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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载相像三角形一、学问概述一相像三角形1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相像三角形温馨提示：当且仅当一个三角形的三个角与另一个 或几个 三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时, 这两个 或几个 三角形叫做相像三角形,即定义中的两个条件,缺一不行；相像三角形的特点：外形一样,但大小不肯定相等；相像三角形的定义,可得相像三角形的基本性质：用广泛2、相像三角形对应边的比叫做相像比温馨提示：对应角相等, 对应边成比例, 其应全等三角形肯定是相像三角形,其相像比 k=1所以全等三角形是相像三角形的特例其区分在于全等要求对
2、应边相等,而相像要求对应边成比例相像比具有次序性例如 ABC AB的对应边的比, 即相像比为k,就 ABC ABC 的相像比,当且仅当它们全等时,才有k=k=1相像比是一个重要概念,后继学习时显现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相像三角形可观看得出3、假如两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相像多边形4、相像三角形的预备定理：假如一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两条边 或其延长线 分别相交,那么所构成的三角形与原三角形相像名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - -
3、- - - - - 学习必备 欢迎下载温馨提示：定理的基本图形有三种情形,如图其符号语言：DE BC, ABC ADE ；这个定理是用相像三角形定义推导出来的三角形相像的判定定理它不但本身有着广泛的应用,同时也是证明下节相像三角形三个判定定理的基础,故把它称为“ 预备定理 ” ；有了预备定理后,在解题时不但要想到上一节 想相像 ”二相像三角形的判定1、相像三角形的判定：判定定理 1：两角对应相等,两三角形相像“见平行,想比例 ”,仍要想到 “ 见平行,判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像判定定理 3：三边对应成比例,两三角形相像温馨提示：有平行线时,用上节学习的预备定理；已有一
4、对对应角相等包括隐含的公共角或对顶角时,可考虑利用判定定理（1）或判定定理（ 2）；已有两边对应成比例时,可考虑利用判定定理2 或判定定理3但是,在挑选利用判定定理 2 时,一对对应角相等必需是成比例两边的夹角对应相等2、直角三角形相像的判定：斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相像名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载温馨提示：由于直角三角形有一个角为直角,因此, 在判定两个直角三角形相像时,只需再找一对对应角相等,用判定定理 1,或两条直角边对应成比例,用判定定理 2,一般不用判定定理 3 判
5、定两个直角三角形相像；如图是一个非常重要的相像三角形的基本图形,图中的三角形,可称为“ 母子相像三角形 ”,其应用较为广泛如图,可简洁记为：在三三角形的重心Rt ABC 中, CDAB ,就 ABC CBD ACD 1、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心2、三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、重点难点疑点突破1、查找相像三角形对应元素的方法与技巧正确查找相像三角形的对应元素是分析与解决相像三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：1相像三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角；相像三角形中最大的角 或最小的角 肯定是对应角；相像三角形中,一对相等的角是对应
6、角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边；2相像三角形中, 一对最长的边 或最短的边 肯定是对应边； 对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角2、常见的相像三角形的基本图形：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习三角形相像的判定,学习必备欢迎下载把证明三角形全等的思想方法要与三角形全等的判定相比较,迁移到相像三角形中来；对一些显现频率较高的图形,要善于归纳和记忆；对相像三角形的判定思路要善于总结,形成一整套完整的判定方法如：路；1 “平行线型 ”相像三角形, 基本图形见上节图“ 见平行, 想相像 ”是
7、解这类题的基本思2 “相交线型 ”相像三角形,如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“见一对等角,找另一对等角或夹等角的两边成比例” 是解这类题的基本思路；3 “旋转型 ”相像三角形,如图如图中1= 2, B=D或 C=E,就 ADE ABC ,该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的温馨提示：从基本图形入手能较顺当地找到解决问题的思路和方法,能帮忙我们尽快地找到添加的帮助线以上 “ 平行线型 ” 是常见的,这类相像三角形的对应元素有较明显的次序,“ 相交线型” 识图较困难,解题时要留意从复杂图形中分解或添加帮助线构造出基本图形名师归纳总结 - - - - - - -第
8、4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、解题方法技巧点拨1、查找相像三角形的个数例 1、吉林 将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中全部点、线都在同一平面内,回答以下问题：1图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；2图中有相像 不包括全等 三角形吗？假如有,就把它们一一写出来分析：1在 ABC 内,有五个三角形,加上ABC 与 AFG ,共有七个三角形2这是依据相像三角形判定定理来解决的计数问题由于 个非直角三角形,考虑到题设中两个三角形摆放的随便性,“ 不包括全等 ”,图中仍剩五 1 不肯定等于 2,而 B=C=45, 3
9、、 4 都为钝角,又排除ABD 与 ACE 相像,仍剩三个三角形,这三个三角形相像解：1共有七个三角形,它们是ABD 、 ABE 、 ADE 、 ADC 、 AEC 、 ABC 与 AFG 2有相像三角形,它们是 DAE DCA ABE DAE , DAE DCA , ABE DCA 或 ABE点拨：解决这类计数问题,肯定要依据图形与定理,全面、 周密摸索, 做到不重不漏,这类题有利于发散思维的培育和创新意识的形成；有爱好的同学可连续探究一下此题中BD 、DE、EC 三条线段有何关系？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - -
10、- 学习必备 欢迎下载2、画符合要求的相像三角形例 2、上海 在大小为 4 4 的正方形方格中,ABC 的顶点 A、B、C 在单位正方形的顶点上,请在图中画出一个A 1B1C1,使得A 1B1C1 ABC 相像比不为1,且点 A 1、 B1、C1都在单位正方形的顶点上（1）（2）分析：设单位正方形的边长为1,就 ABC 的三边为2 或 3 可画,从而依据相像三角形判定定理A 1B 1C1,易得点拨： 在 4 4 的正方形方格中,满意题设的A 1B 1C1 只能画出以上三个,如正方形方格数不加限制,就和ABC 相像且不全等的三角形可以画很多个3、相像三角形的判定例 3、1如图, O 是 ABC
11、内任一点, D、E、F 分别是 OA 、OB 、OC 的中点,求证：DEF ABC ；2如图,正方形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DF=3CF ,写出图中全部相像三角形,并证明名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析：1依据题设, 观看图形易见, DE、EF、FD 分别是AOB 、 BOC 、 COA 的中位线,利用三角形的中位线性质可证DEF 与 ABC 的三边对应成比例；2由于正方形的四条边相等,且BE=CE ,DF=3CF ,设出正方形边长后,图中全部线段都能求出,故可从三边是否成
12、比例判定哪些三角形相像点拨： 第 1题,如点 O 在 ABC 外,其他条件不变,结论仍成立；第 2题也可用判定定理 2,先证ABE ECF,得出 AEF=90 后,再证其中任意三角形与AEF 相像,明显,以上证法较简便4、直角三角形相像的判定例 4、求证：如一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高与另一个直角三角形的一条直角边和斜边上的高成比例,那么这两个直角三角形相像名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载=90, CD、CD分别是两个三角形已知：如图, Rt ABC 和 Rt AB中, C=C斜边上的高
13、,且CDCD=ACAC求证：ABC AB分析：判定直角三角形相像的方法除使用一般三角形的判定方法外,仍可使用“ 斜边和始终角边对应成比例的两直角三角形相像”这肯定理证明ABC AB,只要再证一锐角对应相等即可证明：CD、CD分别是ABC 、 AB的高, ACD 、 AC是直角三角形5、三角形重心问题名师归纳总结 例 5、已知ABC 的重心 G 到 BC 边上的距离为5,那么 BC 边上的高为 第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A5学习必备欢迎下载B12 C10 D15 解析：由于 G 为 ABC 的重心,所以DG DA=1 3,
14、由于 GEBC,AFBC ,所以 GEAF ,所以 GEAF=DG DA=1 3,由于 GE=5,所以 AF=15 6、相像三角形的综合运用例 6、如图, CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的中线,过点 AC 延长线于 F求证： 1 ADF EDB ； 2CD 2=DE DF分析：D 垂直于 AB 的直线交 BC 于 E,交1 ADF 与 EDB 都是直角三角形,要证它们相像,只要再找一个角对应相等即可；2留意到 CD 是斜边 AB 的中线, AD=BD=CD ,由结论 1不难得出结论 2证明：1DFAB , ADF= BDE=90ADF EDB,又 F A=B A, F=B,名师归纳总结
15、 2由1得, AD BD=DEDF又 CD 是 Rt ABC 斜边上的中线,第 9 页,共 13 页AD=BD=CD 故 CD2=DE DF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点拨：此题综合考查了直角三角形的性质与相像三角形的判定等这是一道阶梯型问题,第2 题依据 1得出有关比例式,然后使用“ 等线代换 ” 使问题简捷获证其实第 2题也可这样摸索： 把它转化为比例式,证明这三条线段所在的CDE FDC请同学们完成这一证明例 7、如图, AD 是 ABC 的角平分线, BEAD 于 E, CFAD 于 F求证：分析：待证式中的四条线段不是
16、在两个三角形中,无法直接依据两个三角形相像得出,需要插入一个 “中间比 ”,由题设易证证明：ABE ACF , BDE CDF,从中不难找到这个中间比AD 是 ABC 的角平分线,1=2BEAD ,CFAD , 3=4=90 , ABE ACF,点拨： 当无法直接由两个三角形相像得出结论中的比例式时,一般可查找“中间比 ”帮忙；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 8、如图,在正方形 ABCD 中, M 、N 分别是 AB 、BC 上的点, BM=BN ,BPMC 于点P求证： 1 PBN PC
17、D；2PNPD分析：要证 PNPD,即证 DPN=90,由已知 BPC=90 ,而 BPC 与 DPN 有公共部分CPN,因此只要证明4=5 即可这就必需先证明出结论1在 PBN 与 PCD 中,易证 1=3,以下只要证明夹证明：1、 3 的两边对应成比例1在正方形 ABCD 中, AB CD , ABC=90 BPMC , PBM PCB点拨：要留意观看出图中存在的“ 母子相像三角形”基本图形, 从而充分利用它得出1=2 及 PBM PCB 等重要结论名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、本章
18、的两套定理 第一套（比例的有关性质） ：aacadbcbdcddcmaacdc或abbdbacd（比例基本定理）合比性质：abbcmbdn0等比性质:abdnbdnb涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项,比的内项、外项黄金 分割等；二、有关学问点：1.相像三角形定义：对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相像三角形；2.相像三角形的表示方法：用符号“ ” 表示,读作“ 相像于”；3.相像三角形的相像比：相像三角形的对应边的比叫做相像比；4.相像三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所截成的三角形与原三角形相像；5.相像三角形的判定定理：1三角形相像的判
19、定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型SAS斜三角形AAS（ASA）直角三角形全等三角形的判SSSHL定相像三角形两 边 对 应三 边 对 应两 角 对 应一条直角边成 比 例 夹与斜边对应的判定成比例相等角相等成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“ 对应边相等” 的条件改为“ 对应边 成比例” 就可得到相像三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧学问的基础上找出新学问并从中探究新学问把握的方法；6.直角三角形相像：1直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相像；2假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和 一条直角边对应成比例,那么
20、这两个直角三角形相像；7.相像三角形的性质定理：1相像三角形的对应角相等；2相像三角形的对应边成比例；3相像三角形的对应高线的比, 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载似比；4相像三角形的周长比等于相像比；5相像三角形的面积比等于相像比的平方；8.相像三角形的传递性 假如 ABC A1B1C1, A1B1C1 A2B2C2,那么 ABCA2B2C2三、留意 1、相像三角形的基本定理,它是相像三角形的一个判定定理,也是后面学习的 相像三角形的判定定理的基础,这个
21、定理确定了相像三角形的两个基本图形“A” 型和“8 ” 型；在利用定理证明时要留意 A 型图的比例AD AB DEBC AE AC,每个比的前项是 同一个三角形的三条边,而比的后项是另一个三角形的三条对应边,尤其是要防止写成它们的位置不能写错,ADDEAE EC的错误；B. C D A DBBC2、相像三角形的基本图形.平行线型：即 A 型和 X 型；.相交线型DEAD A E 3、把握相像三角形的判定定BCB C 理并且运用相像三角形定理证明三角形相像及比例式或等积式；4、添加帮助平行线是获得成比例线段和相像三角形的重要途径；5、对比例问题,常用处理方法是将“ 一份” 看着 法是设“ 公比” 为 k；k; 对于等比问题,常用处理办6、对于复杂的几何图形,采纳将部分需要的图形（或基本图形）“ 抽” 出来的办法处理；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页