资源描述
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二次函数
【知识清单】
1、一般的,形如的函数叫二次函数。例如等都是二次函数。注意:系数不能为零,可以为零。
2、二次函数的三种解析式(表达式)
①一般式:
②顶点式:,顶点坐标为
③交点式:
3、二次函数的图像位置与系数之间的关系
①:决定抛物线的开口方向及开口的大小。当时,开口方向向上;当时,开口方向向下。决定开口大小,当越大,则抛物线的开口越小;当越小,则抛物线的开口越大。反之,也成立。
②:决定抛物线与轴交点的位置。当时,抛物线与轴交点在轴正半轴(即轴上方);当时,抛物线与轴交点在轴负半轴(即轴下方);当时,抛物线过原点。反之,也成立。
③ :共同决定抛物线对称轴的位置。当时,对称轴在轴右边;当时,对称轴在轴左边;当(即当时)对称轴为轴。反之,也成立。
④特别:当时,有;当,有。反之也成立。
4、二次函数的图像可由抛物线向上(向下),向左(向右)平移而得到。具体为:当时,抛物线向右平移个单位;当时,抛物线向左平移个单位,得到;当时,抛物线再向上平移个单位,当时,抛物线再向下平移个单位,而得到的图像。
5、抛物线与一元二次方程的关系:
①若抛物线与轴有两个交点,则一元二次方程有两个不相等的实根。
②若抛物线与轴有一个交点,则一元二次方程有两个相等的实根(即一根)。
③若抛物线与轴无交点,则一元二次方程没有实根。
6、二次函数的图像与性质
关系式
图像形状
抛物线
顶点坐标
对称轴
增
减
性
在图像对称轴左侧,即或,随的增大而减小;在图像对称轴右侧,即或,随的增大而增大;
在图像对称轴左侧,即或,随的增大而增大;在图像对称轴右侧,即或,随的增大而减小;
最大值最小值
当时,
当时,
当时,
当时,
【考点解析】
考点一:二次函数的概念
【例1】下列函数中是二次函数的是( )
【解析】根据二次函数的定义即可做出判断,中符合的形式,所以是二次函数,分别是一次函数和反比例函数,中右边不是整式,显然不是二次函数。
【答案】
【例2】已知函数是二次函数,则。
【解析】根据二次函数的定义,只需满足两个条件即可“二次项系数不为零,且的最高次数为”。故有,解得,综上所述,取。
【答案】
【针对训练】
1、 若函数是二次函数,则该函数的表达式为。
考点二:待定系数法在求解二次函数解析式中的应用
【例1】已知点在二次函数的图象上,则的值是()
【解析】因为点在二次函数的图象上,所以将点代入二次函数中,可以得出,则可得,
【答案】
【例2】若二次函数的与的部分对应值如下表,则当时,的值为( )
【解析】设二次函数的解析式为,因为当或时,,由抛物线的对称性可知,,所以,把代入得,,所以二次函数的解析式为,当时,。 【答案】
【针对训练】
1、 过,,三点的抛物线的顶点坐标是( )
2、无论为何实数,二次函数的图象总是过定点( )
【例3】如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数的图象顶点为,且过点,则与的函数关系式为( )
【解析】设这个二次函数的关系式为,将代入得,解得:,故这个二次函数的关系式是,
【答案】
【针对训练】
1、 过,,三点的抛物线的顶点坐标是_____。
考点三:二次函数的图像与性质的综合应用(与系数的关系)
【例1】已知二次函数有最小值1,则、的大小关系为( )
不能确定
【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值
【解析】因为二次函数有最小值1,所以,,,所以。
【答案】
【针对训练】
1、二次函数的最小值是 。
2、二次函数的图象的顶点坐标是( )
3、抛物线的顶点坐标是( )
【例2】抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【考点】涉及函数平移问题
【解析】抛物线向左平移2个单位可得到抛物线,再向下平移3个单位可得到抛物线。【答案】
【针对训练】
1、已知下列函数:(1);(2);(3)。其中,图象通过平移可以得到函数的图象的有 (填写所有正确选项的序号)。
2、将抛物线向上平移一个单位后,得到新的抛物线,那么新的抛物线的表达式是 。
3、将抛物线向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是( )
【例3】二次函数的图象如图所示,则下列关系式错误的是( )
【考点】图像与系数的关系
【解析】观察题中图象可知,抛物线的开口方向向上,抛物线与轴的交点在轴的正半轴上,与轴有两个交点,所以,,,且当时,。显然选项A、B、C都正确,只有选项D错误。 【答案】
【例4】已知二次函数的图象如图所示,对称轴为直线,则下列结论正确的是( )
方程的两根是,
当时,随的增大而减小
【考点】图像与性质的综合应用
【解析】由图象可知,,故A错误;因对称轴为直线,所以,故C错误;由图象可知当时,随的增大而增大,故D错误;由二次函数的对称性可知B选项正确,
【答案】
【针对训练】
1、在同一平面直角坐标系中,函数和函数(是常数,且)的图象可能是( )
2、已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )
3、在反比例函数中,当时,随的增大而减小,则二次函数的图象大致是( )
考点四:二次函数的实际应用
【例1】某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件,受美元走低的影响,从去年1至9月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格(元)与月份(,且取整数)之间的函数关系如下表:
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格(元/件)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10至12月每件配件的原材料价格(元)与月份(10≤≤12,且取整数)之间存在如图所示的变化趋势:
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出与之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出与之间满足的一次函数关系式;
(2)若去年该配件每件的售价为1000元,生产每件配件的人力成本为50元,其它成本30元,该配件在1至9月的销售量(万件)与月份满足函数关系式(1≤≤9,且取整数)10至12月的销售量(万件)与月份满足函数关系式(10≤≤12,且取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润;
(3)今年1至5月,每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元,人力成本比去年增加20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高,与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少.这样,在保证每月上万件配件销量的前提下,完成了1至5月的总利润1700万元的任务,请你参考以下数据,估算出的整数值.
(参考数据:992=9901,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025)
【考点】涉及函数模型,把实际问题转化为函数,用函数的观点来解决问题,综合性比较强,一般还涉及不等式,最值问题。
【解析】(1)把表格(1)中任意2点的坐标代入直线解析式可得的解析式.把(10,730)(12,750)代入直线解析式可得的解析式,;(2)分情况探讨得:1≤≤9时,利润=(售价﹣各种成本);10≤≤12时,利润=(售价﹣各种成本);并求得相应的最大利润即可;(3)根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。解:(1)设,则,解得,
∴(1≤≤9,且取整数);设,则,解得,∴(10≤≤12,且取整数);
(2)设去年第月的利润为元.1≤≤9,且取整数时∴=4时,最大=450元;10≤≤12,且取整数时,
∴=10时,最大=361元;
(3)去年12月的销售量为﹣0.112+2.9=1.7(万件),
今年原材料价格为:750+60=810(元)
今年人力成本为:50(1+20%)=60元.
∴5[1000(1+)﹣810﹣60﹣30]1.7(1﹣0.1)=1700,
设,整理得,
解得 ∵9401更接近于9409, ∴,
∴≈0.1,≈9.8, ∴≈10或≈980,
∵1.7(1﹣0.1)≥1, ∴≈10.
【答案】(1)(10≤≤12,且取整数);(2)=10时,最大=361元;(3)≈10
【针对训练】
1、在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现,若每件按24元的价格销售时,每天能卖出36件;若每件按29元的价格销售时,每天能卖出21件.假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数。
(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润最大?
【例2】如图,已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线与二次函数的图象交于两点,其中点在轴上.
(1)二次函数的解析式为= ;
(2)证明点不在(1)中所求的二次函数的图象上;
(3)若为线段的中点,过点作轴于点,与二次函数的图象交于点.
①轴上存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形,则K点的坐标是 ;
②二次函数的图象上是否存在点,使得?求出点坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】考察函数的图像与性质,与平面图形综合为主,一般涉及存在性问题和动点问题。
【解析】(1)由二次函数图象的顶点坐标为,故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式.(2)把该点代入抛物线上,得到的一元二次方程,求根的判别式.(3)由直线与二次函数的图象交于两点,解得两点坐标,求出点坐标,①设点坐标,使为顶点的四边形是平行四边形,则,且,进而求出点的坐标.②过点作轴于,则,又为中点,求得点坐标,可得到,设,由题意可以解出.
(1)解:
(2)证明:设点在二次函数的图象上,
则有:,整理得,
∵∴原方程无解,
∴点不在二次函数的图象上.
(3)解:①或
②二次函数的图象上存在点P,使得,
如图,过点作轴于,则,又为中点,
∴,由于和可求得点
∴ ∴轴,
∴.
设,由题意得:
∵∴解得或,
当时,,
当时,,
∴存在点和,使得
【答案】(1); (2)见上述解答过程; (3)存在,点和
【基础闯关】
1、已知二次函数的图象如图所示,那么这个函数的解析式为。
2、已知二次函数,则函数的最小值是。
3、把抛物线向上平移5个单位,所得抛物线的解析式为。
4、将二次函数化成的形式,则。
5、 如图,抛物线的函数表达式是( )
6、已知函数的图象如图所示,则函数的图象是( )
7、二次函数的图象的顶点坐标是( )
(1,3) (,3)
(1,) (,)
8、对于抛物线,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线;③顶点坐标为(﹣1,3);④时,随的增大而减小,其中正确结论的个数为( )
1 2 3 4
9、已知:直线过抛物线的顶点,如图所示.
(1)顶点的坐标是____________________________
(2)若直线经过另一点(0,11),求出该直线的表达式;
(3)在(2)的条件下,若有一条直线与直线关于轴成轴对称,求直线与抛物线的交点坐标.
10、已知二次函数,解答下列问题:
(1)用配方法将该函数解析式化为的形式;
(2)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴,以及它的变化情况.
【拓展提高】
1、将二次函数的图象沿轴向上平移3个单位,那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 。
2、若抛物线的最低点的纵坐标为,则的值是 。
3、抛物线的顶点坐标是,且过点,那么二次函数的解析式为( )
4、抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的解析式为,则、的值为( )
, , , ,
5、抛物线图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为( )
6、如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是( )
k=n h=m k<n h<0,k<0
7、将二次函数化为的形式,结果为( )
8、企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份(1≤≤6,且取整数)之间满足的函数关系如下表:
月份x(月)
1
2
3
4
5
6
输送的污水量y1(吨)
12000
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份(7≤≤12,且取整数)之间满足二次函数关系式为.其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:(元)与月份之间满足函数关系式:,该企业自身处理每吨污水的费用:(元)与月份之间满足函数关系式: ;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.
(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出与之间的函数关系式;
(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用(元)最多,并求出这个最多费用;
(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元,请计算出a的整数值.(参考数据:,,)
9、在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图1,当点A的横坐标为 时,矩形AOBC是正方形;
(2)如图2,当点A的横坐标为时,
①求点B的坐标;
②将抛物线作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x2经过平移交换后,能否经过三点?如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.
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