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1、1初三数学各章节重要知识点概要相似三角形1. 比例的性质(1) 比例的基本性质：(2) 反比性质：(3) 更比性质 : 或(4) 合比性质 : (5) 等比性质 : 且2. 三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍；（2）重心的画法：两条中线的交点. 3、黄金分割是指把一条线段(AB) 分成两条线段，使其中较大的线段(AC) 是原线段(AB) 与较小线段(BC) 的比例中项(AC2AB BC)， C点为黄金分割点. 4、相似三角形判定平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角
2、形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似 . （5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a 0 时， ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，
3、研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少 . 3. 一元二次方程根的判别式: 当 ax2+bx+c=0 (a 0)时， =b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式. 请注意以下等价命题：0 有两个不等的实根；=0 有两个相等的实根；0 无实根；
4、4平均增长率问题-应用题的类型题之一（设增长率为x） ： (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x)2. （2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年 =总和 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2旋转1、概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角2、旋转的性
5、质：（1）旋转前后的两个图形是全等形；（2）两个对应点到旋转中心的距离相等（3）两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3 、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点 4 、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分（2）关于中心对称的两个图形是全等图形 5 、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 6
6、、坐标系中的中心对称圆1、 （要求深刻理解、熟练运用）1. 垂径定理及推论: 如图：有五个元素， “知二可推三” ；需记忆其中四个定理，即“垂径定理” “中径定理”“弧径定理” “中垂定理” . 几何表达式举例： CD 过圆心CD AB 3. “角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦” ； “等弦对等角” ；“等角对等弧” ； “等弧对等角” ；“等弧对等弦” ； “等弦对等 ( 优，劣 ) 弧” ；“等弦对等弦心距” ； “等弦心距对等弦”. 几何表达式举例：(1) AOB= COD AB = CD (2) AB = CD AOB= COD （3）ABCDEO平分优弧过圆心垂直于
7、弦平分弦平分劣弧ACBCADBD=AE=BEABCDEFO两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点O的对称点 P（ -x ，-y ） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 34圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；( 如图 ) （3） “等弧对等角” “等角对等弧” ；（4） “直径对直角” “直角对直径” ；(
8、如图 ) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 .( 如图 ) （ 1）（2） （3）（4）几何表达式举例：（1） ACB=21AOB （2） AB 是直径 ACB=90 （3） ACB=90 AB 是直径（4） CD=AD=BD ABC是 Rt5圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形CDE =ABC C+ A =1806切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素， “知二可推一” ；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直
9、于经过切点的半径；几何表达式举例：（1） OC是半径OC AB AB是切线（2） OC是半径AB是切线OC AB 9相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. （1）（2）几何表达式举例：（1） PAPB=PC PD （2） AB是直径PCAB PC2=PAPB 11关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. （ 1）（2）几何表达式举例：（1） O1，O2是圆心O1O2垂直平分 AB （2） 1 、2相切O1
10、、A、O2三点一线12正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径 RN ， 边心距 rn ，边长 an ，内角n ， 边数 n；（2）有关计算在RtAOC 中进行 . 公式举例：(1) n =n360；ABCOABO1O2AO1O2n n ABCDEOarnnnRABCDPABCPOABCDEABCOABCDABCO是半径垂直是切线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4ABO(2) n1802n二定理：1不在一直线
11、上的三个点确定一个圆. 2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分为 2n 个全等的直角三角形.三公式：1. 有关的计算：（1）圆的周长C=2R； （2）弧长 L=180Rn； （3）圆的面积S=R2. （4）扇形面积S扇形=LR21360Rn2；（5）弓形面积S弓形=扇形面积 SAOBAOB的面积 . （如图）2. 圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2 rh ； (r:底面半径； h: 圆柱高 ) （2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =LR21=rR. （L=2 r ，R是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1 圆
12、是轴对称和中心对称图形. 2 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心. 4 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 d r ；直线与圆相切 d=r ；直线与圆相离 d r. 5证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线. 三角函数1. 正弦、余弦、正切的定义如图：在 RtABC中， C=90，如果锐角A确定：锐角 A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA ，即sinAaAc的对边斜边；锐角 A的
13、邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即cosAbAc的邻边斜边；锐角 A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA ，即tanAaAAb的对边的邻边.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5函数值的取值范围是0sinA 1，0 cosA1，tanA 0. 2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如 A+B=90，那么： sinA=cosB ； cosA=sinB ；同角三角函数关系： sin2
14、Acos2A=1 ； tanA=3.30 、45、 60角的三角函数值A 304560sinA cosA tanA 1 4、解直角三角形角角关系：两锐角互余，即A+B=90；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即二次函数1、二次函数的定义一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数 . 2、二次函数的图象与性质a. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6其中；. （
15、以上式子a0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0 ， 0) (轴) (0 ，) (，0) (，) () b. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上； 当时，开口向下；相等， 抛物线的开口大小、形状相同 . (2) 平行于轴( 或重合 ) 的直线记作. 特别地，轴记作直线. c. 抛物线20()yaxbxc a中，, ,a b c的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样 . (2)和共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；(
16、即、同号 ) 时，对称轴在轴左侧；( 即、异号 ) 时，对称轴在轴右侧 . (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置 . 当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，) ：，抛物线经过原点；，与轴交于正半轴；，与轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在轴右侧，则. d. 用待定系数法求二次函数的解析式：(1) 一般式：（a0） . 已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2) 顶点式：（a0） . 已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
17、心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7(可以看成的图象平移后所对应的函数.) (3) “交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a0） .( 由此得根与系数的关系：). 3、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1) 当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2) 当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3) 当二次函数的
18、图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解4、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题. 在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1) 建立适当的平面直角坐标系；(2) 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3) 用待定系数法求出抛物线的关系式；(4) 利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -