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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载综合型问题类型之一 代数类型的综合题代数综合题是指以代数学问为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题主要包括方程、 函数、不等式等内容, 用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、 数形结合思想以及代人法、待定系数法等 解代数综合题要留意各学问点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的敏捷运用,要抓住题意,化整为零,层层深人,各个击破例 1. 安徽省 刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立刻动身往 30 千米的 A镇；二分队因疲惫可在营地休息 a（0a3）小时再往 A 镇参与救灾；一分队动身后得知,唯独通往 A 镇的道路在离营
2、地 10 千米处发生塌方,塌方地势复杂,必需由一分队用 1 小时打通道路,已知一分队的行进速度为 5 千米 / 时,二分队的行进速度为（4+a）千米 / 时；如二分队在营地不休息,问二分队几小时能赶到 A镇？如二分队和一分队同时赶到 A 镇,二分队应在营地休息几小时？以下图象中,分别描述一分队和二分队离 A 镇的距离y 千米 和时间 x 小时 的函数关系,请写出你认为全部可能合理的代号,并说明它们的实际意义；1. 【解析】 此题是一道包含着分类思想的应用综合应用题；解题前先仔细阅读弄清题意,把握好时间信息,二分队在营地不休息,几小时能赶到A 镇,途中考虑到在塌方地点的停留,解题时不能忽视；在考
3、虑图像时,同样也要分不同的情形去讨论；【答案】解：（1）如二分队在营地不休息,就 a 0,速度为 4 千米 / 时,行至塌方处需102.54（小时）名师归纳总结 由于一分队到塌方处并打通道路需要1013（小时）,故二分队在塌方处需停留0.5 小第 1 页,共 14 页5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载8（小时）时,所以二分队在营地不休息赶到A 镇需 2.5+0.5+20 4（2）一分队赶到A镇共需30 5+1 7（小时）（）如二分队在塌方处需停留,就后20 千米需与一分队同行,故4+a5,即 a=1,这与二分队在塌方处停留冲突,舍去；
4、（）如二分队在塌方处不停留,就（均符合题意；4+a）7 a=30 ,即 a 2 3a+20, 解得 a1=1, a2=2答：二分队应在营地休息 1 小时或 2 小时；（其他解法只要合理即给分）3 合理的图像为（b）、（ d）图像（ b）说明二分队在营地休息时间过长（2a3）,后于一分队赶到 A镇；图像（ d）说明二分队在营地休息时间恰当（1a2）,先于一分队赶到 A镇；同步测试：1 .沈阳市） 一辆经营长途运输的货车在高速大路的A 处加满油后, 以每小时 80 千米的速度匀速行驶, 前往与 A 处相距 636 千米的 B地,下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量 y（升）与行驶时间 x（时）
5、之间的关系：（1）请你仔细分析上表中所给的数据,用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与 x 之间的变化规律, 说明挑选这种函数的理由,并求出它的函数表达式； （不要求写出自变量的取值范畴）（2）依据（ 1）中的变化规律,货车从A处动身行驶4.2 小时到达 C处,求此时油箱内余油多少升？（3）在（ 2）的前提下, C 处前方 18 千米的 D处有一加油站,依据实际体会此货车在行驶中油箱内至少保证有 10 升油,假如货车的速度和每小时的耗油量不变,那么在 D处至少加多少升油,才能使货车到达 B 地（货车在 D处加油过程中的时间和路程忽视不计）类型之二 几何类型的综合题几何综合
6、题考查学问点多、条件隐晦,要求同学有较强的懂得才能,分析才能,解决问题的名师归纳总结 才能, 对数学学问、 数学方法有较强的驾驭才能,并有较强的创新意识与创新才能解决第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载几何型综合题的关键是把代数学问与几何图形的性质以及运算与证明有机融合起来,进行分析、推理,从而达到解决问题的目的例 2. （ 龙岩市）如图,在平面直角坐标系xOy 中, O 交 x 轴于 A、B 两点,直线FAx轴于点 A,点 D在 FA 上,且 DO平行 O的弦 MB,连 DM并延长交 x 轴于点 C.（1）判定
7、直线DC与 O的位置关系,并给出证明；（DC的解析式 . 2）设点 D的坐标为（ -2 ,4）,试求 MC的长及直线【解析】此题考查圆的切线的判定方法及一次函数解析式的判定,1 切线的判定要从定义上去判定 : 过半径的外端 , 且垂直于半径的直线为圆的切线 , 所以此题要连接 OM,然后证明 OMDC,这里平行线对角的转化起到了关键的作用； 2 MC的长借助于勾股定理建立方程而求出, 要求直线 DC的解析式需要再求出点C的坐标依据 MC的长即可以求出点C的坐标（A10 3 E A,0）,从而求出直线 DC的解析式 . 【答案】（ 1）答：直线 DC与 O相切于点 M . 证明如下：连 OM,
8、DO MB, 1=2, 3=4 . OB=OM, 1=3 . 2=4 . 在 DAO与 DMO中,AOOM24DODO DAO DMO . OMD=OAD . 由于 FAx 轴于点 A, OAD=90 . OMD=90 . 即 OMDC . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载DC切 O于 M. （2）解：由 D（ 2,4）知 OA=2（即 O的半径）, AD=4 . 由（ 1）知 DM=AD=4,由 OMC DAC,MC 知A ACE A= AOM ADE A= A2 4E A= A1 2E A,
9、 AC=2MC. 在 Rt ACD中, CD=MC+4. 由勾股定理,有2MC2+48 2=MC+4 2,解得 MC= A 3E A或MC=0（不合,舍去）. 8 10MC的长为 A 3E A,点 C（A 3 E A,0）. 设直线 DC的解析式为y = kx+b . 就有010 3kb解得k53442 kb.b.23直线 DC的解析式为 y = A 4E Ax+A5 2E A. 同步测试：2 益阳 ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边 DE落在 BC上,顶点 F、G分别落在 AC、AB上 . . 证明： BDG CEF；. 探究： 怎样在铁片上精确地
10、画出正方形 . 小聪和小明各给出了 一种想法,请你在a和b的两个问题中挑选一个你喜爱的问题解答 . 假如两题都解,只以a的解答记分. a. 小聪想： 要画出正方形DEFG,只要能运算出正方形的边长就能求出名师归纳总结 BD和 CE的长,从而确定D点和 E点,再画正方形DEFG就简单了 . 设 ABC的边长为 2 ,第 4 页,共 14 页请你帮小聪求出正方形的边长 结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载在 AB边上任取一点G ,b. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 详细作法是：如图作正
11、方形 GDEF；连结 BF并延长交 AC于 F；作 FE FE交 BC于 E,FG FG 交 AB于 G,GD GD交 BC于 D,就四边形 DEFG即为所求 . 你认为小明的作法正确吗？说明理由 . 类型之三 几何与代数相结合的综合题几何与代数相结合的综合题是中学数学中涵盖广、综合性最强的题型 .它可以包含中学阶段所学的代数与几何的如干学问点和各种数学思 想方法,仍能有机结合探干脆、开放性等有关问题；它既突出考查了 中学数学的主干学问,又突出了与高中连接的重要内容,如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相像形、圆等. 它不但考查同学数学基础学问和敏捷运用学问的才能仍可以考查同学对数学学问迁移
12、整 合才能；既考查同学对几何与代数之间的内在联系,多角度、多层面名师归纳总结 综合运用数学学问、 数学思想方法分析问题和解决问题的才能,仍考第 5 页,共 14 页查同学学问网络化、创新意识和实践才能. 例 3. （ 恩施自治州）如图1,在同一平面内, 将两个全等的等腰直角三角形ABC和 AFG摆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载放在一起, A 为公共顶点, BAC=AGF=90 ,它们的斜边长为2,如 .ABC固定不动, .AFG绕点 A 旋转, AF、 AG与边 BC的交点分别为 D、E 点 D 不与点 B 重合 , 点 E 不与
13、点 C重合 ,设 BE=m,CD=n. 图 1（1）请在图中找出两对相像而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明 .（2）求 m与 n 的函数关系式,直接写出自变量 n 的取值范畴 . （3）以 .ABC的斜边 BC所在的直线为 x 轴, BC边上的高所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系 如图 2. 在边 BC上找一点 D,使 BD=CE,求出 D点的坐标,并通过运算验证 BD 2 +CE 2 =DE 2 . 图 2（4）在旋转过程中 ,3中的等量关系BD 2 +CE 2 =DE 2 是否始终成立 , 如成立 , 请证明 , 如不成立 , 请说明理由 . 【解析】解决问题（1）（ 2）的关
14、键是利用图中的相像三角形；解决问题（3）时利用（ 2）中的 m、n 的关系求出点 D 的坐标,进而分别求出 BD 2、CE 2、DE 2 的值；解决问题（4）时,通常方法是先猜想其结论成立,依据结论的特点, 尝试构造直角三角形,就问题可轻松获解 . 【答案】解： 1 .ABE.DAE, .ABE.DCA BAE=BAD+45 , CDA=BAD+45名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 BAE=CDA又 B=C=45.ABE.DCA2 .ABE .DCA,BEBACACD由依题意可知CA=BA=21
15、n2. m2, m=22nn自变量 n 的取值范畴为3 由 BD=CE可得 BE=CD, 即 m=n m=2 , m=n= 2 n2 =22 2 OB=OC=1 BC=1, OE=OD= 2 1, D1 22 , 0 BD=OBOD=1-2 1=2 2 =CE, DE=BC2BD=2-22 BD 2 +CE 2 =2 BD2 =22 2 2 =1282 , DE 2 =22 22 = 12 82BD 2 +CE 2 =DE 24 成立证明 : 如图 , 将.ACE绕点 A 顺时针旋转90 至 .ABH的位置 , 就 CE=HB, AE=AH, ABH=C=45 , 旋转角 EAH=90 . 连
16、接 HD, 在.EAD和 .HAD中AE=AH, HAD=EAH- FAG=45 =EAD, AD=AD. .EAD.HADDH=DE名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又 HBD=ABH+ ABD=90BD 2 +HB 2 =DH 2即 BD 2 +CE 2 =DE 2同步测试：3. （ 茂名）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =2 x 32 +b x + c ,经过 A（0,4）、B（ x 1 ,0）、C（ x 2 ,0）三点,且 x 2 - x 1 =5（1）求 b 、c的值；（2）在抛物线
17、上求一点 D,使得四边形 BDCE是以 BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点 P,使得四边形 BPOH 是以 OB为对角线的菱形？如存在,求出点 P 的坐标,并判定这个菱形是否为正方形？如不存在,请说明理由4（ 嘉兴市） 如图,直角坐标系中, 已知两点O0 0,A 2 0, ,点 B 在第一象限且OAB为正三角形,OAB的外接圆交y 轴的正半轴于点C ,过点 C 的圆的切线交x 轴于点 D （1）求 B,C两点的坐标；（2）求直线 CD 的函数解析式；名师归纳总结 （3）设 E,F分别是线段 AB,AD上的两个动点,且EF平分四边形ABCD的周长第 8 页,共 14 页摸索究：AE
18、F的最大面积？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载同步测试答案：1. 【解析】从表格中的数据我们可以看出当 x 增加 1 时,对应 y 的值减小 20,所以 y 与 x之间可能是一次函数的关系,然后设出一次函数关系式,求出其关系式,然后进行验证 . 【答案】（ 1）设 y 与 x 之间的关系为一次函数,其函数表达式为 y=kx+b 将0,100 , 1,80 代入上式得,b100解得k20kb80b100y20x10020210060,符合一次函数；验证：当 x=2 时,y当 x=2.5 时,y202.510050,也符合一次函数可用一
19、次函数y20x100表示其变化规律,而不用反比例函数、二次函数表示其变化规律y 与 x 之间的关系是一次函数,其函数表达式为y20x100（2）当 x=4.2 时,由y20x100可得 y=16 即货车行驶到C处时油箱内余油16 升（3）方法不唯独,如：名师归纳总结 方法一：由（ 1）得,货车行驶中每小时耗油20 升,第 9 页,共 14 页设在 D处至少加油 a 升,货车才能到达B 地依题意得,636804.22010a16,80- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解得, a=69（升）方法二 HU：UH由（ 1）得,货车行驶中每小时
20、耗油20 升,汽车行驶 18 千米的耗油量：18204.5（升）80D、B 之间路程为：636804.218282（千米）汽车行驶 282 千米的耗油量：2822070.5（升）20 升,8070.510164.569 （升）方法三：由（ 1）得,货车行驶中每小时耗油设在 D处加油 a 升,货车才能到达B 地依题意得,解得,a69在 D处至少加油 69 升,货车才能到达 B 地2. 【答案】. 证明： DEFG为正方形, GD=FE, GDB=FEC=90 ABC是等边三角形,B=C=60 BDG CEFAAS a. 解法一：设正方形的边长为 x,作 ABC的高 AH,求得 AH 3,由 AG
21、F ABC得：x 3 x2 3解之得： 或x436 BD22x3解法二：设正方形的边长为x,就2在 Rt BDG中, tan B=GD ,BDxx2名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解之得：x23 或x436 学习必备欢迎下载23解法三：设正方形的边长为x2x,就BD22x,GB2xx436由勾股定理得：2x222x2解之得：b. 解： 正确由已知可知,四边形GDEF为矩形FE FE,FEFB,同理FGFB,FEFGFEFBFGFBFEFG又 FE=FG,FE=FG 2 x 32 +b x + c 经过点 A（0
22、, 4）,因此,矩形GDEF为正方形3. 【答案】（ 1）解法一：抛物线y = c =4 又由题意可知,x 1、 x 2 是方程2 x 3 x 1+ x 2 = 3 b ,x 1 x 2=3 c =6 2 2由已知得（ x 2 - x 1）2 =25 2 +b x +c =0 的两个根,名师归纳总结 又（ x 2 - x 1 ）2 =（ x 2 + x 1）2 4 x 1 x 2 =9 b 42 24 第 11 页,共 14 页9 b 42 24=25 ,解得 b=143当 b =14 时,抛物线与 3x 轴的交点在x 轴的正半轴上,不合题意,舍去 b =14 3解法二： x 1 、 x 2
23、是方程2 x 32 +b x +c=0 的两个根,即方程 2 x2 3b x +12=0 的两个根 x =3b9b296,4 x 2 x 1 =9b296=5,2解得 b =14 （以下与解法一相同）3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）四边形学习必备欢迎下载D必在抛物线的对称轴BDCE是以 BC为对角线的菱形,依据菱形的性质,点上,又 y =2 x 2 14 x 4=2 （ x + 7 ）2 + 253 3 3 2 6抛物线的顶点（7 ,25 ）即为所求的点 D2 6（3）四边形 BPOH是以 OB为对角线的菱形,点 B 的坐标为（ 6,0）,依
24、据菱形的性质,点 P 必是直线 x =-3 与抛物线 y =2 x 2 -14 x -4 的交点,3 3当 x =3 时, y =2 （ 3）2 14 （ 3） 4=4,3 3在抛物线上存在一点 P（ 3, 4）,使得四边形 BPOH为菱形四边形 BPOH不能成为正方形, 由于假如四边形 但这一点不在抛物线上4. 【答案】（ 1）A2 0, ,OA2作 BGOA于 G ,BPOH为正方形,点 P 的坐标只能是 （ 3,3）,名师归纳总结 OAB为正三角形,OG1,BG3第 12 页,共 14 页,B ,3连 AC ,AOC90,ACOABO60OCOAtan302 3C0,2 333（2）AO
25、C90,AC 是圆的直径,又CD 是圆的切线,CDAC - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OCD30,ODOCtan30学习必备欢迎下载2 3名师归纳总结 D2 0, 3第 13 页,共 14 页设直线 CD 的函数解析式为ykxb k0,就b2 3b,解得k330b2 32 3k3直线 CD 的函数解析式为y3x2 33（3）ABOA2,OD2,3CD2 OD4,BCOC2 3,33四边形 ABCD 的周长62 33设 AEt ,AEF的面积为 S,就AF33t ,3S1AF AEsin 603t33t243S3t33t3t96327343432当t963时,S max7 33128点 E,F分别在线段 AB,AD上,0t2033t22,33解得133t2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t963满意133t2,学习必备欢迎下载名师归纳总结 AEF的最大面积为7 33第 14 页,共 14 页128- - - - - - -