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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近 X 轴 Y 轴但不会与坐标轴相交 （K 0）；2、性质：1.当 k0 时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而减小；当k0 时,函数在 x0 上同为增函数；定义域为 x 0；值域为 y 0；x0 上同为减函数； k0 时,函数在 x0 时,直线 y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时,图像经过一、三象限；k0,y 随 x 的增大而
2、增大；k0 时,向上平移；当 b0 ,图象经过第一、三象限；k0,图象经过第一、二象限；b0 ,y 随 x 的增大而增大；k0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0 b0 图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过其次、三、四象限经过其次、四象限k0 时,向上平移；当 b0 时,直线经过一、三象限；k0,b0, 直线经过第一、二、三象限k0,y 随 x 的增大而增大； （从左向右上升）k0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移平移b0 或 ax+b0【或向下k0【或左h0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0】平移|k|个单位2. 平移规律在原有
3、函数的基础上“ h值正右移,负左移；k 值正上移,负下移” 概括成八个字“左加右减,上加下减” 方法二：yax2bxc沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位,yax2bxc变成c（或yax2bxcm（或yax2bxcm）yax2bxc沿轴平移： 向左（右）平移 m 个单位,yax2bxc变成ya xm 2bxmya xm 2bxm c）四、二次函数ya xh2k 与yax2bxc的比较从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即ya xb24 aca2 b,其中hb,k4acb22a42a4 a五、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘
4、图法：利用配方法将二次函数 y ax 2bx c 化为顶点式 y a x h 2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0,c、以及 0,c 关于对称轴对称的点 2h,c、与 x 轴的交点 x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点 . 六、二次函数 y ax 2bx c的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资
5、料欢迎下载1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为xb,顶点坐标为b,4 ac4 ab22a2a当xb时,y 随 x 的增大而减小； 当xb时,y 随 x 的增大而增大； 当xb时,y 有最小值4acab22a2a2 a42. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为xb,顶点坐标为b,4acab2当xb时, y 随 x 的增2a2 a42 a大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 有最大值4acb22a2 a4 a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yax2bxc （ a , b, c 为常数,a0）；x 轴两交点的横坐标）. 2. 顶点式：ya xh2k （ a ,
6、 h , k 为常数,a0）；3. 两根式：ya xx 1xx 2（a0,1x ,x 是抛物线与留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2bx c中, a 作为二次项系数,明显 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口
7、越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, 在a0的前提下,b打算了抛物线的对称轴名师归纳总结 当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；第 9 页,共 12 页2a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即当时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；b02a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a- - - - - - -精选学习资料 -
8、 - - - - - - - - ab 的符号的判定：对称轴xb精品资料欢迎下载0,在 y 轴的右侧就ab0,概括的说就在 y 轴左边就ab2 a是“ 左同右异”3. 常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次
9、函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y2 a xhb x关于 x 轴对称后,得到的解析式是yyax2bx2c；ya x2a xhk ；k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2. 关于
10、 y 轴对称y2 a xhb x关于 y轴对称后,得到的解析式是yyax2bxc ；ya x2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是a xh2k ；3. 关于原点对称名师归纳总结 y2 a xxb x关于原点对称后,得到的解析式是yyax2bxc；第 10 页,共 12 页ya2 hk关于原点对称后,得到的解析式是a xh2k ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料yy欢迎下载cb2；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）ax2bxy2 a xb x关于顶点对称后,得到的解析式是2aya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是a x
11、h2k 5. 关于点m,n对称ya xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是ya xh2 m22nka 永久不变求抛物线的依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与yx 轴交点情形）：y0时的特殊情形 . 一元二次方程ax2bxc0是二次函数ax2bxc当函数值图象与 x 轴的交点个
12、数： 当b24ac0时,图象与x 轴交于两点A x 1,0,B x2,0x 1x2,其中的x 1,x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx 2x 12 ba4 ac. 当0 时,图象与x 轴只有一个交点； 当0时,图象与x 轴没有交点 . 1当a0时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有y0；2当a0时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y02. 抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法
13、将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a ,b , c 的符号,或由二次函数中a , b ,c 的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 第 11 页,共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0抛物线与x 轴有精品资料欢迎下载二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根0两个交点x 轴只可零、可负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与二次三项式的值为非负有一个
14、交点0抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 交点二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看,一元二次不等式2 axbxc0a0的解集就是二次函数fxax2bxc a0的图像上, 位于 x 轴上方的点的横坐标的集合；一元二次不等式2 axbxc0a0的解集就是二次函数fxax2bxc a0的图像上, 位于 x 轴下方的点的横坐标的集合；一元二次不等式2 axbxc0a0的解集就是二次函数fxax2bxc a0的图像上, 位于 x 轴上方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合；0的解集就是二次函数xfxax2bxc a0的图像上, 位于 x 轴一元二次不等式2 axbxc0a下方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合的解就是二次函数f2 axbxc a0的图像上, 与 x 轴的交点一元二次方程2 axbxc0a0的横坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页