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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载山东省沂水县第一中学高考数学一轮复习学案：数系的扩充与复数的引入导学目标 ： 1. 懂得复数的基本概念 .2. 懂得复数相等的充要条件 .3. 明白复数的代数表示法及其几何意义 .4. 会进行复数代数形式的四就运算 .5. 明白复数代数形式的加、减运算的几何意义自主梳理1数系的扩充数系扩充的脉络是： _,用集合符号表示为 _._. _,实际上前者是后者的真子集2复数的有关概念1 复数的概念形如 a bi a,bR 的数叫复数,其中 a,b 分别是它的 _和 _如_,就 abi 为实数,如 _,就 abi 为虚数,如 _ ,就
2、abi 为纯虚数2 复数相等： a bi c di . _ a,b,c,dR 3 共轭复数： a bi 与 cdi 共轭 . _ a,b,c, dR 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面 _叫做实轴, _叫做虚轴 实轴上的点表示_ ；除原点外,虚轴上的点都表示_ ；各象限内的点都表示_复数集C 和复平面内 _组成的集合是一一对应的,复数集C 与复平面内全部以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的5 复数的模向量 OZ的模r 叫做复数zabi的模,记作 _或_,即 | z| | abi| _. 3复数的运算1 复数的加、减、乘、除运算法就 设 z1a bi ,z2c di a,b
3、,c,dR,就 加法： z1z2 abi cdi _；减法： z1z2 abi cdi _；乘法： z1z2 abi cdi _；除法：z1 z2abi cdiab cd cd cd_ c di 0 2 复数加法的运算定律 复数的加法满意交换律、结合律,即对任何 z2 z3_. 自我检测z1、z2、z3C,有 z1z2 _, z1名师归纳总结 12022 山东 复数 z2i 2i i为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 第 1 页,共 9 页A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限22022 广东 设复数 z 满意 1 i z2,其中 i 为虚数单位,就z 等于 A1i B1 i C22i
4、 D2 2i - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 32022 大纲全国学习必备欢迎下载z z z1 等于 复数 z1i , z 为 z 的共轭复数,就A 2i B i 为虚数单位 ,就z 的实部是Ci iD2i 2i 3i 41i 等于 42022 重庆 复数A1 21 2i B1 21 2i C.1 21 2i D.1 21 2i 52022 江苏 设复数z 满意i z1 3 2ii_.探究点一复数的基本概念a 分别取什么值例 1设 mR,复数 z2 i m 2 31 i m21 i 1 如 z 为实数,就m_；2 如 z 为纯虚数,就m_. 变式迁移
5、1 已知复数 za 27a6a 21 a25a6i aR ,试求实数时, z 分别为：1 实数； 2 虚数； 3 纯虚数探究点二 复数的四就运算名师归纳总结 例 22022 全国 复数3i2等于 D 34i 第 2 页,共 9 页1iA 34i B 34i C34i 变式迁移2 运算：11i3；22；2 i313i2. 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 32022 唐山模拟 运算：学习必备欢迎下载2 012 2 4223i2 1i. 1 23i117i变式迁移3 12022 四川 i 是虚数单位,运算i i2i3 等于 A 1 B1 C i Di
6、 22022 福建 i 是虚数单位, 1i1i 4 等于 Ai B i C1 D 1 1i 1i3i 是虚数单位,22等于 Ai B i C1 D 1 探究点三 复数的点坐标表示例 4 如下列图,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C分别表示 0,32i ,24i ,试求：1 AO所表示的复数,所表示的复数；名师归纳总结 2 对角线 CA所表示的复数；第 3 页,共 9 页3 求 B 点对应的复数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载变式迁移 4 2022 江苏苏北四市期末 复数 z134i ,z20,z3c2 c 6i 在复平面内对应的
7、点分别为 A,B,C,如 BAC是钝角, 就实数 c 的取值范畴为 _实数 b1. 复数 a b虚数b纯虚数 a2 乘 法 法 就 ： a bi c di ac bd ad bci ； 除 法 法 就 ：abi cdiabc 2d cd2acbd c 2d 2 bcad c 2d 2 i cdi 0 特殊地： a bi 2 a 2 2 abi b 2a 2b 2 2 abi , abi abi a 2b 2. 3进行复数运算时,熟记以下结果有助于简化运算过程：1i 4n1,i 4n1i ,i 4n2 1,i 4n 3 i ,i ni n1i n2i n30 nN ；1i 1i21 i 22i
8、,1 i 2 2i ,1ii ,1i i. 满分： 75 分 一、挑选题 每道题 5 分,共 25 分 12022 江西 如 z12i i,就复数 z 等于 A 2i B 2i C2i D2 i 22022 北京 在复平面内,复数 65i , 23i 对应的点分别为 A,B. 如 C为线段AB的中点,就点 C对应的复数是 A 48i B8 2i C24i D4 i 32022 平顶山调研 如 3 4,5 4 ,就复数 cos sin sin cos i在复平面内所对应的点在 A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限2 i42022 课标全国 复数 12i的共轭复数是 3 3A5i B. 5
9、i C i Di 5下面四个命题：0 比 i 大；两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数；名师归纳总结 xyi 1i 的充要条件为xy1；第 4 页,共 9 页假如让实数a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A0 B1 C2 学习必备欢迎下载D3 二、填空题 每道题 4 分,共 12 分 i z2 6已知 z12i ,z213i ,就复数 z1的虚部为 _7已知复数 z1m2i ,z234i ,如z1 z2为实数,就实数 m_. 82022 上海九校联考 复数 zxyi x,yR 满意
10、 | z1| x,就复数 z 对应的点 Z x,y 的轨迹方程为 _三、解答题 共 38 分 912 分 已知 | z| z12i ,求复数 z. 10 12 分 2022 上海 已知复数z1 满意 z1 21 i 1ii为虚数单位 ,复数z2的虚部为 2,且 z1z2是实数,求 z2. m m11 14 分 已知 mR,复数 zm1 m 2 2m3i ,当 m为何值时, 1 zR；2 z 是纯虚数； 3 z 对应的点位于复平面其次象限；4 z 对应的点在直线 x y30 上名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备
11、 欢迎下载学案 72 数系的扩充与复数的引入自主梳理1自然数系有理数系实数系NQR2.1 实部O 虚部b 0 b 0a0 且 b 02 a c,bd3 a c, b d4 x 轴y 轴实数纯虚数非纯虚数全部的点原点5| z| | abi| a 2b 23 1 a c b di a c b di ac bd ad bci acbdcbcad 22d2 z2z1z1 z2z3 自我检测1D z2i 2i244i 13 54 5i ,5复数 z 对应的点的坐标为3 5,4 5 ,在第四象限 2B 方法一设 zxyi ,就1 i xyi xy xyi 2,故应有xy2,解得x 1,故 z1i. xy0
12、,y 1,方法二z2 1i1i. 3B z1i , z 1i , zz | z|22,zz z 121 i 1 i. 4C i2i3i4 1i 1i 1i1i1 i1i1 21 2i. 251 解析 设 zabi a、bR ,由 i z1 32i ,得 b a 1i 32i , a 12, a1. 课堂活动区名师归纳总结 例 1解题导引依据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可分第 6 页,共 9 页别求出相应的m值利用概念解题时,要看准实部与虚部11或 2 2 12解析z 2 m 23m2 m 23m2i. 1 如 z 为实数,就m 23m20. m1 或 2. 2 如
13、z 为纯虚数,就2m 23m 20,m 23m2 0,解得 m1 2. 变式迁移1 解1 当 z 为实数时,就有a 25a60,a 21 0a 1或 a6, a 6,即 a6 时, z 为实数a 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 当 z 为虚数时,就有 a 25a6 0 且 a 21 0,a 1 且 a 6 且 a 1. a 1 且 a 6.当 a , 1 1,1 1,6 6 , 时,z 为虚数a 25a6 0a 1且a 6a 27a63 当 z 为纯虚数时,有 a 2 10,a6 . a 1a 21 0不存在实数 a 使 z
14、为纯虚数例 2 解题导引 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算 合并同类项 ,复数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要留意 i 的幂的性质,区分 abi 2a 22abi b 2 与 ab 2a 22abb 2；在除法运算中,关键是“ 分母实数化” 分子、分母同乘以分母的共轭复数 ,此时要留意区分 abi abi a 2b 2 与 ab a b a 2b 2,防止实数中的相关公式与复数运算混淆,造成运算失误3i24i 2A 1i 22 221 2i 2 34i. 1 3i变式迁移 2 解 1 i 3i 13i. 234i 33i22 i 2 ii1 22i555i. 13i 3
15、i3332323i41 344 i. 例 3 解题导引 留意 i n nN 的周期性, i 4k1i ,i 4k2 1,i 4k3 i ,i 4k1 其1i 1i中 kN ,以及 1 i 22i ,1 i 2 2i ,1ii ,1i i 等运算结果在解题中的应用,运算的最终结果化为 abi a,bR 的形式2 32 3 222解 原式1 23 22 1 006117i13i 113i 1 006 0 i i 1 006 i i 2i 1 1i. 变式迁移 3 1A 2C 3D 解析 1i i 2i 3i 1 i 1. 2 1i 1i 4 1i 1i 2 22i 2i 21. 3 1i21i21
16、i2i 1i 1i 1i 2i2i2i 1. 例 4 解题导引 依据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解学习必备欢迎下载1 AO OA, AO 所表示的复数为32i. BC AO, BC所表示的复数为32i. 2 CAOAOC, CA所表示的复数为3 2i 24i 5 2i. 3 OBOAABOAOC ,OB 表示的复数为 3 2i 24i 16i ,即 B 点对应的复数为 16i. 4
17、9变式迁移 4 c 11且 c 9解析 在复平面内三点坐标分别为 A3,4 ,B0,0 ,C c,2c6 ,由 BAC是钝角得0 且 B、A、C 不共线,由 3,4 c3,2 c 10 11,其中当 49c9时, AC 6,8 2AB ,三点共线,故 c 9.课后练习区1D z12i2i ,i1 z 2i. 2C 复数 65i 对应 A点的坐标为 6,5,23i 对应 B 点的坐标为 2,3 由中点坐标公式知 C点坐标为 2,4,点 C对应的复数为 24i. 3 53B 由三角函数线学问得当 4,4 时,sin cos 0,应选 B. 4C 方法一2i 12i2i 4i 25i ,2i 12i
18、的共轭复数为i. i. 方法二2i 12i2i2i1 2i12i2i 12i的共轭复数为i. 5A 1 中实数与虚数不能比较大小；2 两个复数互为共轭复数时其和为实数,共轭复数；但两个复数的和为实数时这两个复数不肯定是3 xyi 1i 的充要条件为x y1 是错误的,由于没有标明x,y 是否是实数；4 当 a0 时,没有纯虚数和它对应 6 1 解析i z2 z1i 13i5 i ,2i故虚部为 1. 名师归纳总结 73 2m3 2. 第 8 页,共 9 页解析z2m 2i 34i253m8254m是实数, 64m0,故 m8y22x1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - -
19、 - - - - 学习必备 欢迎下载解析 由| z1| x 得 | x1 yi| x,故 x1 2y 2x 2,x0,整理得 y 2 2x1. 9解 设 z abi a、bR ,就a2b2 abi 12i.5分 由两复数相等的充要条件得a 2b 2a 1,b 2,解得a3 2.10分 b2,3所以所求复数为 z22i.12 分 10解 z1 21 i 1i . z12i.4 分 设 z2a 2i ,a R,就 z1z22 i a 2i 2 a2 4 ai. z1z2 R, a4. z242i.12 分 11解 1 当 z 为实数时,就有 m 22m 30 且 m1 0得 m 3,故当 m 3 时, zR.2 分 m m02 当 z 为纯虚数时,就有 m1m 22m3 0.解得 m 0,或 m 2. 当 m 0 或 m2 时, z 为纯虚数 4 分 名师归纳总结 分 3 当 z 对应的点位于复平面其次象限时,就有,m m0解得 m3 或 1m2,故当 m3 或 1m2 时, z 对应的点位于复平面的其次象限4 当 z 对应的点在直线xy30 上时,就有m mm1 m 22m3 30,得m m 22mm10,解得 m 0 或 m15. 当 m 0 或 m15时,点 Z 在直线 xy3 0 上 14 分 - - - - - - -