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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载北 京 四 中高中数学高考综合复习专题三 函数的概念一.学问网络二.高考考点名师归纳总结 1.映射中的象与原象的概念; ; 第 1 页,共 15 页2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料. 欢迎下载4.分类争论、数形结合等数学思想方法的应用三.学问要点一 函数的定义1、传统定义 :设在某一变化过程中有两个变量 x 和 y,假如对于某一范畴内 x 的每一个值 ,y 都
2、有唯独的值和它对应 ,那么就说 y 是 x 的函数 ,x 叫做自变量 ,y 叫做因变量 函数 . 2、现代定义 :设 A、B 是两个非空数集 ,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应 ,那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 ,记作 y=fx,x A. 其中 ,x 叫做自变量 ,x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域 ;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值 ,函数值的集合fx|x A 叫做函数的值域 . 3、认知 :留意到现代定义中“ A、B 是非空数集 ” ,因此 ,今后如求得函数定义域或值
3、域为 ,就此函数不存在 . 函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素 ,缺一不行 .在函数的三要素中 ,对应关系是核心 ,定义域是基础,当函数的定义域和对应法就确定之后 ,其值域也随之确定 . 二 .映射的概念将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合 ,便得到映射概念 . 1、定义 1:设 A 、B 是两个集合 ,假如依据某种对应法就 f, 对于集合 A 中任何一个元素 ,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应 ,那么这样的对应 包括集合 A 、B 及集合 A 到集合 B 的对应法就 f叫做集合 A 到集合 B 的映射 ,记作 f ：AB2、定义 2:给定一个集合 A 到集合 B 的
4、映射 f：AB, 且 aA,b B,假如在此映射之下元素 a 和元素 b 对应 ,就将元素 b 叫做元素 a 的象 ,元素 a 叫做元素 b 的原象 .即假如在给定映射下有 f：ab, 就 b 叫做 a 的象,a 叫做 b的原象 . 3、认知 :映射定义的精髓在于“任一 元素 对应唯独 元素 ” ,即 A 中任一元素在 B 中都有唯独的象 .在这里 ,A 中元素不可剩 ,答应 B 中有剩余；不行“ 一对多 ” ,答应 “多对一 ” .因此 ,依据 B 中元素有无剩余的情形 ,映射又可分为“ 满射 ”和“非满射 ” 两类 . 集合 A 到集合 B 的映射f：AB是一个整体 ,具有方向性；f：AB
5、 与 f：BA 一般情形下是不同的映射. （三）、函数的表示法表示函数的方法 ,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法 . 1、解析法 :把两个变量的函数关系 ,用一个等式来表示 ,这个等式叫做函数的解析表达式 ,简称解析式 . 2、列表法 :列出表格表示两个变量的函数关系的方法 .运用列表法表示的 ,多是理论或实际生活中偏于有用的函数 . 3、图象法 :用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法 . 图象法直现形象地表示出函数的变化情形 ,是数形结合的典范 .只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系 . 认知 :函数符号的意义名师归纳总结 在函数的概念中,我们用符号 “ y=fx ”
6、表示 “ y是 x 的函数 ”这句话 . x 施加的 “一套运算的法第 2 页,共 15 页其中 ,对于运用解析法给出的函数y=fx, 其对应法就 “ f ”表示解析式包蕴的对自变量就” ,即一套运算的框架. 详细地 ,对于函数fx=5-2x+3x1对应法就 “ f ”表示这样一套运算的框架:52（） 3,（）即 f: 5-2+3,1. 据此 ,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析: fa: 对自变量x 的取值 a 实施上述运算后的结果,故有 fa=5-2a+3 a1; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载,fx: 对自变量x
7、实施上述运算后的结果,故有 fx=5-2x+3 x1; fgx: 对函数 gx实施上述运算后的结果,于是有,有品尝才能有感悟.我们认真地比较和品尝、fgx=5x-2gx+3 gx1 感悟 :函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别不难从中悟出这样的代换规律: fgx 的表达式fx 的解析式我们将上述替换形象地称之为“同位替换 ” .明显 ,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换 ,它源于 “ 等量替换 ”,又高于 “等量替换 ”,对于同位替换 ,在两式不行能相等的条件下仍可操作实施 ,这是 “ 等量替换 ”所不能比拟的 .由 fx 的解析式导出 fx+1 的解析式 ,便是辩析两种
8、替换的一个很好的范例 . 四.经典例题例 1.如右图 ,在直角梯形 OABC 中,AB OC,BC OC,且 AB=1,OC=BC=2, 直线 l:x= ,截此梯形所得位于 l 左方的图形面积为 S,就函数 S=ft 的大致图象是以下图形中 分析 1:立足于 ft 在 t 0,1 上的函数式 .直线 OA 的方程为 y=2x, 故当 0t 1时, ,由此否定 A,B,D, 应选 C. 分析 2:运用运动的观点 ,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态 . 当 l 在 ,D 之间运动时 ,S 随着 t 的增加而增加 ,并且增加的速度越来越快 ,即 S1, S 2 , S n是递增
9、的 Si是单位时间内面积的增量,故排除 A 和 B,对于 C 和 D,由 t0,1 时 ft= 的凹凸性可排除 D,故应选 C. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 2.如下列图 ,梯形 OABC 各顶点的坐标分别为 O0,0,A6,0, B4,2,C2,2, 一条与 y 轴平行的直线从点 O 开头作平行移动 ,到点 A 为止 .设直线与 x 轴的交点为 M,OM=x,并记梯形被直线截得的在左侧的图形面积为 y,求函数 y=fx 的解析式 ,定义域及值域 .分析 :如图 ,由于点 M 位置的不
10、同 ,所得图形的外形与面积不同 ,故需要分类争论 ,留意到打算左侧图形外形的关键点 ,故以 x=2,4 分划争论的区间 . 解:1当 0x2时,上述图形是一等腰 Rt ,此时 , ,即 ; 2当 2x4 时,上述图形是始终角梯形 .留意到它可分割为一个等腰 Rt 确定的 和一个矩形 ,此时,即 y=2x-2; 3当 4x6 时,上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等腰直角三角形位于直线右侧,此时,即因此 ,综合 1 、2、3 得所求 y=fx 的解析式为由此可知 ,fx 的定义域为 0,2 =0,6. 又当 0x2时, ,即此时 0y2;当 2x4 时,22x- 26,即此时 2y6;
11、当 4x6 时,68,即此时 62, 求 f2x+1 的解析式 ; 2已知 ,求 fx 1的解析式 . 解: 1 名师归纳总结 fx=x2+2x-1 x2 第 4 页,共 15 页以 2x+1 替代上式中的x 得f2x+1=2x+12+22x+1-1 2x+12 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f2x+1=4x2+8x+2 x 学习好资料欢迎下载2由已知得以 x 替代上式中的得“同位替换 ” ,它们都包括两个方面的替,但是 ,不论是 “ 换元法 ” ,仍是上面实施的fx=x2-1 x 1fx+1=x 12-1 x+1 1即 fx+1=x2+2x x
12、0点评 :上述求解也可运用换元法换: 1解析式中的替换 ; 2 取值范畴中的替换 . 依据函数三要素的要求 ,这两个方面的替换缺一不行 . 例 4. 设 y=f2x+1 的定义域为 -1,1,fx-1=x 2,试求不等式 f1-xx 的解集 . 分析 :为将不等式 fx+1x 详细化 ,依据 “ 同位替换 ”法就 ,先求 f1-x 的表达式 . 解:由题设知 ,在 y= f2x+1 中有 -1x1 -12x+13,运用 “同位替换 ”的思想在 fx-1 中应有 -1x-13 又由题设知 fx-1=x-1 2+2x-1+1 由、得 fx-1=x-1 2+2x-1+1 -1x-1 3f1-x=1-
13、x 2+21-x+1 -11-x 3即 f1-x=x 2-4x+4 -2 x 2于是有 f1-xx x 2-4x+4x -2 x 2x 2-5x+40 -2 x 2x-1x-40 -2x21x4 -2x21x2名师归纳总结 因此 ,所求不等式f1-xfbfc, 就映射 f 的个数为; 如映射f 满意 fa+fb+fc=0, 就映射 f 的个数为; 如映射f 满意fa-fb=fc, 就映射 f 的个数为. 2设 A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,从 A 到 B 的映射 f 满意f1 f2 f3 f4 f5, 就映射 f 的个数为. - - - - - - -精选学习资料 - - - - -
14、 - - - - 学习好资料 欢迎下载分析 :留意到 fa的意义 :在映射 f：AB 之下 A 中元素 a 的象 ,故有 fa,fb,fc B.为便于梳理思路 ,解答这类题常常运用列表法或分类争论的方法 . 解: 1由已知得 fa,fb,fc B 列表法：fafbfcfa只能取 0 或 1,fc 只能取 -1 或 0. 依据映射的定义,以 fa 取值从大到小的次序列表考察: fc :0+0+0;1+-1+0, 以 a 的象 fa的fa fb 1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 0 -1 -1 由此可知符合条件的映射是4 个. 0 的情形只有两种列表法 : 留意到 fa+fb+fc=0,又
15、 B 中三个元素之和为取值 从小到大 为主线列表考察fa fb fc 0 0 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 1 -1 0 -1 1 0 -1 0 1 由此可知符合条件的映射有 7 个. 分类争论：fa-fb=fc fa=fb+fc 即 a 的象等于其它两个元素的象的和 .以象集合元素的个数为主线 从小到大 绽开争论 . （ i ）当象集合为单元素集合时 ,只有象集 0 满意已知条件 ,此时符合条件的映射 f 只有 1 个. （ ii ）当象集合为双元素集合时 ,满意条件的象集合为 -1,0 或1,0 -1,0:-1=0+-1,-1=-1+0;1,0:1=0+1,1=1+0 此时
16、符合条件的映射有4 个. ,满意条件的象集合为-1,0,1 （ iii ）当象集合为三元素集合时-1,0,1: 0=1+-1, 0=-1+1 此时符合条件的映射 f 有 2 个于是综合 i 、ii 、iii 得符合条件的映射 f 的个数为 7. 2分类争论 :以象集合中元素的个数 从小到大 为主线绽开争论 . i 当象集合为单元素集时 ,象集为 6 或7 或8, 故此时满意条件的映射 f 有 3 个; ii 当象集合为双元素集时 ,先将 A 中元素分为两组 ,有 种分法 ,又每两组的象有 3 种情形 ,故此时符合条件名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料
17、- - - - - - - - - 的映射 f 有3=12 个; 学习好资料3 组,有欢迎下载1 种情形 ,故此时符合iii 当象集合为三元素集时,先将 A 中元素分为种分法,又每三组的象只有条件的映射f 有 1=6 个；从小到大 为主线绽开争论,于是综合 i 、ii 、iii 得符合条件的映射f 的个数为3+12+6=21. 点评 :在认知 f A 的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数是解决此类映射问题的通用方法通性通法 ,请同学们在今后的解题中留意应用. 例 6. 已知函数ft 对任意实数x,y 满意 fx+y=fx+fy+xy+1,且 f-2=-2. 1求 f1 的值 ;
18、2试求满意 ft=t 的整数 t 的个数 ,并说明理由 . 分析 :这是未给出详细的函数解析式 ,只给出一个函数恒等式 .留意到这一恒等式的一般性 ,循着 “一般 ” 与“特殊”之间的辩证关系 ,想到从 “ 特别 ” 特别取值或特别关系 入手去破解 “一般 ” ,以寻出目标 . 解: 1 为了显现 f1, 在上述恒等式中令 x=1,y=-1 得 f0=f1+f-1 又令 x=0,y=0 得 f0=-1 令 x=-1,y=-1 得 f-2=2f-1+2f-2=-2, f-1=-2 将、代入得 f1=1. 2为利用 f1=1, 在上述恒等式中令 x=1 得fy+1=fy+y+2 fy+1-fy=y
19、+2 当 tZ 时,有 ft+1-ft=t+2 依据 ,运用阶差法得ft=f1+f2-f1+ +ft-ft-1 ft=1+ 1+2+2+2+ +t -1+2 =1+2t-1+ 即 ft= ft=tt2+t-2=0 t-1t+2=0 t=1 或 t=-2 于是可知 ,满意 ft=t 的整数 t 只有两个 :t=-2,t=1. 名师归纳总结 点评 : 函数 fx 当 x 取正整数时的问题,即为数列问题.所以 ,这里运用 或借鉴 了数列求和的思想或方法阶差法或分项法.看透问题 ,把握本质 ,解题时方能联想顺畅,入手精确 .这是我们始终所追求的境域. 第 7 页,共 15 页- - - - - - -
20、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载五. 高考真题一 挑选题1.2005 湖北卷 在 y=2 x, y=log 2x, y=x 2, y=cos2x 这四个函数中 ,当 0x1x 21 时, 恒成立的函数的个数是 . A.0 B.1 C.2 D.3 分析 :运用数形结合思想 ,考察各函数的图象 .留意到对任意 x1,x2I, 且 x1x 2,当 fx 总满意时,函数 fx 在区间 I 上的图象是“上凸 ” 的,由此否定 y=2 x,y=x 2,y=cos2x, 此题应选B 2.2004 湖北卷 已知,就 fx 的解析式可取为 A. B. C. D. 分析 :运
21、用直接法令=t,就 x=t -1,ft= t -1 f = x -1 应选 C 说明 :留意到对于,有=1+-1,对于fx 应有 x-1.如选项中的函数附加定义域,就从定义域入手挑选为上乘解法. ,如 f-4=f0,f-2=-2,就关于 x 的方程 fx=x 的解的个数3. 2004 湖南卷 设函数 fx= 名师归纳总结 为. C.3D.4 第 8 页,共 15 页A.1B.2分析 : 从确定 fx 的解析式入手.由 f-4=f0,f-2=-2得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方程 fx=x学习好资料欢迎下载或 x=2 或或 x=2,故此题应选C 4
22、.2004 全国卷 C 设函数 fx= ,就使得 fx 1的自变量x 的取值范畴为 A. 0,10 B. 0,1C. 1,10 D.-2,0 1,10 分析 :留意到解决分段函数的基本策略 :分段争论 ,综合结论 . fx 1 或 x-2 或 1x10,故应选 A 运用特取法 : 取,就,由此否定C,D; 取 x=2, 得,由此否定B,故本题应选 A 二 填空题1.2005 江苏卷 已知 a,b 为常数 ,如 fx=x2+4x+3, fax+b=x2+10x+24, 就 5a-b=. 分析 : 由 fx=x2+4x+3 得fax+b=ax+b24（ax+b ）+3=a2x 2+2ab+4ax+
23、b2+4b+3, 由已知条件得a2x 2+2ab+4ax+b2+4b+3= x2+10x+24 故有5a-b=2 2.2005 北京卷 对于函数定义域中任意的 x 1,x 2x1 x2,有如下结论 : fx 1+x 2= fx 1 fx 2 fx 1x 2= fx 1+fx 2 ; . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载当 fx=lgx 时,上述结论中正确结论的序号是 . 分析 :依据对数的运算法就知正确 ,不正确 ; 借助 fx=lgx 的图象 ,考察 的几何意义 ;经过点 x 1, fx 1
24、, x 2, fx 2的直线的斜率 ,可知正确 ;注意到 fx=lgx的图象 “ 上凸 ” ,可知正确 .故此题应填、. fx+2 5 的解集是. 3.2004 浙江 已知,就不等式x+x+2 分析 : 留意到原不等式中“ f ”之下的式子为x+2, 为利用已知条件化抽象为详细,故从 x+2 的符号或取值入手进行争论和等价转化. 或或 x-2原不等式原不等式的解集为 . 三 解答题1.2005 浙江卷 已知函数 fx 和 gx 的图象关于原点对称 ,且 fx=x2+2x. 1求函数 gx的解析式 ; 2解不等式gx fx-|x-1|. .而对于含有肯定值的不等式,在运用分析 : 求“ 对称曲线
25、 ”的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求公式或平方去掉肯定值不能实现时, “分类争论 ” 乃是解题取胜的杀手锏. Px,y, 就解: 1设点 Qx 0,y0为 y=fx 图象上任意一点,点 Q 关于原点的对称点为有点 Qx 0,y0 在函数 y=fx 图象上y0=x 0 2+2x 0-y=-x2+2-x 代入得即 y=-x2+2x 名师归纳总结 故有 gx=-x2+2x ; . 第 10 页,共 15 页2 gxfx-|x-1|2x2-|x- 1| 0当 x1时,2x2-x+ 1 0, 此不等式无解当 xgx 时,求函数的最小值 . A、B 点坐标切入 ,利用= 建立方程分析 :对于
26、1,留意到 k、b 含在 fx 的解析式中 ,故从探求或方程组 ;对于 2, 就要留意立足于不等式 fxgx 的解集,探求所给函数的最小值 . 解: 1由已知得 A-,0,B0,b, 从而 = ,b、又 =2,2, 故得所求 k=1,b=2. 2 fxgx x+2x2-x-6x2-2x-80-2x4=x+2+ -5 分别整式项 又由知x+2=0x+21, 解关 x 的不等式 . 分析 : 对于 1, 从已知方程的实根入手推理 .对于 2,就要留意求解分式不等式的基本过程 :移项 通分 分解因式 转化 为整式不等式 求解 .这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保证 . 解: 1
27、fx-x+12=0-x+12=0 将 x 1=3,x 2=4 代入方程得解得fx= 2原不等式 fx- 2-x 0I 当 1k2 时,由 解得 1x2; II 当 k=2 时,由 得x-22x-101x2; III 当 k2 时,由 得 1xk. 名师归纳总结 于是可知 ,当 12 时, 原不等式的解集为1,2 k,+ .点评 :此题突出考察分类争论与数形结合的思想.在解高次不等式时,如采纳 “根轴法 ”,就可使解答更为快捷精确 ,请同学们一试. 4.2005 上海卷 对定义域分别是Df、D g的函数 y=fx, y=gx, 规定 :函数- - - - - - -精选学习资料 - - - -
28、- - - - - 1 如函数 fx= 学习好资料欢迎下载,gx=x2,写出函数 hx 的解析式 ; 2 求问题 1中函数 hx 的值域 ; 3 如 gx=fx+,其中是常数 ,且,请设计一个定义域为R 的函数 y=fx 及一个的值 ,使得 hx=cos4x, 并予以证明 . 分析 : 对于 1, 留意到 hx 为分段函数 ,探求函数解析式要立足于“分段探求 ,综合结论 ”的基本策略 .对于 3,这里 gx=fx+ ,又留意到在大前提中 hx 的表达式以及此时 fx,gx 的定义域均为 R,可得 hx=fx fx+ ,又 hx=cos4x, 于是可由 fx fx+ =cos4x 入手绽开联想与
29、探求 ,这里的探求自然是从 cos4x 的 “一分为二 ” 的变形入手 . 解: 1这里 Df =- ,11,+ Dg=R 当 xDf 且 xD g,即 x - ,11,+ 时,; 当 x D f 且 x Dg,即 x=1 时 ,hx=gx=1; 又 xDf 且 x Dg 的 x 不存在 ,故得2当 x 1时, =x-1+ +2 如 x1, 就 x-10, h x 4,当且仅当 x=2 时等号成立 ; 如 x1, 就 x-13 时 ,关于 x 的方程 fx=fa 有三个实数解 . 分析 : 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用 “ 待定系数法 ”探求 f1x与 f 2x; 对于 2,当对
30、方程fx=fa 直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题.解:1由题意设f1x=ax2, f 2x= k0, A,B,就由 |AB|=8 得 k=8, 故 f 2x= 由 f 11=1 得 a=1,故 f 1x=x2又 y=f 2x的图象与直线y=x 的交点分别为 fx=x2+2证法一 : 由 fx=fa 得 x2+= 2+=x2+的大致图象 ,留意到 f2x= 的图象是以坐标轴为渐在同一坐标系内作出f2x= 与 f3x= x近线 ,且位于第一、 三象限的双曲线, f3x= x 2+的图象就是以点0, 为顶点 ,开口向下的抛物线.因此 f2x= 与 f3x=
31、 x2+的图象在第三象限有一个交点, 名师归纳总结 即 fx=fa 有一个负数解.第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 f22=4, f 32= -4学习好资料欢迎下载当 a3 时, f 32f22= -80, 当 a3 时,在第一象限 f 3x的图象上存在一点 2, f 32 在 y=f 2x 图象的上方 . y=f 2x 与 y=f 3x 的图象在第一象限有两个交点 . 即方程 fx=fa 有两个正数解 . 于是由、知 ,当 a3 时,方程 fx=fa 有三个实数解 . 证法二 : 由 fx=fa 得 x 2+ = x-a
32、x+a-=0 名师归纳总结 x=a 为方程 fx=fa 的一个实数解.第 15 页,共 15 页又方程x+a-=0 可化为 ax2+8=0a4=4aa=0 或 a=由 a3 得方程的判别式 =a 4+32a0 由解得x2=,x3=x20,x1 x2 且 x 2 x3此时 ,如 x1= x 3,就有 a=3a 2=这与 a3 冲突 ,故有 x1 x3于是由、知,原方程有三个实数解. ,显直观敏捷 ,但此题的求解头绪较多且点评 :以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题比较隐藏 ;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题到底挑选哪一种解法为上 ,就要详细情形详细分析,不行一概而论. - - - - - - -