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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数字滤波器2.1概述电力系统信号XtS tNtNtSt有效信号,排除Nt干扰信号滤波：从Xt中提取出S tXtYtS t：滤波器 物理器件,运放等,模拟滤波程序算法数字滤波数字滤波一般框图Xt数字处理Yt微机爱护中, 数字处理的结果无须在变成模拟量,转换器；数字滤波的优点：（） 特性一样性好（） 不受温度影响（） 不存在阻抗匹配问题 微机爱护一般都采纳数字滤波器；所以不需要名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 问题：前置低通滤波器的作用？2-2 连续时间系统的频率特性和
2、冲击响应一、 基本学问和定义1.系统： xt T . tt1bx2yt 1tyt=Txt tayby2t2. 线形系统：Tax1ytt13.时不变系统：Txt4.因果系统：输出变化不会发生在输入变化之前5.稳固系统：1. 冲激函数 t二、 连续时间系统的频率响应连续系统：Y f X f H fX f , Y f 为输入输出信号 x t y t 的付氏变换成频谱；H f 系统的频率特性,为复数j f H f A f eA f 幅频特性 f 相频特性H f 物理意义：输入中任一频率 f 1经系统后,幅值乘了A 1f ,相位移了 f 1H f 是对滤波器的 充分描述；三连续系统的冲激响应名师归纳总结
3、 输入t 输出h t称为冲激响应htTt第 2 页,共 23 页t可以表示为由于t 具有筛分性质所以x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x tx t d的输出y tTx tx Ttdxtxhtd可见,只要知道ht,利用该式就可以运算出对任意输入yt所以h t也是对系统的充分描述；等式右端的积分称为卷积,记为ytx t*h tht*xthxtd四冲激响应和频率特性之间的关系；H f与ht互为付氏变换对；五卷积的图解法和滤波的响应时间（略） P30 图 2-8,图 2-9 六周期性时间函数的付氏变换和付氏级数；周期函数付氏级数离散频谱非周期确定可积付氏变换
4、连续频谱周期函数付氏变换是否存在？答案是确定的,但含有冲激函数例 2-2 ft=1 付氏变换2F1TFf0F1例 2-3 复指数信号f tj ef 02ft 0ftF j e例 2-4 正弦和余弦信号名师归纳总结 - f 0f 0第 3 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Fcos2f0t1ff0ff02Fsin2f0t1ff0ff0t- f 0f 02j例 2-5周期为 T 的任意周期函数f TFfTt.Fnfn0f例 2-6 一串等间隔的冲激的付氏变换先求付氏级数 变换2-3 离散时间信号的频谱XnTSxt采样、模数转换XnT S=x
5、ttnT SXnTS不连续,严格意义上的付氏变换不存在,它的付氏变换定义为：名师归纳总结 XejT SxnTsej2fnTSxnTsejnTS或第 4 页,共 23 页nn或 f ,是由于 f 总是以此处,付氏变换变量写成ejTS,而不写成ejT S=ej2fTS的形式显现；nTs现推导XejTS与Xt的频谱Xf的关系定义：x*tXtntnTsnXnTstFx*t=X *fXnTsej2fnTS的关系n可见X *fXejT S再考虑X *f与Xf- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x*t=ntnTsX *f=Xf*FnntnTs nfsX *f =Xf*
6、fsfnfs =fs Xf*nfnfs f -fs fs/2 fs 0 fs 2fs -f fs/2 fs 即X *f为Xf的同期延拓如 f fs/2 时,X f =0,就在-fs/2 到 fs/2 范畴内,X * f 与 X f完全相同,也就是说,X nT S 可以唯独的确定出 x t；已知 X nT S,可求出 X * f,对 X * f 在-fs/2 ,fs/2 范畴内积分,就可求出 x t如 f fs/2 时,X f 0,就 X * f 在-fs/2 ,fs/2 范畴内的值与 X f 的值不同,这样就无法依据 X * f 求出 x t,即 X nT S 无法复原出 x t,这就是采样定
7、理；2-4 Z 变换连续时间函数、拉氏变换名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - Fs0ftestdts= j与付氏变换相比,拉氏变换相当于将 f t 先乘上 e t 后再做付氏变换,称为收敛因子,=0 的拉氏变换就是付氏变换, 在 S 复平面上,=0 相当于虚轴,所以虚轴上的拉氏变换就是付氏变换；对离散信号,也有拉氏变换,定义为：X e s T sn x n T s e sn T s由于变换后 S 总以 e ST 的形式显现,令 Z=e ST ,进行变量置换nX z n x n T s z称为 Z 变换,也就是离散信号
8、的付氏变换；S 平面和 Z 平面的影射关系如下图, S 平面上的虚轴影射到 Z 平面上是一个单位圆；jwIm zRe z zS eTs ejw Ts0jw eTsS 沿着虚轴在 -到+变化时, Z 沿着单位圆变化多圈；所以单位圆上的 Z 变换既离散信号的付氏变换；2-5 离散时间系统的单位冲激响应和频率特性名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一离散时间系统输入和输出都定义在离散域的系统称为离散系统；xnT. yn二单位冲激序列和单位冲激响应单位冲激序列的定义： T s1 n=0 hnTs,称为该系统的单位冲一个离散系
9、统对0n0 T s 的响应记作激响应,即：hnTsTnTsnTskT sx4 xnTskxkTsx-2 x-1 x0 x1 x2 x3 对应的输出为：名师归纳总结 ynT s=TXnT snT skT s第 7 页,共 23 页TxkT skkkT sTnTskTs=x=kxkT s.hnTskTs- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =khkTsxnTskTs=hnTssXnTsXnThnTs=三、离散时间系统的频率特性ynTs=kxkTs.hnTskTs取付氏变化Y e j T S = x kT s h nT s kT s e jn T Sn n= x
10、 kT s h nT s kT s je nT s kT s e j kT sk n= x kT s e j kT s h nT s kT s e j nT s kT s k n= X e j T SH e j T SH e j T S 就是离散系统的频率特性,它与单位冲激响应 h nT s 构成付氏变换对,H e j T S 是以 fs 为周期的周期函数；它在-fs/2 到 fs/2 内的外形描述了它的滤波特性；hnT s的 Z 变换是：称为系统的传递函数HZhnTsZnn2-6 简洁滤波单元及其级联滤波一. 简洁滤波单元1.概念：用加减法构成的线性滤波单元；2.基本假设：输入信号是由稳恒直
11、流,稳恒基波加上稳恒整次谐名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 波构成；3.适用范畴：中低压网络的慢速爱护；4.作用原理（1）.加法滤波：设需要滤除的谐波周期是TN,就可以用当前采样值与半个周期前的采样值相加将其滤除；由上图fntfntT 2n0例：设谐波次数为 5,就TnT 514ms如采样周期为Ts1 ms就五次谐波一个周期采样四点, 半个周期采样两点, 离散化的滤名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 波公式为f5kTs f5kTs2 Ts
12、 f5kTsf5k2 Ts0既只要将当前采样值与两点前的采样值相加,即可滤除五次谐 波；（2）.减法滤波 用当前采样值与某次谐波一个周期前的采样值相减,就可以 滤除某次谐波；二. 基本形式及其特性（一） .相减（差分）滤波单元 差分方程为：ynxnxnk对其做 Z 变换,得到转换函数（传递函数）HZYZs1ZKkwtsjsinkwtsXZ令Ze jw t代入上式,可得|HjW eTS|1ejkwtc1cos所以幅频特性为：名师归纳总结 |Hjw t es |1cos kw t2 s sin2kw ts第 10 页,共 23 页22coskwts21coskwts22|sinkw t2s|- -
13、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - wtsarctg1sin kw t scos kw ts2 12fkts对微机爱护来说,最为关怀的是幅频特性；式中, W= 2 f 为输入信号的角频率,1 Ts 为采样周期,f s t s通带要求, f s为 f 1 的整数倍,既 f s N 1f . N=1,2, 由上述公式,可以绘出 | H e jw t s | 的波形设 可 以 滤 除 的 谐 波 的 次 数 为 m , 相 位 的 角 频 率 为 w , 就wmw 1m2f1将该频率代入幅频特性表达式,结果应为零,既名师归纳总结 - - - - - - -第 11
14、页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - |HJM eW1 TS|2|sinkmf1|0sf既 km f 1 I（I=0,1, ,f sm Ik ff s1 I m 0可见, m 的取值为 0,m 0 , 2 m 0 ,.既直流重量, m0 次及 m0 的整数倍次谐波均可以滤除例如：N=12,K=4,就 m0=3 这时直流,三次,六次,九次,十二次谐波均可有差分滤波y（n）=x（n）-x（n-4）滤除；名师归纳总结 如KN,就可滤去基波、直流及全部整数次谐波,稳态无输出,；第 12 页,共 23 页故障是输出一个周波的故障分量- - - - - - -精选学习资料 -
15、- - - - - - - - 可以用来启动爱护、选相及构成反应故障重量的继电爱护；（二）相加滤波单元差分方程为：名师归纳总结 y n x nx nk s|曲线如下第 13 页,共 23 页Hz 1zkkw t2|Hjw ets |2|cos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为滤除 m 次谐波,令wmw 1,代入上式使|Hjw ets|0可得m 12 I kf f s1 1 2 I m 0nm 02 kI 0m 0所以无论 NK 取何值均不能滤除直流,能滤除的最低次谐波为m 0 2 Nk,仍能滤除次 m 0 3, m 0 , 5 m 0 谐波例如： N
16、=12 K=2 就可滤除三次,九次,十五次谐波如取kN,也可算出突变量；2（三）积分滤波单元差分方程：ynxnxn1 x n2 xnk转移函数：名师归纳总结 幅频特性zjw eHz 1z1z2zk11 kz 1z1 mf1tsI1第 14 页,共 23 页ts1 wts|Hejw ts |sinksin2 w t 2sw 1为零,要求 k1 2欲使 M 次谐波w mm2且2mf1tsI22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 既m IN 1 k1且mI2NkN1的整数倍就是说,这种滤波器能够滤除除N 的整数倍次之外,次谐波；例如：如 N=12,K=5 就k
17、N12就积分滤波器能够滤除除二次,四次,六次,八次,十次,十四次等谐波；但不能滤除零次,十二次,二十四次及各种奇次谐波；实际上,为满意采样定理,在每周采样12 点的情形下,输入信号中最高谐波频率为既最高为六次谐波,上述滤波单元能滤去2,4,6次；保留直流基波, 3,5 次谐波；（四）加减滤波单元差分方程为ynxnxn1 xn21kxnk转移函数为：Hz 1 1 zk 1 z1 1 zkz21kzk11 1K 为奇数代入,得幅频特性；欲滤去 M 次谐波,就名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 且kf1 2smf1I1m
18、I1kN1I101,2fm1I21 2mI21NI21,0fs2既能够滤除（I21）N次谐波之外,kN1的整数倍谐波2例如： N=12,K=3 就I12kNI11223I1可能的取值有, 0,3,6,9,12 14（I1 2）N（I1）1212I16可能的取值有, 6,18 2所以上述滤波器可以滤除 3,9,12 再如：N=12,K=5 6,18 次之外, 3 的整数倍的谐波： 0,I1kN12I1可能的取值有, 0,2,4,6, I21N12I16可能的取值有, 6,18, 2所以上述滤波器可以滤除 2,4,8, 2,K 为偶数：6,18 次之外, 2 的整数倍的谐波： 0,名师归纳总结 -
19、 - - - - - -第 16 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - Hz ts1|zk11wts|1kzcosk|Hjw e|2 m tscos2为滤去 m 次谐波,要求且k1 mf1I11mI11kN1mfs122NI22可见, m 的取值范畴不包括零,所以无法滤除直溜重量,设 N=12,K=5 就m 1I1 2 12 6 可能的取值为 1,3,5,7 I 21 2 N 可能的取值为 6,18 不会发生冲突,可滤除基波,3 次,5 次等谐波 简洁滤波器的特点（1）运算简洁（2）梳妆特性,频谱上有较大旁瓣；仅能滤除某些整数次谐波,频 率变化时误差大；（3）时延c
20、反比于m0 ,m 01ck故有结论k（4）运算结构为非递归结构, 冲击响应有限 （书上的第四条仅对一,二 两种滤波器适用, 积分；加减交替却有极点, 都存在稳固问名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题；）三 简洁滤波单元的组合优点：运算简洁；简洁滤波缺点：特性旁瓣大,误差大；并联：应用不多 组合 级联：上级的输出作为下级的输入；M 个简洁滤波单元组成的级联滤波器；转移函数：幅频特性 ：Hz MHiz iz |i1|H e jw ts|M|Hi1相频特性 ：M名师归纳总结 时延特性：wts i1iwtsAM1iA第
21、18 页,共 23 页Mci1ci运算量（指最少加减法数）为：i- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 级联后,仍具有简洁梳妆的几个主要特点,（旁瓣下降）以例说明；但性能会有较大改善例一：设采样频率为f s600 Hz,要求完全滤除直流及2,3,4,6 次谐波重量；m 0解：f s600 Hz所以Nf s12点K=6 的差分滤波,1f欲滤除直流及2,4, 6,次谐波,可用N122K6mIm 0可能取值 0,2,4,6 H2z 1z6 欲滤除三次谐波,可选取m 0N1123z3K31H4z1z2z 1K=3 的积分滤波；mIm 0可能取值 3,6, 可见,只要
22、两极级联就能够完成上述要求,但此时仍会有较大旁瓣,为减小旁瓣, 可分别增加一个对高频部分衰减较大的差分和积分 滤波；H1z 1z262.4可滤除直流重量和6 次K=2；m 0NKH3z 1z1zK=2 m 0N1可滤除 4 次K这样级联后,可使旁瓣进一步减小,滤波成效有较大改善；2-7 非递归型数字滤波器名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1概念 非递归型数字滤波器是将输入信号和滤波器的单位冲激响应 作卷积而实现的；（）ynNTsk0hkTsxnTskTs 因果系统, K0 时无输入,也无输出,所以下限取为0；（）
23、h T s 必需是有限长的,否就N运算量无穷大,无法实现；（）等式右端与 Y 无关,非递归；非递归肯定要求有限冲激响 应；2设计；（）样本设计依据频域要求： 带通（中心频率截止频率） 带阻高通低通；找到一个合适的h f和ht；h T s 代入上式, 即可实现滤（）按采样频率对h t采样,得到波；要求：名师归纳总结 在对ht采样时,假如满意：第 20 页,共 23 页H f0当|f|1f s时-1f s到1f s范畴内将2的条件,就所设计的数字滤波器的频率特性在22和H f的外形完全相同,否就由于频率混淆,数字滤波器的特性|Hjw eTs|与H f不同；- - - - - - -精选学习资料 -
24、 - - - - - - - - 在满意|f|1f s2|Hf|0和|x f|0Ts情形下tnTs|f|1f s2可以证明ynyt|xxtht,Hfs ytsn Ts h nTs,He jw TynT证明过程略（）截断h f求出的ht往往是无限长h T s必需是有限长的,但依据的,必需截断从而使jw h eTs与h f有所不同例 2-7,对比书上讲；窗函数的挑选：A）窗函数的外形 矩形窗最为直观,但截断后得到的频率特性会有较大的旁瓣,吉布斯现象比较严峻, 解决方法是用比较圆滑的窗口截 取 h t ,如 Tukey 窗Hanning 窗等；B）截取长度 截取的长度增加, 特性抱负, 但运算量增加
25、, 所以应依据实名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 际情形折中；（）详细实现,对其采样得ht采样得h T s抱负的h 1t与窗函数相乘后得到h 2t,ht的不连续点,取实际值的一半；2-8 递归型数字滤波器x非递归：hnTs取项增加,特性好sT ss、n抱负特性n 减小特性变差（截断）n 增加运算工作量大,对硬件要求高递归：ynTs=NbkynTskTs+MakxnTskTsk1k0即ynT s不 仅 取 决 于 输 入xnTs、xnTs、nTs2 TsxnTsMTs,而且仍用到了前几次的输出值ynTTynTs2
26、Ts、ynT sNTs,所以称为递归滤波器；对上式两端求付氏变换,YejjTS=N1bkYejTsejkT sT sM0akXejT sejkT skkHeT SYejjTS1MakejT sk0jT sXeNbkek1由于递归作用, 一般情形下, 递归型数字滤波器都是冲激响应的名师归纳总结 无限的,称为无限冲激响应滤波器IIR ；t=0 时发生故第 22 页,共 23 页非递归： nN 后,ynT s取决于 0 以后的输入,如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 障,就 NTs 后,ynTs不再反映故障前状态；递归：ynTs始终受影响递归型数字滤波器的设计：1）2）3）4）5）设计 Hf, 以分式多项式的形式显现付氏变换求ht对ht采样,得hnTs离散付氏变换求出HejT S通过与 2-40 式比较,求出a , kb k及 M、N 例题自己看2-9 数字滤波器的挑选微机爱护倾向于用 FIR,非递归此外,数字滤波器仍可以用零极点配置法等方法设计,此处略名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 23 页