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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问框架学问点总结：一元二次方程名师总结优秀学问点4. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法；直接开平方法适用于解形如xa2b的一元二次方程；依据平方根的定义可知,xa是 b 的平方根,当b0时,xab,xab,当 b0 时,方程没有实数根；（2）配方法配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的 其 他 领 域 也 有 着 广 泛 的 应 用 ； 配 方 法 的 理 论 根 据 是 完 全 平 方 公 式2 2 2a 2 ab b a b ,把公式
2、中的 a 看做未知数 x ,并用 x 代替,就有2 2 2x 2 bx b x b ；配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；变形为x+p2=q 的形式,假如q0,方程的根是x=-p q；假如 q0,方程无实根（3）公式法学问点、概念总结公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法；一元二次方程ax2bxc0a0 的求根公式：xbb24acb24 ac02a（4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简洁易行,是解
3、一元二次方程最常用的方法；5. 一元二次方程根的判别式1. 一元二次方程 ：方程两边都是整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程；2. 一元二次方程有四个特点：1 含有一个未知数；根的判别式：一元二次方程ax2bxc0a0 中,b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0 a0 的根的判别式,通常用“” 来表示,即b24 ac2 且未知数次数最高次数是2；3 是整式方程；要判定一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方学问点 1.只含有一个未知数,并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二程,如是,再对它进行整理；假如能整理为 ax2+b
4、x+c=0a 0 的形式,就这次方程；例题：个方程就为一元二次方程；（ 4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时,应满意（a 0）1、判别以下方程是不是一元二次方程,是的打“ ”,不是的打“ ”,3. 一元二次方程的一般形式：一般地, 任何一个关于x 的一元二次方程, 经过整理,并说明理由 . .都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a 0）；12x2 -x-3=0.2y -y 42 =0.3 t2 =0. 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a 0）后,其中ax2是二次项, a 是二次项系数； bx 是一次项, b 是一次项系数；c 是常数项；名师归纳总结 - - -
5、- - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点4 x3-x2 =1. 5 x2 -2y-1=0.6 1-3=0. 2、 关 于 x 的 方 程3 x22x60中a是； b 是；cx272 x3x =2. 8x+2x-2=x+12 .是；学问点三 .一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解；例题：93x2 -4 +6=0. x103x 2 = x -3. 42=2x 22 是一元二次方程,就a 的值是（）1、如关于 x 的方程 ax11、已知方程3 x 29xm0的一个根是1,就 m 的值是；（A）2 （B）
6、2 （C）0 （D）不等于 2 2、已知关于 x 的方程m1x2n23xp0,当时,方程为一次方程；2、设 a 是一元二次方程2 x5x0的较大根, b 是x23 x20较小根,那么ab的值是（）当时,两根中有一个为零a ；（A）-4 （B）-3 （C）1 （D）2 3、已知关于 x 的方程m2m x22xm0：3、已知关于 x 的一元二次方程x2kx20的一个解与方程x13的解相同；x1（1）求 k 的值；（1）m 为何值时方程为一元一次方程；（2）m 为何值时方程为一元二次方程；（2）求方程x2kx20的另一个解；学问点二 .一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：2 axbxc0
7、a0,其中2 ax 是二次项, a 叫二学问点四 .一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：次项系数； bx 是一次项, b 叫一次项系数,c 是常数项；（1）直接开平方法：假如x2k k0,就 xk特殊警示：（1）“a0” 是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的,所以求一元二次方 程的各项系数时,必需先将方程化为一般形式；例题：（2）配方法：要先把二次项系数化为1,然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方,配成左边是完全平方式,右边是非负常数的形式,然后用直接开平 方法求解；1、指出以下一元二次方程的二次项系数、一次项系
8、数和常数项. （3）公 式 法 ： 一 元 二 次 方 程2 axbxc0a0的 求 根 公 式 是25x210x2.2032x2150xbb24ac2 b4 ac0；4x23 x05x2232a第 2 页,共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（4）因式分解法：假如xaxb0就x1a x2b ；温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要,特殊是因式分解法,它使用的频率最2（2）当 b 4 ac 0 时,方程有两个相等的实数根；2（3）当 b 4 ac 0 时,方程无实数根；温馨提示 ：如方程有实数根,就有 b 24
9、 ac 0；高,在详细应用时,要留意挑选最恰当的方法解；D.x1（2,x 2）0；例题：有两个不相等的实数根,就k= ；例题：解方程：1、已知方程x23xk01、方程x22x0的解是：mx22m1x9m10有两个不相等实根？有两2、当 m 满意何条件时, 方程A.x1x21B.x11,x23C.x12,x20个相等实根？有实根？2、方程51x215x 的较简便的解法应选用解为 3、解以下方程：（1）2 x3332x13y（2）2x2x30x（3）x22x303 、 关 于 x 的 方 程mx22m2xm150无 实 根 , 试 解 关 于 x 的 方 程（4）2y2（5）1121x1m5x22
10、m2xm0；4mx2 m10,求证：不论m 为任何4、已知关于 x 的一元二次方程x232实数,方程总有两个不相等的实数根；（6）x3 22x5273y26y22y22学问点六 .一元二次方程根与系数的关系0a0的 两 个 实 数 根 为x x 2, 就如 一 元 二 次 方 程ax2bxcx 1x2b,x x 12c；aa学问点五 .一元二次方程根的判别式温馨提示： 利用根与系数的关系解题时,一元二次方程必需有实数根；对于一元二次方程2 axbxc0a0的根的判别式是b24ac ：例题：x2kx4 k230的两个实数根分别是x x ,且满意（1）当b24ac0时,方程有两个不相等的实数根；1
11、、关于 x 的一元二次方程名师归纳总结 第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点 顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？x 1x2x x ,就 k 的值为：（）（A）1 或3（B）1（C）3 4（D）不存在【考题 3】如图,在ABC 中, B=90 ,AB=5 ,BC=7 ,点 P42、已知,是关于 x 的一元二次方程2 x2m3x2 m0的两个不相等的实数根,且满意111 ,就 m 的值是（）（A）3 或-1 （B）3 （C）1 （D）-3 或 1 从 A 点开头沿 AB 边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动,
12、点 Q 从 B 点开头沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 . 3、方程x23 x60与方程x26x30的全部根的乘积是4 、 两 个 不 相 等 的 实 数m,n满 足2 m6 m4,n26n4, 就mn的 值（1）假如点P、Q 分别从 A、B 两点同时动身,经过几秒钟,为； PBQ 的面积等于4？5、设x x 是关于 x 的一元二次方程x2pxq0的两个根,x 11,x 21是关于（2）假如点P、Q 分别从 A、B 两点同时动身,经过几秒钟,x 的一元二次方程2 xqxp0的两个根,就p q 的值分别等于多少？PQ 的长度等于5？学问点七 .一元二次方程的实际应用列一元二方程解
13、应用题的一般步骤：（1）审题（ 2）设未知数（ 3）列方程（ 4）解方程（ 5）检验（ 6）写出答案；在检验时,应从方程本身和实际问题两个方面进行检验；【考题 1】（2022、襄樊）为了改善居民住房条件,我市方案用将来两年的时间,将一元二次方程综合复习1、以下方程中,关于x 的一元二次方程是（）城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 平方米提高到12.1 平方米,如每年的A.3x122x1 1 2 2 21 B. 2 2 0 C. ax bx c 0 D. x 2 x x 1x x2mx50 是关于 x 的一元二次方程, 就 m 满意的条件是 （）增长率相同,就年增长率为（）2、方程（ m 2
14、1）xA.9B.10C. 11D.12 （A）m 1 （B）m 0 （C）| m| 1 （D）m 1 【考题 2】（2022、海口） 某水果批发商场经销一种高档水果假如每千克盈利10 元,3、如x1是一元二次方程2 axbx20的一个根,就 ab；4、实数b2 b4ac是方程的根（）每天可售出500 千克,经市场调查发觉,在进货价不变的情形下,如每千克涨价1 元,日销售量将削减20 千克,现该商场要保证每天盈利6000 元,同时又要使2 a（A）2 axbxc0（B）2 axbxc0名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - -
15、名师总结优秀学问点（C）2 ax2bxc0（D）ax2bxc0（）3 x 2 -5x+6=0 （因式分解法）4. 2x27x30（公式法）5、方程x250的解是：A.x1x25B.x1x225 2 kxC.x1 15,x25D.x125,x2256、关于 x 的一元二次方程2x0两个不相等的实数根,就k 的取值21. 已 知 ： ABC的 两 边AB 、 AC的 长 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程范畴是（）（A）k1（B）k1（C）k0（D）k1 且k07、在以下方程中,有实数根的是（）A）x 23x10B）4x11C）x22x30D）xx1x118 、 关 于 x 的 一 元 二
16、 次 方 程22 x2x3 m10有 两 个 实 数 根x x 2, 且x x2x 1x24,就 m 的取值范畴是（）2 x2 k3xk23 k20的两个实数根,第三边BC 的长为 5,问： k 取何值时, ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？（A）m5（B）m1（C）m5（D）5m1323329.如（ x+y ）（1xy）+6=0 ,就 x+y 的值是（）A 2 B3 C 2 或 3 D2 或 3 10、如（ m+1 ）xm m2 1+2mx 1=0 是关于x 的一元二次方程,就m 的值是 _ _11、填上适当的数,使等式成立：x 2 5 x x2 12、当 x = 时,代数式 x 23 x 比代数式 2 x 2x 1 的值大 2 13、某商品原价每件 25 元,在圣诞节期间连续两次降价,现在商品每件 16 元,就该玩具平均每次降价的百分率是；14.解以下方程：1. （x2 2）250直接开平方法2. x24x50（配方法）第 5 页,共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -