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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组 一 、同一函数的函数的奇偶性与对称性： （奇偶性是一种特别的对称性）1、奇偶性 : （1） 奇函数关于（ 0,0）对称,奇函数有关系式fxffxf0xx（2）偶函数关于 y（即 x=0）轴对称,偶函数有关系式 2 、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数 y f x 关于 x a 对称 f a x f a x f a x f a x 也可以写成 f x f 2 a x 或 f x f 2 a x 如 写 成 ：f a x f b x , 就 函 数 y f x 关
2、于 直 线x a x b x a b 对称2 2证 明 ： 设 点 x 1y 1 在 y f x 上 , 通 过 f x f 2 a x 可 知 ,y 1 f x 1 f 2 a x 1 ,即点 2 a x 1 , y 1 也在 y f x 上,而点 x 1y 1 与点 2 a x 1y 1 关于 x=a 对称；得证；说明：关于 x a 对称要求横坐标之和为 2a ,纵坐标相等； a x y 1 与 a x 1 , y 1 关于 x a 对称,函数 y f x 关于 x a 对称f a x f a x x 1 , y 1 与 2 a x 1 , y 1 关于 x a 对称,函数 y f x 关
3、于 x a 对称f x f 2 a x x y 1 与 2 a x 1 , y 1 关于 x a 对称,函数 y f x 关于 x a 对称f x f 2 a x （2）函数的点对称：名师归纳总结 函数yfx关于点a ,b对称fafxfax2b,c对称第 1 页,共 6 页上述关系也可以写成f2 axfx 2 b或y2axfx2 bab如写成：faxfbx c,函数fx 关于点22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：设点x1y 1在yf精品资料y欢迎下载x1,通过f2ax fx 2bx 上,即1f可知,f2ax 1fx 1f2 b,所以f2ax 1
4、22 by 1fx 12by 1,所以点2ax 12,by 1也在yx上,而点2ax 1,b与x1y1关于a,b对称得证；说 明 : 关 于 点 a , b 对 称 要 求 横 坐 标 之 和 为 2a , 纵 坐 标 之 和 为 2b , 如 a x 与（a x 之和为 2a ；（3）函数 y f x 关于点 y b 对称 : 假设函数关于 y b 对称,即关于任一个 x值,都有两个 y 值与其对应, 明显这不符合函数的定义, 故函数自身不行能关于yx ,b对称；但在曲线0cx,y=0,就有可能会显现关于yb对称,比如圆x2y24cy它会关于 y=0 对称；（4）复合函数的奇偶性的性质定理：
5、性质 1、复数函数 yfgx 为偶函数,就 fg x fgx；复合函数 yfgx 为奇函数,就 fg x fgx；性质 2、复合函数 yfx a 为偶函数,就 fx a f xa ；复合函数 yfx a 为奇函数,就 f xa fa x ；性质 3、复合函数 yfx a 为偶函数,就 yfx 关于直线 xa 轴对称；复合函数 yfx a 为奇函数,就 yfx 关于点 a,0 中心对称；总结： x 的系数一个为 1,一个为 -1 ,相加除以 2,可得对称轴方程总结：x 的系数一个为 1,一个为 -1 ,fx 整理成两边,其中一个的系数是为 1,另一个为 -1 ,存在对称中心；总结： x 的系数同
6、为为 1,具有周期性； 二 、两个函数的图象对称性名师归纳总结 1、yf x 与yf x 关于 X轴对称；, 所 以yf x 经 过 点第 2 页,共 6 页证 明 ： 设yf x 上 任一 点 为x 1,y 1就y 1f x 1x 1,y 1与yf x 关于 X轴对称 . x 1,y 1与x 1,y 1关于 X轴对称,y 1fx 1注：换种说法：yfx与yg x f x 如满意fxgx,即它们关于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y0对称；精品资料欢迎下载2、yf x 与yfx 关于 Y轴对称；,所以yfx 经过点x 1,y 1证明：设yf x 上任
7、一点为x 1,y 1就y 1f x 1x 1,y 1与x y 1关于 Y 轴对称,yf x 与yfx 关于 Y 轴对称；名师归纳总结 注：由于x 1,y 1代入yfx 得y 1f x 1f x 1所以yfx 经过点第 3 页,共 6 页x y 1换种说法：yfx 与yg x fx 如满意fx gx,即它们关于x0 对称；gxf xf x 3、yf x 与yf2ax 关于直线 xa 对称；证明：设yf x 上任一点为x 1,y 1就y 1f x 1,所以yf2ax 经过点2ax 1,y 1x 1,y 1与2ax 1,y 1关于xa 轴对称 ,yf x 与yf2ax 关于直线 xa 对称；注：换种
8、说法：yfx与yg x f2ax 如满意fxg2 ax,即它们关于xa对称；4、yfx与y2afx关于直线ya对称；证明：设yf x 上任一点为x 1,y 1就y 1f x 1,所以y2afx经过点x 1,2ay 1x 1,y 1与x 1,2ay 1关于ya 轴对称 ,yfx与y2afx关于直线ya对称. 注：换种说法：yfx与yg x 2 af x 如满意fx gx2 a,即它们关于ya对称；5、yfx与y2bf2ax关于点 a,b 对称；证明：设yf x 上任一点为x 1,y 1就y 1f x 1,所以y2bf2ax 经过点2ax 1, 2by 1x 1,y 1与2ax 1, 2 by 1
9、关于点 a,b 对称,yfx 与y2bf2ax关- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载于点 a,b 对称 . 注：换种说法：yfx与yg x 2 bf2ax 如满意fx g2ax2 b,即它们关于点 a,b 对称；g 2 a x 2 b f 2 a 2 a x 2 b f x 6、y f a x 与 y f x b 关于直线 x a b对称；2证明：设 y f x 上任一点为 x 1 , y 1 就 y 1 f x 1 ,所以 y f a x 经过点 a x y 1 , y f b x 经 过 点 b x 1 , y 1 , a x 1
10、, y 1 与 b x y 1 关 于 直 线x a b 对称,2y f a x 与 y f x b 关于直线 x a b对称；2三、总规律：定义在上的函数 y f x,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,就第三条肯定存在；一、同一函数的周期性、对称性问题 即函数自身 一 、函数的周期性：对于函数 y f x ,假如存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f x T f x 都成立,那么就把函数y f x 叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的周期；假如全部的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期；1、周期性：（1）函
11、数yfx 满意如下关系式,就ffx 的周期为2 TTfx B 、fxT1或fxTf1 A 、fxx x C 、fxT1fx 或fxT1fx（等式右边加负号亦成立）21fx21fx D 、其他情形（2）函数 y f x 满意 f a x f a x 且 f b x f b x ,就可推出f x f 2 a x f b 2 a x b f b 2 a x b f x 2 b a 即可以得到 y f x 的周期为 2b-a ,即可以得到“ 假如函数在定义域内关于垂直于 x 轴两条直线对称,就函数肯定是周期函数”名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - -
12、 - - - - - （3）假如奇函数满意fxT精品资料欢迎下载2T,且可以推出对称fx就可以推出其周期是轴为 x T 2 kT k z ,依据 f x f x 2 T 可以找出其对称中心为2kT, k z （以上 T 0）假如偶函数满意 f x T f x 就亦可以推出周期是 2T,且可以推出对称中心为 T 2 kT , 0 k z , 根 据 f x f x 2 T 可 以 推 出 对 称 轴 为2x T 2 kT k z （以上 T 0）（4）假如奇函数 y f x 满意 f T x f T x （T 0）,就函数 y f x 是以 4T 为周期的周期性函数；假如偶函数 y f x 满意
13、 f T x f T x （T 0）,就函数 y f x 是以 2T为周期的周期性函数；定理 1：如函数 f x 在 R上满意 f a x f a x,且 f b x f b x（其中 a b）,就函数 y f x 以 2 a b 为周期 . 定理 2：如函数 f x 在 R上满意 f a x f a x,且 f b x f b x（其中 a b）,就函数 y f x 以 2 a b 为周期 . 定理 3：如函数 f x 在 R上满意 f a x f a x,且 f b x f b x（其中 a b）,就函数 y f x 以 4 a b 为周期 . 定理 4：如函数 fx的图像关于直线x=a
14、和 x=b 都对称,就 fx 是周期函数, 2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） ；定理 5：如函数 fx 的图像关于点（ a,c）和b,c都成中心对称,就 fx 是周期函数, 2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） ；定理 6：如函数 fx关于点（a,c）和 x=b 都对称,就 fx 是周期,4（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期） ；定理 7：如函数 fx 满意 fx-a=fx+aa0, 就 fx 是周期函数, 2a 是它的一个周期；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载f1或 fx+a= 定理 8：如函数 fx满意 fx+a=-fxa0 或 fx+a=xf1就 fx 周期函数, 2a 是它的一个周期；,就 fx 是周期函数, 4ax定理 9：如函数fxa1fx fx1 ,a0 1fx 是它的一个周期；如 fx 满意fxa1fxfx1 ,a0 ,就 fx是周期函数, 2a 是它1fx的一个周期；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页