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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载习题五5-1 振动和波动有什么区分和联系 .平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同 .又有什么联系 .振动曲线和波形曲线有什么不同 . 解: 1 振动是指一个孤立的系统 也可是介质中的一个质元 在某固定平稳位置邻近所做的往复运动,系统离开平稳位置的位移是时间的周期性函数,即可表示为 y f t ；波动是振动在连续介质中的传播过程,此时介质中全部质元都在各自的平稳位置邻近作振动,因此介质中任一质元离开平稳位置的位移既是坐标位置 x ,又是时间 t 的函数,即 y f x , t 2 在谐振动方程 y f t 中只有一个独立
2、的变量时间 t ,它描述的是介质中一个质元偏离平稳位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程 y f x , t 中有两个独立变量,即坐标位置x和时间 t ,它描述的是介质中全部质元偏离平稳位置的位移随坐标和时间变化的规律当谐波方程yAcostx中的坐标位置给定后,即可得到该点的振动方程,而波源持u续不断地振动又是产生波动的必要条件之一3 振动曲线 y f t 描述的是一个质点的位移随时间变化的规律,因此,其纵轴为 y ,横轴为t；波动曲线 y f x , t 描述的是介质中全部质元的位移随位置,随时间变化的规律,其纵轴为y,横轴为x每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置 x 变化的规律,
3、即只能给出某一时刻的波形图,不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图5-2 波动方程y = A cos tx+x表示什么 .假如改写为y= A cos 0 的值u0 中的 utx0x又是什么意思 .假如 t 和x均增加,但相应的tx+u , uu不变,由此能从波动方程说明什么. x解: 波动方程中的 x / u 表示了介质中坐标位置为 x 的质元的振动落后于原点的时间；u 就表示x处质元比原点落后的振动位相；设 t 时刻的波动方程为xyt A cos t 0 u就 t t 时刻的波动方程为 x x y t t A cos t t 0 ux t 其表示在时刻 t ,位置x处的振动状态, 经过 t
4、后传播到 x u t 处所以在 u 中,x t 当 t,x均增加时,u 的值不会变化,而这正好说明白经过时间 t ,波形即向前传xy A cos t 0 播了 x u t 的距离,说明 u 描述的是一列行进中的波,故谓之行波方程5-3 波在介质中传播时,为什么介质元的动能和势能具有相同的位相,而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点. 解: 我们在争论波动能量时,实际上争论的是介质中某个小体积元dV 内全部质元的能名师归纳总结 量波动动能当然是指质元振动动能,其与振动速度平方成正比,波动势能就是指介质的形第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
5、- - 优秀学习资料欢迎下载yfx,t,变势能形变势能由介质的相对形变量 即应变量 打算假如取波动方程为就相对形变量 即应变量 为 y / x . 波动势能就是与 y/ x 的平方成正比由波动曲线图 题 5-3 图 可知,在波峰,波谷处,波动动能有微小 此处振动速度为零 ,而在该处的应变也为微小 该处 y / x 0 ,所以在波峰, 波谷处波动势能也为微小；在平稳位置处波动动能为极大 该处振动速度的极大 ,而在该处的应变也是最大 该处是曲线的拐点 ,当然波动势能也为最大 这就说明白在介质中波动动能与波动势能是同步变化的,即具有相同的量值题 5-3 图对于一个孤立的谐振动系统,是一个孤立的保守系
6、统,机械能守恒, 即振子的动能与势能之和保持为一个常数,而动能与势能在不断地转换,所以动能和势能不行能同步变化5-4 波动方程中, 坐标轴原点是否肯定要选在波源处 . t =0 时刻是否肯定是波源开头振动的xt时刻 . 波动方程写成 y = A cos u 时,波源肯定在坐标原点处吗 .在什么前提下波动方程才能写成这种形式 . 解: 由于坐标原点和开头计时时刻的选全完取是一种主观行为,所以在波动方程中,坐标原点不肯定要选在波源处,同样,t 0 的时刻也不肯定是波源开头振动的时刻；当波动方程y A cos t x 写成 u 时,坐标原点也不肯定是选在波源所在处的由于在此处对于波源的含义已做了拓展
7、,即在写波动方程时,我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源,只要把振动方程为已知的点选为坐标原点,即可得题示的波动方程5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上,描述各质点振动的什么物理量不同,什么物理量相同 . 2y 2 A cos x cos vt解: 取驻波方程为,就可知,在相邻两波节中的同一半波长上,描述各质点的振幅是不相同的,各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的,即振幅变化规律22 A cos x可表示为而在这同一半波长上,各质点的振动位相就是相同的,即以相邻两波节的介质为一段,同一段介质内各质点都有相同的振动位相,而相邻两段介质内的质点振动位相就相反5-6 波源向着观看者运动和观
8、看者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应,这两种情形有何区分 . 解: 波源向着观看者运动时,波面将被挤压, 波在介质中的波长,将被压缩变短, 如题 5-6图所示 ,因而观看者在单位时间内接收到的完整数目 u / 会增多,所以接收频率增高；而观看者向着波源运动时,波面外形不变,但观看者测到的波速增大,即 u u v B,因u而单位时间内通过观看者完整波的数目 也会增多,即接收频率也将增高简洁地说,前者是通过压缩波面 缩短波长 使频率增高, 后者就是观看者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而上升频率名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - -
9、- - - - - 优秀学习资料 欢迎下载题 5-6 图多普勒效应5-7 一平面简谐波沿 x 轴负向传播,波长 =1.0 m,原点处质点的振动频率为 =2. 0 Hz,振幅 A 0.1m,且在 t =0 时恰好通过平稳位置向 y 轴负向运动,求此平面波的波动方程解: 由题知 t 0 时原点处质点的振动状态为 y 0 0 , v 0 0,故知原点的振动初相为 2 , 取y A cos 2 t x 0 波动方程为 T 就有xy 0 . 1 cos 2 2 t 1 20 1. cos 4 t 2 x 2 m5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波,波动方程为y = A cos Bt Cx ,其中 A
10、,B ,C为正值恒量求：1 波的振幅、波速、频率、周期与波长；2 写出传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程；3 任一时刻,在波的传播方向上相距为 d 的两点的位相差解: 1 已知平面简谐波的波动方程y A cos Bt Cx x 0 将上式与波动方程的标准形式yAcos 2t2x比较,可知：B名师归纳总结 波振幅为 A ,频率2,第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 波长2,波速uB优秀学习资料欢迎下载CC,波动周期T12ClB2 将xl代入波动方程即可得到该点的振动方程y A cos3 因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差
11、为Bt2x2x1将x 2x 1d,及2代入上式,即得CCd 5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y =0.05cos10t4x ,式中x,y以米计, t以秒计求：1 波的波速、频率和波长；2 绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；.这一位相所代表的运3 求x=0.2m处质点在 t =1s 时的位相, 它是原点在哪一时刻的位相动状态在 t =1.25s 时刻到达哪一点. u2 5.ms1解: 1将题给方程与标准式yAcos2t2x相比,得振幅A.0 05m ,频率5s1,波长.0 5m ,波速2 绳上各点的最大振速,最大加速度分别为vmaxA100 .0505.ms1s20.92s 时
12、的位相,amax2A1020.0552m3x0 2.m处的振动比原点落后的时间为x0.20.08su2.508故x.02m ,t1s 时的位相就是原点x0 ,在0t10 .即92. 设这一位相所代表的运动状态在t1 . 25s 时刻到达x点,就xx 1u tt 1.0 25-10 如题 5-10 图是沿x 轴传播的平面余弦波在.2 5 .1 25 1 0. 0 . 825 mt 时刻的波形曲线1 如波沿 x 轴正向传播,该时刻 O, A , B ,C各点的振动位相是多少 振动 位相又是多少 . .2 如波沿 x 轴负向传播,上述各点的解: 1波沿x轴正向传播,就在t 时刻,有题 5-10 图名
13、师归纳总结 对于O点：y O0,v O0,O2第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对于A点：yAA ,v A0优秀学习资料欢迎下载,A0对于 B 点：y B 0 , v B 0,B23对于C点：y C 0 , v C 0,C2 取负值：表示 A、B、C 点位相,应落后于 O 点的位相 2 波沿x轴负向传播,就在 t 时刻,有对于O点：y O 0 , v O 0,O2对于A点：y A A , v A 0,A 0对于 B 点：y B 0 , v B 0,B23对于 C 点：y C 0 , v C 0,C2 此处取正值表示 A、B、C
14、点位相超前于O点的位相 5-11 一列平面余弦波沿 x 轴正向传播,波速为 5m s-1,波长为 2m,原点处质点的振动曲线如题 5-11 图所示1 写出波动方程；2 作出 t =0 时的波形图及距离波源 0.5m 处质点的振动曲线3解: 1 由题 5-11a 图知,A 0 1. m,且 t 0 时,y 0 0 , v 0 0,02,u 5 2 5.又 2 Hz ,就 2 5题 5-11 图a 取yAcostx0,u就波动方程为2 t0时的波形如题y01.cos 5 tx3m525-11b 图题 5-11 图b 题 5-11 图c 名师归纳总结 将x.05 m代入波动方程,得该点处的振动方程为
15、30.1cos 5tm第 5 页,共 12 页y0.1cos 5t50 .05.52如题 5-11c 图所示- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载a 和b ,波5-12 如题 5-12 图所示,已知t =0 时和 t =0.5s 时的波形曲线分别为图中曲线 沿x轴正向传播,试依据图中绘出的条件求：1 波动方程；2 P 点的振动方程解: 1 由题 5-12 图可知,A.01m ,24 m ,又,t0时,y00 ,v 00,02,而ux12ms1,2u0.5Hz ,t0 .54故波动方程为y01.costx2m10 ms -1,22 将x
16、P1m 代入上式,即得P 点振动方程为.1costmy0 .1cost220题 5-12 图5-13 图所示,已知波速为5-13 一列机械波沿x 轴正向传播, t =0 时的波形如题波长为 2m,求：1 波动方程；2 P 点的振动方程及振动曲线；0时,y 0A,v 00,03,由题知2 m ,3 P 点的坐标；4 P 点回到平稳位置所需的最短时间解: 由题 5-13 图可知A.01m ,t25Hzu10u10ms1,就22101 波动方程为y01.cos 10tx3m10题 5-13 图名师归纳总结 2 由图知,t0时,yPA,vP0,P4 P 点的位相应落后于0 点,故取第 6 页,共 12
17、 页23负值 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P点振动方程为y p0 .优秀学习资料欢迎下载1 cos 10t433 10t5x 103|t043解得x1 .67m34 依据 2 的结果可作出旋转矢量图如题相角题 5-13 图a 53 2 6所属最短时间为5-13 图a ,就由P点回到平稳位置应经受的位t5/61sP点的振动方程为10125-14 如题 5-14 图所示,有一平面简谐波在空间传播,已知y = A cost0 01 分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；2 写出距 P 点距离为b的Q点的振动方程解: 1如题 5-14 图a ,就波动方
18、程为如图 b ,就波动方程为yAcostlxuu题 5-14 图名师归纳总结 yAcostx0第 7 页,共 12 页u2 如题 5-14 图a ,就Q点的振动方程为bAQ A cos t 0 u如题 5-14 图 b ,就Q点的振动方程为AQAcostb0u5-15 已知平面简谐波的波动方程为yAcos4t2xSI 1 写出 t =4.2 s时各波峰位置的坐标式,并求此时离原点最近一个波峰的位置,该波峰何- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时通过原点 . 时的波形曲线优秀学习资料欢迎下载2 画出 t =4.2 s解:1 波峰位置坐标应满意 4 t 2
19、x 2 k解得 x k 8 . 4 m k 0 , 1 , 2 , 所以离原点最近的波峰位置为 0 . 4 m x4 t 2 t t 1u 故知 u 2 m s , 0 4.t 0 . 22 s ,这就是说该波峰在 0 2. s 前通过原点,那么从计时时刻算起,就应是 .4 2 0 2. 4 s,即该波峰是在 4 s 时通过原点的题 5-15 图2 4,u2ms1,uTu21m ,又x0处,t4 . 2s 时,04.24168.y0Acos44 .20.8A又,当yA时,x17,就应有16 . 8解得 x2 0 1.x17t4 2.s 时的波形图如题5-15 图所示m ,故5-16 题 5-1
20、6 图中 a 表示t =0 时刻的波形图, b 表示原点 x =0 处质元的振动曲线,试求 此波的波动方程,并画出 x =2m处质元的振动曲线解: 由题 5-16b 图所示振动曲线可知T2s ,A.0 2m ,且t0时,y00,v00故知02, 再结合题 5-16a 图所示波动曲线可知,该列波沿x 轴负向传播,且4 m ,如取yAcos2tx0T题 5-16 图就波动方程为名师归纳总结 y0 .2cos2tx218.0 10-3Jm-2s-1,第 8 页,共 12 页245-17 一平面余弦波,沿直径为 频率为 300 Hz ,波速为 300m14cm的圆柱形管传播,波的强度为 s-1,求：1
21、 波的平均能量密度和最大能量密度. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 两个相邻同相面之间有多少波的能量 . 解: 1Iwu26105Jm33. 24107JS 较S 位相超前wI18.0103u300wmax2w12.104Jm2 WVw1dw1d2u944610510.1423005-18 如题 5-18 图所示,4300S 和S 为两相干波源,振幅均为A ,相距 4 ,2 ,求：1 S 外侧各点的合振幅和强度；2 S 外侧各点的合振幅和强度解：（ 1）在 S 外侧,距离 S 为 1r的点,S 1 S 传到该 P 点引起的位
22、相差为2r 1 r 1 2 42A A 1 A 1 0 , I A 0（2）在 S 外侧 . 距离 S 为 1r 的点,S 1 S 传到该点引起的位相差 . 2 r 2 r 2 02 42 2A A 1 A 1 2 A 1 , I A 4 A 15- 19 如题 5-19 图所示,设 B 点发出的平面横波沿 BP 方向传播,它在 B 点的振动方程为3y 1 2 10 cos 2 t ;C点发出的平面横波沿 CP 方向传播,它在 C 点的振动方程为3y 2 2 10 cos 2 t ,此题中y以 m计, t 以 s 计设 BP 0.4m,CP0.5 m,波速u=0.2ms-1,求：1 两波传到
23、P 点时的位相差；2 当这两列波的振动方向相同时,P 处合振动的振幅；*3 当这两列波的振动方向相互垂直时,P 处合振动的振幅2 2 1 CP BP 解: 1 CP BP u2 0 . 5 0 . 4 00 . 2题 5-19 图名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2P点是相长干涉,且振动方向相同,所以3 如两振动方向垂直,APA 1A 23 4 10 m0 ,这时合振动轨迹是通过,象限的直线,又两分振动位相差为所以合振幅为2 2 3 3A A 1 A 2 2A 1 2 2 10 2 . 83
24、10 m5-20 一平面简谐波沿 x 轴正向传播, 如题 5-20 图所示 已知振幅为 A ,频率为 波速为u1 如 t =0 时,原点 O 处质元正好由平稳位置向位移正方向运动,写出此波的波动方程；2 如从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波动方程,并求 x 轴上因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置解: 1t0时,y0t0 ,v 00,02故波动方程为yAcos2v x u2m 题 5-20 图2 入射波传到反射面时的振动位相为 即将x3代入 232,再考虑到波由44波疏入射而在波密界面上反射,存在半波缺失,所以反射波在界面处的位相为23O 点的位相为2 ,故42如仍以
25、O 点为原点,就反射波在O点处的位相为25342,因只考虑2以内的位相角,反射波在反射波的波动方程为名师归纳总结 y反Acos2tx2第 10 页,共 12 页u此时驻波方程为yAcos2 tx2Acos2tx2uu2Acos2uxcos2t2故波节位置为2ux2x2k1 2故x k1 4k0,1 ,2 , 1 3依据题意, k 只能取 1,0,即 x 4 , 45-20 一驻波方程为 y =0.02cos20 x cos750 t SI ,求：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载1 形成此驻波的两列行波的振幅和波速；2 相邻两波节
26、间距离解: 1取驻波方程为x =0 处为波 的位相差,故y2Acos2uxcos2t故知A0 .020 .01m22750,就750,2u202u22750/2375.ms120202 u2/200.10.314m 所以相邻两波节间距离x20 . 157m1y=0.1cos13 t +0.0079 x SI 5-22 在弦上传播的横波,它的波动方程为试写出一个波动方程,使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波,并在 节解: 为使合成驻波在x0处形成波节,就要反射波在x0处与入射波有反射波的波动方程为y 20 1.cos 13 t0 . 0079 x5-23 两列波在一根很长的细绳上传播,它们
27、的波动方程分别为1y=0.06cosx4tSI, y =0.06cosx4tSI1 试证明绳子将作驻波式振动,并求波节、波腹的位置；2 波腹处的振幅多大.x=1.2m 处振幅多大 . 解: 1 它们的合成波为y 0 . 06 cos x 4 0 . 06 cos x 4 t 0 . 12 cos x cos 4 t显现了变量的分别,符合驻波方程特点,故绳子在作驻波振动令 x k,就 x k, k=0, 1, 2 此即波腹的位置；1令 x k 1 2 , 就 x k 1 2,k 0 , ,1 2 , ,此即波节的位置2 波腹处振幅最大,即为 .0 12 m；x 1 2. m 处的振幅由下式打算,
28、即A 驻 0 . 12 cos 1 2. .0 097 m5-24 汽车驶过车站时,车站上的观测者测得汽笛声频率由 1200Hz 变到了 1000 Hz ,设空气中声速为 330ms-1,求汽车的速率解: 设汽车的速度为 v ,汽车在驶近车站时,车站收到的频率为u1 0u svu2 0汽车驶离车站时,车站收到的频率为 u v s联立以上两式,得名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5-25 两列火车分别以1u1优秀学习资料欢迎下载600 Hz2 300 1200 1000 302 1200 100 m s 1h-1 和 54 kmh-1 的速度相向而行,第一列火车发出一个s-1,求其次列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相172km的汽笛声,如声速为340 m遇后分别是多少. v 120ms1,接收鸣笛的火车车速为v 215ms1,就两者解: 设鸣笛火车的车速为相遇前收到的频率为名师归纳总结 uv 2v2034015600665Hz第 12 页,共 12 页1uv 134020两车相遇之后收到的频率为1u u034015600541Hzv 134020- - - - - - -