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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 和差倍问题已知条件和差问题和倍问题差倍问题几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范畴已知 两个数 的和,差,倍数关系 和差 2=较小数公式较小数差 =较大数和 倍数 1= 小数差 倍数 -1= 小数和较小数 =较大数小数 倍数 =大数小数 倍数 =大数 和差 2=较大数和小数 =大数小数差 =大数较大数差 =较小数和较大数 =较小数关键问题和与差求出同一条件下的差与倍数和与倍数年龄问题的三个基本特点：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时削减的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；归一问题的基本特点：问题中有一个不变
2、的量,一般是那个“ 单一量”来表示；,题目一般用“ 照这样的速度” 等词语关键问题：依据题目中的条件确定并求出单一量；植树问题基本类型在 直 线 或 者 不 封 闭在直线或者不封闭在直线或者不封闭的封闭曲线上的曲线上植树,两端的曲线上植树,两曲线上植树,只有一端植树基本公式都植树端都不植树植树棵数 =段数 1 棵数 =段数 1 棵数 =段数棵距 段数 =总长棵距 段数 =总长棵距 段数 =总长关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是 把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设,即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假
3、设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的,从而找出显现这个差的缘由；再依据这两个差作适当的调整,消去显现的差；基本公式：把全部鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数 总头数总脚数） （兔脚数鸡脚数）把全部兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数 总头数） （兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差；盈亏问题 基本概念：肯定量的对象,依据某种标准分组,产生一种结果：依据另一种标准分组,又产 生一种结果,由于 分组的标准不同, 造成结果的差异, 由它们的关系求对象分组的组数或对象的总名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - -
4、 - - - - - 量基本思路： 先将两种安排方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,依据这个关系求出参与安排的总份数,然后依据题意求出对象的总量基此题型：一次有余数,另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数） 两次每份数的差 当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数） 两次每份数的差 当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数） 两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的；关键问题：确定对象总量和总的组数；牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1” 份,依据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的缘由,即可确定草的生长速度和
5、总草量；基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量；基本公式：生长量 =（较长时间 长时间牛头数- 较短时间 短时间牛头数） （长时间- 短时间）；总草量 =较长时间 长时间牛头数- 较长时间 生长量；周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中,某些特点有规律循环显现；周期：我们把连续两次显现所经过的时间叫周期；关键问题：确定循环周期；闰年：一年有366 天；100 整除,就年份必需能被400 整除；年份能被4 整除；假如年份能被平年：一年有365 天；100 整除,但不能被400 整除；份不能被 4 整除；假如年份能被平均数 基本公式：平均数 =总数量 总份
6、数 总数量 =平均数 总份数 总份数 =总数量 平均数 平均数 =基准数每一个数与基准数差的和 总份数 基本算法： 出总数量以及总份数,利用基本公式进行运算 . 基准数法： 依据给出的数之间的关系,确定一个基准数； 一般选与全部数比较接近的数或 者中间数为基准数；以基准数为标准,求全部给出数与基准数的差；再求出全部差的和；再 求出这些差的平均数；最终求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,详细关系 见基本公式抽屉原理抽屉原就一：假如把（n+1）个物体放在n 个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2 个物体；名师归纳总结 例：把 4 个物体放在3 个抽屉里, 也就是把4 分解成三个整数的和
7、,那么就有以下四种情形：第 2 页,共 7 页4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观看上面四种放物体的方式,我们会发觉一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2 个或多于2 个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体；抽屉原就二：假如把n 个物体放在m个抽屉里,其中nm,那么必有一个抽屉至少有: - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k=n/m +1个物体：当n 不能被 m整除时；k=n/m 个物体：当 n 能被 m整除时；懂得学问点： X 表示不超过 X 的最大整数；例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；关键问题
8、： 构造物体和抽屉； 也就是找到代表物体和抽屉的量,定义新运算而后依据抽屉原就进行运算；基本概念：定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算；基本思路： 严格依据新定义的运算规章,照基本运算过程、规律进行运算；把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按关键问题：正确懂得定义的运算符号的意义；留意事项：新的运算不肯定符合运算规律,特殊留意运算次序；每个新定义的运算符号只能在此题中使用；数列求和 等差数列：在一列数中,任意相邻 两个数的差是肯定的,这样的一列数,就叫做等差数列；基本概念：首项：等差数列的第一个数,一般用 a1表示；项数：等差数列的全部数的个数,一般用 n 表
9、示；d 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差,一般用 通项：表示数列中每一个数的公式,一般用 an表示；数列的和：这一数列全部数字的和,一般用 Sn表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn, 通项公式中涉及四个量,假如己知其中三个, 就可求出第四个； 求和公式中涉及四个量,假如己知其中三个,就可以求这第四个；基本公式：通项公式：an = a1+（n1）d；通项首项（项数一1 公差；数列和公式： s n,= a1+ a n n 2；数列和（首项末项） 项数2；项数公式： n= an+ a 1 d1；项数 =（末项 - 首项） 公差1；公差公式： d = （ana1）
10、（ n1）；公差 =（末项首项） （项数1）；关键问题：确定已知量和未知量,确定使用的公式；二进制及其应用十进制：用09 十个数字表示,逢10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的1+A12 表示 20,百位上的 2 表示 200；所以 234=200+30+4=2 10 2+3 10+4；=An 10 n-1 +An-1 10 n-2+An-2 10 n-3+An-3 10 n-4 +An-4 10 n-5+An-6 10 n-7 + +A3 100 10留意： N 0=； N =N（其中 N是任意自然数）2+A2 10二进制：用（2）= An 201 两个数字表示,逢 2 进
11、1；不同数位上的数字表示不同的含义；n-1+An-1 2 n-2+An-2 2 n-3+An-3 2 n-4+An-4 2 n-5 +An-6 2 n-7 + +A3 22+A2 21+A1 20 留意： An不是 0 就是 1；十进制化成二进制：依据二进制满2 进 1 的特点,用2 连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可；先找出不大于该数的2 的 n 次方, 再求它们的差, 再找不大于这个差的2 的 n 次方, 依此方法始终找到差为0,依据二进制绽开式特点即可写出；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - -
12、- - - - 加法乘法原理和几何计数加法原理：假如完成一件任务有 n 类方法,在第一类方法中有 m1 种不同方法,在其次类方法中有 m2 种不同方法 ,在第 n 类方法中有 mn 种不同方法,那么完成这件任务共有： m1+ m2. +m n 种不同的方法；关键问题：确定工作的分类方法；基本特点：每一种方法都可完成任务；乘法原理：假如完成一件任务需要分成 n 个步骤进行,做第 1 步有 m1种方法,不管第 1 步用哪一种方法,第 2 步总有 m2种方法 不管前面 n-1 步用哪种方法,第 n 步总有 mn 种方法,那么完成这件任务共有：m1 m2. mn 种不同的方法；关键问题：确定工作的完成
13、步骤；基本特点：每一步只能完成任务的一部分；直线：一点在直线或空间沿肯定方向或相反方向运动,形成的轨迹；直线特点：没有端点,没有长度；线段：直线上任意两点间的距离；这两点叫端点；线段特点：有两个端点,有长度；射线：把直线的一端无限延长；射线特点：只有一个端点；没有长度；数线段规律：总数1+2+3+ +（点数一 1）；数角规律 =1+2+3+ +（射线数一 1）；数长方形规律：个数 =长的线段数 宽的线段数：数长方形规律：个数 =1 1+2 2+3 3+ +行数 列数质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数；合数：一个数除了 1 和它本身之外,仍有别
14、的约数,这个数叫做合数；质因数：假如某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数；分解质因数： 把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数；通常用短除法分解质因数；任何一个合数分解质因数的结果是唯独的；分解质因数的标准表示形式：an；N=,其中 a1、a2、a3 an都是合数 N的质因数, 且 a1a2a3 求约数个数的公式：P=r1+1 r2+1 r3+1 rn+1 互质数：假如两个数的最大公约数是约数与倍数1,这两个数叫做互质数；约数和倍数：如整数 a 能够被 b 整除, a 叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的约数；公约数：几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数；其中最
15、大的一个,叫做这几个数的最大公约数；最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数；3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；4、 几个数都乘以一个自然数 以 m；m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘例如： 12 的约数有 1、2、 3、4、6、12；18 的约数有： 1、 2、3、6、9、 18；那么 12 和 18 的公约数有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是：求最大公约数基本方法：6,记作（ 12,18）=6；1、分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来；名
16、师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、短除法：先找公有的约数,然后相乘；3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数；公倍数：几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数；12 的倍数有： 12、24、36、 48 ；18 的倍数有： 18、36、54、 72 ；那么 12 和 18 的公倍数有： 36、72、108 ；那么 12 和 18 最小的公倍数是 36,记作 12 ,18=36 ；最小公倍数的性质： 1 、两个数的任意公倍数都是它们最小
17、公倍数的倍数； 2 、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积；求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法数的整除一、基本概念和符号：1、整除：假如一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a,记作 b|a ；2、常用符号：整除符号“| ” ,不能整除符号“” ；由于符号“ ”,所以的符号“ ”；二、整除判定方法：1.能被 2、5 整除：末位上的数字能被2、5 整除；7 整除；2.能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、25 整除；3.能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能
18、被8、125 整除；4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被3、9 整除；5.能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被6.逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除；11 整除；能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7.奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除；13 整除；逐次去掉最终一位数字并减去末位数字后能被11 整除；能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除；三、整除的性质：1. 假如 a、
19、b 能被 c 整除,那么（ a+b）与（ a-b ）也能被 c 整除；2. 假如 a 能被 b 整除, c 是整数,那么 a 乘以 c 也能被 b 整除；3. 假如 a 能被 b 整除, b 又能被 c 整除,那么 a 也能被 c 整除；4. 假如 a 能被 b、c 整除,那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除；余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r ,假如使得a b=q r ,且 0rb, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余数, q 叫做 a 除以 b 的不完全商；余数的性质：余数小于除数；名师归纳总结 如 a、 b 除以 c 的余数相同,就c|a-b或 c|b-a ；第
20、5 页,共 7 页a 与 b 的和除以 c 的余数等于a 除以 c 的余数加上b 除以 c 的余数的和除以c 的余数；a 与 b 的积除以 c 的余数等于a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以c 的余数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 余数、同余与周期一、同余的定义：如两个整数 a、b 除以 m的余数相同,就称 a、b 对于模 m同余；已知三个整数a、 b、m,假如 m|a-b ,就称 a、b 对于模 m同余,记作abmod m ,读作 a 同余于 b 模 m；二、同余的性质：自身性： aamod m ；对称性：如 传递性：如 和差性：
21、如 相乘性：如 乘方性：如abmod m ,就 bamod m ；abmod m,bcmod m,就 a cmod m ；abmod m ,cdmod m ,就 a+cb+dmod m ,a-c b-dmod m ；a bmod m,cdmod m,就 a c b dmod m；abmod m ,就 anb nmod m ；同倍性 : 如 a bmod m,整数 c,就 a c b cmod m c ；三、关于乘方的预备学问：如 A=a b,就 M A=M a b=（M a）d如 B=c+d 就 M B=M c+d=M c Mb 四、被 3、9、11 除后的余数特点：一个自然数 M,n 表示
22、M的各个数位上数字的和,就 Mnmod 9 或（ mod 3）；一个自然数 M,X 表示 M的各个奇数位上数字的和,Y 表示 M的各个偶数数位上数字的和,就 M Y-X 或 M11- （ X-Y） mod 11 ；五、费尔马小定理：假如 p 是质数（素数）,a 是自然数,且 a 不能被 p 整除,就 a p-11mod p；分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1” 平均分成几份,表示这样的一份或几份的数；分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外）,分数的大小不变；分数单位：把单位“1” 平均分成几份,表示这样一份的数；百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数；常
23、用方法：逆向思维方法：从题目供应条件的反方向（或结果）进行摸索；对应思维方法：找出题目中详细的量与它所占的率的直接对应关系；转化思维方法： 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答；最常见的是转换成比例和 转换成倍数关系；把不同的标准 （在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率；常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量；假设思维方法： 为明白题的便利, 可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,运算出相应的结果,然后再进行调整,求出最终结果；量不变思维方法：在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的；有以下三种情形：A、重量发生
24、变化,总量不变；B、总量发生变化,但其中有的重量不变；C、总量和重量都发生变化,但重量之间的差量不变化；替换思维方法：用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化；同倍率法：总量和重量之间依据同分率变化的规律进行处理；浓度配比法：一般应用于总量和重量都发生变化的状况；分数大小的比较 基本方法：通分分子法：使全部分数的分子相同,依据同分子分数大小和分母的关系比较；通分分母法：使全部分数的分母相同,依据同分母分数大小和分子的关系比较；基准数法：确定一个标准,使全部的分数都和它进行比较；分子和分母大小比较法：当分子和分母的差肯定时,分子或分母越大的分数值越大；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 倍率比较法： 当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小；（详细运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把全部分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较；倍数比较法：用一个数除以另一个数,结果得数和 1 进行比较；大小比较法：用一个分数减去另一个分数,得出的数和 0 比较；倒数比较法：利用倒数比较大小,然后确定原数的大小；基准数比较法：确定一个基准数,每一个数与基准数比较；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页