分数时,应写成假
7、分数;计算次数时是所有字母的指数和;系数的指数不能计算进去.学生回答以上问题时,教师注意引导学生的思路和发现当中的问题,当场发现,及时解决.教师出示教材例1,让学生独立完成,以加深巩固对单项式及单项式次数、系数的认识.三、巩固练习设计意图:通过练习,进一步巩固本节所学的知识,加深对单项式的系数和次数的理解,突出重点,分解难点.教师出示练习题:用单项式填空,并指出它们的系数和次数.(1)每包书有12册,n包书有册;(2)底边长为a,高为h的三角形面积是;(3)一个长方体的长和宽都是a,高是h,它的体积是;(4)一台电视机原价是a元,现按原价的9折出售,现在的售价是;(5)一个长方形的长是0.9,
8、宽是a,这个长方形的面积是.学生完成后,教师根据反馈情况进行讲解.四、课堂小结设计意图:通过小结使学生对本节内容有一个完整的认识.最后提出问题,引发学生的课外思考.教师引导学生总结本课学习的内容,学生用自己的语言概括本课的内容,对单项式的概念、系数、次数等知识有清晰的认知和理解.师:用字母表示数,相同的字母在同一个式子中表示的意义相同,在不同的式子中可以有不同的含义.在上面的例子中,0.9a分别表示了售价和面积,你能赋予它其他的意义吗?五、课后作业你能用-2,字母x、y写出一个系数是-2的四次单项式吗?这样的式子有几个?【答案】能,这样的式子共有三个,分别是-2xy3,-2x2y2,-2x3y
9、.【板书设计】一、创设情境,导入新课二、推进新课三、巩固练习四、课堂小结五、课后作业3.3.2多项式 3.3.3升幂排列与降幂排列【教学目标】知识与技能1.掌握多项式的概念,进而理解整式的概念.2.掌握多项式的项数、次数的概念,并能熟练说出多项式的项数和次数.3.让学生了解什么是升幂排列和什么是降幂排列.4.使学生学会把一个多项式按某一字母作降幂或升幂排列.过程与方法1.通过具体的情景,发展学生的形象思维.2.通过观察、讨论、自主探究等形式,发展学生的抽象概括能力.3.通过对升、降幂排列的学习,培养学生的观察、探究能力,体会知识的系统性.情感态度与价值观1.通过交流,研讨活动,培养学生主动与他
10、人合作的意识.2.通过学生对升、降幂排列的学习,提高学生的审美情操,培养学生的和谐审美观.【教学重难点】重点:1.多项式的概念及多项式的项数、次数的概念. 2.把一个多项式按某一字母作降幂或升幂排列的方法.难点:1.多项式的次数. 2.把多项式进行降、升幂排列依据的理解.【教学过程】一、创设情境,导入新课设计意图:通过问题引发学生的思考,培养学生观察、分析能力,激发学生的学习兴趣,自然引入本节课的内容.师:出示问题(多媒体显示):1.观察一列数1、4、9、16、25、,第6个数是多少?第n个数呢?你能用含n的式子表示第n个数吗?生:思考后通过合作互助得出答案:第6个数是36,第n个数是n2.师
11、:出示问题:2.观察一列数2、5、10、17、26、第6个数是多少?第n个数呢?你能用含n的式子表示第n个数吗?生:思考后,小组内合作得出答案:第6个数是37,第n个数是n2+1.师:我们知道,n2是一个单项式,而n2+1不是单项式,它属于哪一类代数式呢?师:让学生运用加法的交换律,任意交换多项式x2+x+1中各项的位置,看看可以得到哪些不同的排列方式.生:学生分组去完成,并通过交流得出完整的结论.共有六种不同的排列形式:x2+x+1,x2+1+x,x+x2+1,x+1+x2,1+x+x2,1+x2+x.师:在以上这些排列方式中,你认为哪几种比较整齐?生:经过选择得出:x2+x+1,1+x+x
12、2.师:为什么这两种情况比较整齐,它们的排列有什么特点呢?这就是本节课我们要学习的内容.二、推进新课(一)多项式及多项式项数、次数的概念设计意图:通过问题引出多项式的概念,进而通过教师的导与学生的演很自然地得出多项式的项数、次数的概念;寓教于乐,增进师生的感情.师:出示问题,先填空,再看一看列出的式子有什么特点.列代数式:(1)长方形的长与宽分别为a、b,则长方形的周长是;(2)右图中阴影部分的面积为;(3)某班有男生x人,女生21人,则这个班的学生一共有人.生:自主得出结果,然后让学生公布答案:(1)2a+2b;(2)2ar-r2;(3)x+21.师:以上各式显然不是单项式,它们和单项式有联
13、系吗?生:讨论、交流、自由发言回答上面的问题.师:指出多项式的概念及相关的概念;每个单项式叫多项式的项,不含字母的项叫做常数项,一个多项式由几个单项式组成,我们就把它叫做几项式,如“2a+2b”是二项多项式.师:进一步引导学生探究多项式次数的概念.生:可以发挥自己的想象去探究给多项式的次数命名的方法,教师不必苛求学生怎样想,让学生大胆发言,只要能发挥他们的想象力即可.师:在这一过程教师可以引导,多项式的次数是不是也可以将所有的字母指数加在一块呢?如果字母多的话是不是太乱呢?如果这样的话我们是不是派个代表就行了,派谁当代表呢?引导学生说出,以次数最高项的次数作为代表.师:多项式中次数最高的项的次
14、数叫做多项式的次数,同单项式一样,一个多项式的次数是几,我们就称它为几次式,如“2x-3”可以叫一次二项式,2ar-r2可以叫二次二项式.(二)例题(出示多媒体)设计意图:通过对例题的探究和讨论,进一步加深学生对多项式的项数和次数的理解,增进学生分析和解决问题的能力,加深学生对用字母表示数的意义的理解.例1 指出下列多项式的项和次数.(1)a3-a2b+ab2-b2;(2)3n4-2n2+1.学生独立完成,教师巡视.注意:多项式的每一项包括它前面的符号;多项式的次数不是所有的次数之和.例2 指出下列多项式是几次几项式.(1)x3-x+1;(2)x3-2x2y2+3y2.教师提问学生说出答案.教
15、师指出:单项式和多项式统称整式.(三)升幂排列与降幂排列设计意图:通过观察归纳,获得数学经验和解决问题的方法,体会数学活动的探索性和创造性,通过自主学习探究,抽象概括升幂排列和降幂排列概念,理解掌握怎样把一个多项式进行升、降幂排列.师:(板书)升幂排列与降幂排列.师:任意交换多项式x2+x+1中各项的位置,可以得到6种不同的排列方式,在众多的排列方式中,像x2+x+1与1+x+x2这样的排列比较整齐.这两种排列有一个共同特点,那就是x的指数逐渐变小(或变大)的,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.因而我们常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母的指数大小顺序来排列.例如:把多项式
16、5x2+3x-2x3-1按x的指数从大到小的顺序排列,写成:-2x3+5x2+3x-1,叫做这个多项式按字母x的降幂排列;若按x的指数从小到大的顺序排列,写成:-1+3x+5x2-2x3,叫做这个多项式按字母x的升幂排列.生:结合教师的讲解,理解升、降幂排列,并说出在引例中的x2+x+1与1+x+x2分别是怎样排列的?师:让学生完成如下题目:(1)把多项式2r-1+r3-r2按r升幂排列;(2)把多项式a3+b2-3a2b-3ab3重新排列:按a升幂排列;按a降幂排列;(3)把多项式-1+2r2-x+x3y按x升幂排列.学生独立完成,然后组内交流评议.教师总结:(1)重新排列多项式时,每一项一
17、定要连同它的符号一起移动.(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂或降幂排列.三、课堂小结设计意图:进一步强化对多项式的概念的理解与掌握,通过小结使学生对本节课的内容有一个系统的认识和理解.通过小结进一步加深学生对降幂、升幂排列的理解,对本节内容有一个完整的认识.小结:说一说单项式、多项式、整式各有什么特点?它们三者之间的关系是怎样的?让学生谈谈自己对降、升幂排列的认识,以及在进行降、升幂排列时应注意的问题.四、课后作业1.(1)如果多项式-2amb+2x2-1是一个四次三项式,那么m=;(2)多项式-3x2y+2x2-1是一个次项式,其中常数项是,次数最高的项的次数是,二次项系数是.【答案】(1)3(2)33-1322.下列说法正确的是()A.a5-a3bc2+bc3是5次多项式 B.数-1不是单项式C.-3(x+y)是单项式 D.x+2是多项式【答案】D3.把多项式2a3b-4b2+5a2-3b3a重新按下列要求排列.(1)按a的降幂排列;(2)按b的升幂排列.【答案】(1)2a3b+5a2-3b3a-4b2;(2)5a2+2a3b-4b2-3b3a.【板书设计】一、创设情境,导入新课二、推进新课(一)多项式及多项式的项数、次数的概念(二)例题(三)升幂排列与降幂排列.三、课堂小结四、课后作业