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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载平面直角坐标系和极坐标 为了需要,复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一 平面直角坐标系 平面直角坐标系的建立：为了确定平面上点的位置：在平面上选定两条相互垂直的直线,并指定正方向（用箭头表示）；以两直线的交点 O 作为原点；选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；这样,我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图 1-2-1）图 1-2-1 这两条相互垂直的直线叫做坐标轴,习惯上把其中的一条放在水平的位置上,从左到右的方向是正方向,这条轴叫做横坐标轴,简称为横轴或x 轴,与 x 轴垂直的一条叫做纵坐标轴,简称为纵轴或y
2、 轴,从下到上的方向是它的正方向；2. 平面上点的坐标名师归纳总结 - - - - - - -建立了直角坐标系后,平面上的任意一点P 的位置就可以确定了,方法是这样的：由P 点分别作y 轴和 x轴的平行线,交点分别是M 和 N,设 x 轴上的有向线段OM 的数量是 a,y 轴上有向线段ON 的数量是 b,我们称 a 是 P 点的横坐标, b 是 P 点的纵坐标,写成形式（a,b）,这样的一对有序实数（a,b）叫做 P 点的坐标；反过来,易知任意一对实数（a,b）,都可以确定平面上的一个点. 由上面的分析,可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下,对于平面上的任意一点P,我们可以得到唯独的有序实
3、数对（a, b）来和它对应；反过来,对于任何有序实数对,在平面上就能确定唯独的点,这个点的坐标是（a,b）；就是说,平面上的点和有序实数对（a, b）之间建立了一一对应得关系；我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分,每一部分是一个象限；依据数轴上有向线段的数量,可以懂得第I 象限内的点的坐标的符号是（+,+）,第 II 象限内的是（,+）,第 III 象限内的是（,） ,第 IV 象限内的是（ +,）；坐标轴上的点不属于任何象限,在x 轴的正方向上的点,坐标的符号是（+,0）；负方向上的点的坐标符号是（,0）；同理,在 y 轴的正方向上的点,坐标的符号是（0,+）；负方向上的点的坐标符
4、号是（0,）；第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载二 极坐标极坐标是另外一种重要的坐标法,有些几何轨迹题假如用极坐标法处理,它的方程比用直角坐标系来得简单,在数学分析中常常用到；在平面的直角坐标系中,是以一对实数来确定平面上一点的位置,现在表达另一种坐标,它对平面上的一点的位置虽然也是用有序实数对来确定,但这一对实数中,一个是表示距离,而另一个就是指示方向；一般来说,取一个定点 O,称为极点,作一水平射线 Ox,称为极轴,在 Ox 上规定单位长度,这样就组成了一个极坐标系；平面上一点 P 的位置,可以由 OP 的长度及其 xOP 的大
5、小打算,这种确定一点位置的方法,叫做极坐标法；详细地说,假设平面上有点 P,连接 OP,今设 OP=,又 xOP= . 和 的值确定了,就 P 点的位置就确定了；叫做 P 点的极半径,叫做 P 点的极角, , 叫做 P 点的极坐标（规定 写在前,写在后）；明显,每一对实数 , 打算平面上一个点的位置；今以 的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正,顺就为负）,又为处理上便利起见,也可以是负的值,如图 1-2-2,OC 为角 的终边,规定在 OC 上度量的数为正,而在 OC 的相反方向,即 OC 的延长线上度量的数为负,如图 1-2-2 中,如点 P 的坐标为 , ,就点 P
6、 的坐标为 , ；图 1-2-2 名师归纳总结 ,的值照上面这样扩大之后,就在极坐标系中,一点的坐标有无穷的实数对；例如,在图. 1-2-2中,可以看到,点P 的坐标一般写为,也可以写成,2,4第 2 页,共 16 页,6,又 P 的坐标可以是,2,.也可以是,3,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载图 1-2-3 极坐标与直角坐标系的关系如图1-2-3 所示,将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点,将极坐标的极轴, 作为直角坐标系x 轴的正半轴； 假如点 P 在直角坐标系下的坐标为（x,y）,在极坐标系下的坐标为,就有以下关系成立
7、：cosxsiny即xcosysin另外仍有下式成立：2x2y2,tany. x例 1.2 给出极坐标系中点P=（2,/3）的直角坐标； xcos2cos31解：由上面的争论知：ysin2sin33故点 P 的直角坐标为（1,3 ）. 极坐标方程的形式为F,0. 在极坐标里, 从,的每一组对应的值1,12,2作为点的坐标, 并且标出这些点, 然后用平滑的曲线依次连结这些点,反过来,称这个方程为这个曲线的极坐标方程；例 1.3 试作曲线 1. 明显 1表示的是一条直线；所得到的曲线就称为这个极坐标方程的曲线；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - -
8、 - - - - - - 例 1.4 试作曲线2 . 优秀学习资料欢迎下载2 为半径的圆周；明显2 表示的是一个以例 1.5 试给出曲线2cos在直角坐标系下的方程. 解由于cosx,故曲线2cos可以写为：2x即22x又2x22 y ,故有：x2y22x即：x1 2y21明显该方程表示的是以（1,0）为圆心,以1 为半径的圆周；第三节空间直角坐标系在平面几何中通过平面的解析几何,将数与形紧密地连接起来,用代数的方法争论平面几何,起到了特别良好的成效 本章将用类比法, 用代数的方法争论立体几何为此必需建立类似于平面的直角坐标系概念在我们生活的三维空间中,取一个平面将之分割为两部分,在此平面上建
9、立一个直角坐标系 xoy,这里 x表示x轴,y表示y轴 O 表示x,y轴的共同原点过o 作平面xoy的垂线（ o 为垂足）,作为新的数轴,叫做 z 轴并与 x,y 轴拥有相同的长度单位,这样我们就得到空间中两两相互垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴：x 轴,y轴, z 轴,这就形成了我们所谓的空间直角坐标系相同的原点 O 叫做空间直角坐标系的原点从立体几何可以知道,x 轴与 z 轴也唯独的打算了一个平面,称为 xoz 平面同样y轴与 z 轴也唯独的决定了一个平面 ,叫做yoz平面 这三个平面都叫做坐标面这三个轴都叫做坐标轴 如图 1-3-1明显三个坐标面将空间分成八个部分每个部分叫做卦
10、限,其中,含三个坐标轴的正半轴的卦限叫做第一卦限,记为 I其余依次叫做其次卦限,第三卦限,第四卦限,第五卦限,等等记为II ,III , IV ,V 等, 如图 1-3-1名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载图 1-3-1 另外我们留意到,在直角坐标系的形成过程中,我们实际上可以看到,z 轴是由y轴绕原点逆时针旋转 2而得到的而此时过原点 O 且垂直于xoy面的 z 轴,虽然仅有一条,但是 z 轴的正方向却有两种挑选如图 1-3-2 的挑选,称为右手系另外一种挑选得到的坐标系叫做左图 1-3-2
11、 手系不失一般性我们以后仅考虑右手系所以我们的空间中就多了直角坐标系确定了坐标系之后,对名师归纳总结 - - - - - - -于空间中的任意一点M ,作xoy面的垂线仅一条,仅交xoy面于一点 M ,就对应于xoy平面的坐标也仅有一个不妨记为x,y,这时MM的距离也是肯定的,如当从点M指向点 M 时,与 z 轴正方向相同,就记为zMM,否就认为是负的, 记为zMM所以任意一点M 就有唯独的三个数x ,y,z反之任意给定三个数x ,y ,z,当x,y作为面xoy的点时,依据z 的正负,以上面的逆推可以唯独得到空间一点,因此空间的点与有序数组x ,y ,z建立了这样的一一对应关系称x ,y ,z
12、分别为点 M 的横坐标,纵坐标,竖坐标常记M 点为x ,y,z或Mx,y ,z 推 论1 过 点Mx ,y,z分 别 垂 直 于x ,y,z轴 的 平 面 与 三 个 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 也 分 别 是x,00,0,y,0,0 ,0,z第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载,yoz面上点的坐标为推论2 坐标面上的：xoy 面上点的坐标为x, y0,xoz 面上点的坐标为x,0 ,z0,y,z0 y,0, z 轴上点的坐x,0 ,0,y轴上点的坐标是推论坐标轴上点的坐标分别是：x 轴上点的坐标是标是0 0,z图 1-3-3 设空
13、间中两个点M1x 1,y 1,z 1和M2x2,y 2,z2,就两点M1M2的距离为2,x 1x 22y 1y22z 1z 22事实上分别过M1, M2点作三个坐标轴的垂直平面,这些平面围成了一个以M1M2为对角线的长方体（如图1-3-3 ）长方体的三个棱长分别是x 1x 2,y 1yz 1z2,由长方体对角线的长度公式知：M1M2x 1x22y 1y22z 1z 22这就是空间中两点的距离公式在实数轴上,实数x 表示一个点在平面中,两个数的数组x,y表示一个点,在三维空间中三个数的数组x,y ,z表示一个点一般的,n 个有序数组x 1,x2,x3,.,xn表示n维空间的点,并用R 表示n维空
14、间特殊地,R1 R为实数轴2 R 表示平面的二维空间3 R 就是后面主要争论的三维空间向量及其应用我们知道三维空间 R 的点,对应一个有序数组 3 x , y , z反之亦然从另外一个角度来看,对任意一个这样的有序数组 x , y , z,唯独地表示一个以原点为起点,点 x , y , z 为终点的有向线段反过来,任意一个以原点为起点,x , y , z 为终点的有向线段,就可以唯独地对应一个有序数组 x , y , z,所以有向线段与点以及数组之间建立了一一对应名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎
15、下载在力学等学科中,常用有向线段表示一个既有大小又有方向的量,如力,速度等等我们称既有大小又有方向的量叫做向量因此,我们也把形如 x , y , z 的有序数组称为 R 的向量为了与点的坐标相区分,我 3们常把向量记为 x , y , z称为向量的坐标表示并且把由从原点到点 x , y , z 所确定的有向线段,也叫做向量,x , y , z 叫做向量的重量同时, 把空间 R 中某向量平移后所得到的有向线段认为是同一个向量3所以如空间中有起点 A x 1 , y 1 , z 1 到终点 B x 2 , y 2 , z 2 所得到的有向线段,可以看成是一个向量,此向量经过平移后将点 A 置于原点
16、,易得此向量可表示为 x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1,通常记为AB x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1特殊,当 A为原点 ,0 0 , 0 时,即 OB x 2 , y 2 , z 2 .当已知一向量的起点和终点时,一般用上方带有箭符“” 的小写字母表示,如 a ,b , 等. 一般情形下,A x 1 , y 1 , z 1 对应一个向量 OA ,B x 2 , y 2 , z 2 对应一个向量OB,这时,向量 AB 即是由OA,OB所打算,并令 AB OBOA由于 AB 的重量由OB的重量相应地减去 OA 的重量即得OB 与 OA 的差特殊地原点
17、O 所对应的向量,称为零向量,记为 0 那么对于两个向量的差O B 0 OB x 2 , y 2 , z 2,记为 OB ,明显 O B 所表示的向量与 OB 的关于原点对称再进一步地有,OA O Bx 1 , y 1 , z 1 x 2 , y 2 , z 2 x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2,可以证明,B AOAO B 所对应的向量在 OA , OB 所确定的平面上并且与以 OA , OB 为相邻边的平行四边形OBCA的对角线OC所确定的向量 OC 是同一个向量如图 1-4-1 图 1-4-1 名师归纳总结 因此我们有理由称yOA OB为OA加上OB的和从而有OA O
18、B OA OBOA（OB）第 7 页,共 16 页x1x 2,y 12,z 1z2即两向量相加等于对应重量相加- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载bba；3 x , 3y , 3 z 向量的加法满意交换律,结合律即对于任意的向量a,b,有a对于任意的向量a ,b ,c,有abcabc 2x , 2y2,z 相像地,特殊地,设点Px,y,z,那么OPOPx ,y ,z x ,y ,z OPOPOPx ,y ,z x ,y ,z x ,y,z 3x , 3y 3,z OP3 OP,那么3 OP如记OPOP2OP,那么2 OP2x ,2y
19、, 2z ,OPOP所以我们可以定义向量与数的乘积如下：定义 1.3 设c为任意实数,c OP 即是c分别乘以OP的每一个重量,即 c OP cx , cy , cz 从而可以很简单证明：c OA OB c OA c OB；对 c 1,c 2 为实数有： c 1 c 2 OP c 1 OP c 2 OP； c 1 c 2 OP c 1 c 2 OP ； 1 OP OP如用 OP表示有向线段 OP 的长度,那么 OPx 2y 2z 2即为点 P 到原点的距离从而可得,c OP c | OP |,事实上,OP x , y , z , cOP cx , cy , cz 2 2 2 2 2 2c OP
20、 cx cy cz | c | x y z,明显成立c OP 的几何意义如下：如 c 0,那么 c OP 是以原点O为起点,点 C cx , cy , cz 为终点的有向线段 , 而此是由OP线段或OP延长线上将 OP扩大c倍后得到的 当 c 0 时,c OP| c | OP | c | OP |显然是 | c | OP 的关于原点对称的向量当 c 0 时,c OP 就是零向量如上所示,对于两个向量 OA 、 OB具有同一起点O,他们的关系有共线； 或者由OA和OB能唯独地确定一个平面在此平面上, 以OA、OB为相邻的两边唯独地打算了一个平行四边形 OBCA如图 1-4-2图 1-4-2 名师
21、归纳总结 假如OA垂直OB记为OAOB ,我们有下面的结论：第 8 页,共 16 页定理 1.3 OAOB 的充分必要条件是x 1x2y 1y2z 1z 20证明假如OAOB ,那么由 OA 、 OB 为相邻的两边所确定的平行四边形为矩形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载所以对角线向量 OA OB AB 与 OA OB OC 的长度是相同的即 | BA | | OC |,而BA x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2,OC x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 22 2 2 x 1 x 2 y 1 y
22、 2 z 1 z 2 2 2 2 2 2| BA | | OC | x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 绽开之后,再化简得到：x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 0反之很简单得到 OC | BA |,即平行四边形两对角线相等所以此平行四边形为矩形从而 OA OB 0一般情形下,设 OA , OB 的夹角为,有时也记为OA , OB 如 2,过 B 作 OA 的垂线交OAOD | OB | cosOA 于 D 点（如图 1-4-3 ）,那么 | OD | | OB | cos,| OA |,OA 0 留意到2 2 2x 2 y 2 z 2 cosOD 2 2 2 x 1
23、, y 1 , z 1DB OB OD,即 x 1 y 1 z 12 2 2x 2 y 2 z 2 cos名师归纳总结 图 1-4-3 如令cx 12y 12z 12,就DBx 2cx 1,y2cy 1,z 2x 1cz 1,ODz 1cx 1,cy 1,cz 1,由定理知,x2cx1cx 1y2cy1cy 1z2cz 1cz 10,故x2y 1y 2z 2,这种运算x 1x2cx 12y 1y2cy12z 1z 2cz 120,即x 1x 2y 1y 2z 1z 2c x 12y 12z 12cosx 12y 12z 12x22y22z 22OAOBcos为此,为了便利起见,定义OA OB
24、为此对应重量乘积之和,即OAOB被称为两个向量OA 与 OB 的数量积,由此可得：第 9 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosOA ,OBcosOAOB优秀学习资料欢迎下载OA OB OAOB所以有推论：OAOB 的充分必要条件是假如OA与OB的夹角为零时,称|OAOB|OA|OBOA 平行于 OB ,记为 OA OB ,所以 OA OB 的充分必要条件是从数量积的定义可以看出它在物理上的应用F一个物体在常力F 的作用下, 沿直线从点M 移动到点M2,就力F所做的功为WFM1M2cosM1M2,其中为F与直线的夹角M1M2表示位移另
25、外,数量积仍有满意交换律、安排律名师归纳总结 - - - - - - -定理 1.4 1）如a , b ,为任意两个向量, 就abba；2）如a ,b ,c为任意三个向量, 就abcacbc3）对于任意的常数,a bab ab 证明只证明 2） ,设aa 1,a2,a3,bb 1,b 2,b 3,cc 1,c 2,c 3,那么 ab ca 1b 1,a2b 2,a 3b 3c 1,c2,c 3a 1 c 1b 1c 1a 2c 2b 2c2a 3c 3b 3c 3 a 1 c 1a 2c2a3c 3 b 1c 1b 2c2b 3c 3acbc得证对于向量a、b,它们的夹角为,称acos为a在b
26、上的投影,记为Pr baacos设向量ax ,y ,z,求a 与三个坐标轴的夹角的余弦解 以一般的记号,记x ,y ,z轴的正方向的单位向量分别为i,1 0 0,j0 ,1,0,k,0 1,0（以后仍要用到）,并令它们与向量a 的夹角分别是,那么cos|i|ax2x2z2；iaycos|j|ax2y2z2；cos|k|ax2z2z2jaykay从上面的例子可以很简单的看出：如称,为a的方向角时,就向量a 的方向角,都满意：cos2cos2cos21,并且Pr iaxPr,jay,Pr kaz,为便利起见, 称cos,cos,cos为a的方向余弦常用它们表示a 的方向即 a cos,cos,co
27、s,且方向相同,以上的概念结果完第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 全可以推广到n R 中去,由读者自己推广优秀学习资料欢迎下载向量积名师归纳总结 - - - - - - -为了争论两向量的另外一种运算向量积,先介绍一下二、三阶行列式的定义. a 11a 12定义 1.4 已知四个数a11,a12,a21,a22,用记号a21a22（称为二阶行列式）表示数a11a 12a21a22；a 11a 12a13a21a22a23当已知个数a 11,a 12,a 13,a21 ,a22,a23,a31,a32,a33时,用a31a 23a33（称为三阶行列式）表
28、示这样一个数a 11a 22a23a 12a 12a23a 13a21a22,一般情况下,已知n2个数,a 32a 33a31a 33a31a32a 11,a 12,.,a1 n,.,an1,a n2,.,ann, 就称下面等号左边的记号为n 阶行列式,并有：a 11a 12.a 1na22a23.a2na21a22.a2na 11a32a33.a3n.an 1an2.annan2an3.anna21a23.a2na 11a 12.a 1 n1a 12a31a22.a2n1 1na 1 na21a22.a2n1.an 1an2.annan 1an2.ann1例 1.7 求二阶行列式12 1和三
29、阶行列式11120574103解12 1=1127141；7333111205=1051 25120520 223410104041下面从物理中的一个例子来引入两个向量的向量积设O 为一根杠杆的支点,有一个力F 作用于这个杠杆 L 上的点 P 处,力 F 与 OP 的夹角为,那么有力学规定支点O 的力矩是一个向量M ,它的模为第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - MOPFsin,如图 1-5-1优秀学习资料欢迎下载图 1-5-1 名师归纳总结 - - - - - - -而 M 的方向垂直于OP 与 F 所打算的平面,满意由OP 到 F 的右手规章,即当大拇
30、指与另外四个手指垂直时,这四个手指从OP 以不超过的角转向F握拳时,大拇指的指向即是M 的方向见图1-5-1可记M OPF 要留意的是：OP与F交换后可能转变M 的方向 例 OP 与 F 均不为零向量M 的指向是右手规章中从第一个向量转到其次个向量即由OP 转到 F 而对于 FOP 而言,此向量的方向是由F 转到 OP ,正好与OPF 的方向相反不过两个模是相同的因此OPF FOP 定义 1.5 设a,b为两个向量,称向量c 为 a 与 b 向量积,如 c 的模为absin（a,b）,方向是右手规章中四指由a 转到 b 时的大拇指的指向记为c = ab 由定义可知：对于任意的向量a , b ,
31、 c ,有abba；如ab时,ab0；设c为一个向量,（ab）c ac bc ；为数,（a ）b a（b ）（ab ）；ijk；jki,kij；对ax 1,y 1,z 1,bx2,y2,z 2,有ax 1iy 1jz 1k,bx 2iy2jz 2k；abx 1x 2iiy 1y2jjz 1z 2kkx 1y 2ijx 1z 2iky 1x2jiy 1z 2jkz 1x2kiz 1y2kjy 1z 2z 1y2iz 1x 2z2x 1jx 1y 1x 2y 1k为了帮忙记忆,当把i,j,k看作数时,有第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - ijj优秀学习资料欢
32、迎下载x 1y 1z 112 ,2 ,2,12,414 i6j2k14ab x 2y2z 2设A,12 ,3,B,34 ,5 ,和C24,7,求三角形的面积解：ABC的面积1ABACsin1ABAC2222下面介绍三向量ax 1y 1, z 1,bx 2y2, z 2,cx3y 3,z 3的混合积及其几何意义：x 1y 1z 1x2y2z2称数dabc为此三个向量的混合积,且有dx3y3z3由向量积和数量积的定义可以知道：图 1-5-2 abcabccosabsinccosabc是由a,b,c做为相邻的三这里为c与ab 的夹角,是a与b的夹角从几何上来说,个棱的平行六面体的体积（如图1-5-2
33、）平面及其方程在立体几何中, 点、直线、 平面均为几何元素而一平面是由不共线的三个点唯独确定的设一个平面,过不共线的三个点P 1x 1,y1,z 1,P 2x 2,y2,z2,P 3x3,y3,z 3,留意到立体几何中的定理：假如始终线垂直于一平面上的两条不同的相交直线,就垂直于平面上任何一条直线这条直线我们称为此平面的法名师归纳总结 线,与这条直线平行的向量我们称之为法向量明显P 1P 2P 1P 3就是平面的法向量Qx ,y ,z 是平面上一般情形下,设nA ,B,C是平面的法向量平面过一点P 0x0,y0,z 0,点第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载任意一点,那么 n 肯定垂直与 P0 Q,即nP0 Q,所以有A , B , C x x 0 , y y 0 , z z 0 0（ 1.6.1）即 Ax By Cz Ax 0 By 0 Cz 0 0（1.6.2）当记 D Ax 0 By 0 Cz 0 时,有 Ax By Cz D 0（1.6.3）可以证明：空间中任意一点 Q ,假如 n A Q,