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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点导数及其应用1、函数的平均变化率为 y f f x 2 f x 1 f x 1 x f x 1 x x x 2 x 1 x注 1：其中 x 是自变量的转变量,可正,可负,可零；注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的 平均 速度；2 、 导 函 数 的 概 念 : 函 数 y f x 在 x x 0 处 的 瞬 时 变 化 率 是lim ylim f x 0 x f x 0 ,就称函数 y f x 在点 x 0 处可导,并把这个极限叫x 0 x x 0 x做 y f x 在 x 0 处 的 导 数 , 记 作 f x 0
2、 或 y | x x 0, 即 f x 0 =lim y lim f x 0 x f x 0 . x 0 x x 0 x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率；4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；（ 3）边际成本；5、常见的函数导数和积分公式名师归纳总结 函数N*1导函数不定积分第 1 页,共 7 页ycy0 yxnnynxn1n x dxxn1n1yaxa0,ayaxlnax a dxaxlnayex1,x0yx ex e dxx eylogaxyx1aa0,alnylnxy11dxlnxxxysinxycosxcosxdxsinxyco
3、sxysinxsinxdxcosx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、常见的导数和定积分运算公式名师总结优秀学问点:如 fx , g x 均可导（可积）,就有：和差的导数运算 f x g x f g x f x g x f f x g 积的导数运算特殊地：Cf x Cf x f f f x g2 0g x g x 商的导数运算特殊地：1 g2 g x g x复合函数的导数 y x y u u xbaf x dx（ 其 中微积分基本定理F x f x ）b b ba f 1 f 2 x dx a f x dx a f 2 x dx和差的积分运算 b b
4、特殊地：a kf x dx k a f x dx k为常数 b c b积分的区间可加性a f x dx a f x dx c f x dx 其中 a c b 7.用导数求函数单调区间的步骤 :求函数 fx的导数 f x 令 f x 0,解不等式,得 x 的范畴就是递增区间 .令 f x 0,解不等式,得 x 的范畴,就是递减区间； 注：求单调区间之前肯定要先看原函数的定义域；8.求可导函数 fx的极值的步骤： 1确定函数的定义域； 2 求函数 fx的导数f 3求方程 f x =0 的根4 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成如干小开区间,并列成表格,检查 f / x 在方程根左右
5、的值的符号,假如左正右负,那么 fx在这个根处取得极大值；假如左负右正,那么 fx在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号,那么fx在这个根处无极值9.利用导数求函数的最值的步骤:求fx在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：求fx在a,b上的极值；将fx的各极值与f a ,f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值；所求的最值点；注：实际问题的开区间唯独极值点就是名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点求和取极限（“以直代10求曲边梯形的思想和步骤 :分割近似代替曲”的思想）11.定积分的性
6、质 依据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质：性质 1 b a1 dxba x dxbfm 性质 5 如fx 0 ,xa ,b,就bfx dx0a推广：bf1 f2 fm x dxbf1 x dxbf2aaaa推广 :bf x dxc 1f x dxc 2f x dxbf x dxaac 1c k12定积分的取值情形 :定积分的值可能取正值,也可能取负值,仍可能是0. l ）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时, 定积分的值取正值,且等于x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于 x 轴上方图形面积的相反 数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于
7、 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为 0,且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的 面积13物理中常用的微积分学问（1）位移的导数为速 度,速度的导数为加速度；（2）力的积分为功；课后练习题：名师归纳总结 1. 已知函数 fx=ax 2c,且f1=2,就 a 的值为（）第 3 页,共 7 页A.1 B.2C.1 D. 0 2. 已知函数f x 在x1处的导数为 3,就f x 的解析式可能为1x= Ax-1 3+3x-1 2 B2x-1C2x-1 Dx-1 3. 已 知 函 数f x 在x1处 的 导 数 为1 , 就lim x 0f1xf3 x 321A3 B3C3D2- -
8、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点（）4. 函数 y=2x1 3 在 x=0 处的导数是A.0 B.1 C.3 D.6 5函数ycos2x 在点40,处的切线方程是2y0D4x（）2y0B4x2y0C4x2y0A4x6.曲线ycos 0x3 2与坐标轴围成的面积是（）5A.4 B. 2C.3 D.2 17一质点做直线运动 ,由始点起经过 ts 后的距离为 s=4 t 4-4t 3+16t 2,就速度为零的时刻是（）A.4s末 B.8s末 C.0s与 8s末 D.0s,4s,8s末38. 8函数 y 1 3 x x 有（）A.微小值 -1,极大
9、值 1 B. 微小值 -2,极大值 3 C. 微小值 -1,极大值 3 D. 微小值 -2,极大值 2 9. 已知自由下落物体的速度为 V=gt,就物体从 t=0 到 t 0 所走过的路程为（）1 2 1 2 1 2A2 gt 0Bgt 0 2C3 gt 0D4 gt 010假如 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧拉长 6cm,就力所做的功为（）A0.28J B0.12J C0.26J D0.18J 二、填空题 共 5 小题,每道题 5 分,共 25 分11函数yf3 xx2x 的单调区间为 _； 23 xax2x , f1=9,就a_. 12设函数113. 物体的运动方
10、程是 s=3 t 32t25,就物体在 t=3 时的瞬时速度为 _. 14.有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,就矩形场地的最大面积是_m 2. 1503 2x 2k dx 10, 就 k, 81 3 xdx_. 三、解答题16运算以下定积分；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）3 4|x2| dx名师总结优秀学问点e1x1dx 1（2）217. 求f x ln1x 2的单调递增区间；12 x18. 某旅行社在暑假期间推出如下旅行团组团方法：达到100 人的团体,每人收费 1000 元；假如团体的人数
11、超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超过 180 人,如何组团可使旅行社的收费最多 . 不到100 人不组团 19物体 A以速度v3 t21在始终线上运动, 在此直线上与物体A 动身的同时,物体 B 在物体 A的正前方 5m处以v10 t 的速度与 A同向运动,问两物体何时相遇？相遇时物体 A 的走过的路程是多少？（时间单位为：参考答案：s,速度单位为： m/s）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一挑选题： 1-5：AABDD 名师总结优秀学问点6-10： CDCAD 二11
12、.递增区间为：（-,113 ）,（1,+）递减区间为（3 ,1）1（注：递增区间不能写成： （-,3 ）（ 1,+）16 12. 6 13. 3 14. 4515. 1 ,43 4|x2 | dx=2（4x2）dx3（2x2）dx三16.解： 1 =12 x2 |2+1 2x23 2 |24229=22 原式=ln1xe | 21=lneln1=1 17. 解：由函数的定义域可知,又所以1x20即1x1f x ln1x21ln1x2ln1x21x22f 1 2 12x212x1x21x2xx2xx令f 0,得x1或0x1综上所述,f x 的单调递增区间为（ 0,1）18解：设参与旅行的人数为
13、就依题意有x,旅行团收费为 y 名师归纳总结 又令f 1500f x =1000x-5 （x-100 ）x （100x180 ）第 6 页,共 7 页10x0得 x=150 f100100000,f150112500,f180108000- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以当参与人数为名师总结优秀学问点112500 元；150 人时,旅行团的收费最高,可达19.设 A 追上 B 时,所用的时间为0t依题意有5S AS B5即t 03 t21 dxt010 tdx500t03t05 t02t0t0215t0210t=5 s 名师归纳总结 所以S =5 t025=130 m 第 7 页,共 7 页- - - - - - -