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1、1 课 堂 因 细 节 而 决 定 成 败谈“用函数的观点看一元二次方程”教学中的细节问题常言道：“细节决定成败” ，课堂教学也正是如此，细节常发生在充满灵气的课堂场景中，它看似平常， 却蕴含着智慧， 它看似简单， 却孕育着深刻， 它看似细小， 却显示着效能，课堂正是因为有了这样的令人关注的细节，教学才经历一次次成败的喜与忧的体验。下面结合“用函数的观点看一元二次方程”的教学案例谈课堂教学中的细节问题。1、 复习设计细节课堂因此而简单简短的复习，初看是浪费时间，细思其意蕴，可拉近知识之间的心理距离，营造轻松的教学环境。教学片段：（1）填写下表，并回答下表反映了什么问题？（反映了一元一次方程和一
2、次函数的关系）序号一元一次方程问题一次函数问题1解方程3x2=0当 x 为何值时 ,y=3x2 的值为 02解方程8x+3=03当 x 为何值时 ,y=-7x+2 的值为 0（2）根据图象你能写出哪些一元一次方程的解方程 5x=0 的解是 x=0 ，方程 x+2=0的解是 x=-2 ，方程 -2.5x+5 =0的解是 x=2 ，方程 x-3 =0 的解是 x=3 （3）归纳：从数的角度看：求ax+b=0(a, b 是常数， a0)的解X为何值时 y= ax+b 的值为 0；从形的角度看：求ax+b=0(a, b 是常数， a0)的解求直线 y= ax+b 与X轴交点的横坐标；教师从数和形的两个
3、角度，引导学回顾一元一次方程与一次函数的关系。恰到好处地进行内容和方法的回顾，让学生进入知识的情景，营造轻松和谐的学习氛围，为本节课的成功教学打下了基础。2、教材内容处理细节课堂内容因此而成功教材内容片段1：如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：m ）与飞行时间t（单位： s）之间具有关系：2520tth。考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞时间？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
4、理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 （2）球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m? 如能，需要多少飞时间？（4）球从飞出到落地要用多少时间? （1）求解细节课堂教学因此而实效学生已知掌握二次函数常规知识下，问题的具体求解是没有困难，教师要从理解题意着手，能使学生意识到，可把问题化为：已知h=15、20、20.5、0；求相应t 的值。具体求解过程让学生独立完成，让学生从数的角度经历与体验二次函数与一元二方程的关系。（2）解释细节课堂内容因此而领会求出了答案， 此时学生的思维还处在孤立状态
5、，要让学生真正理解问题的本质，要结合图形对答案作出解释是很重要的一个问题，教学中，应回归题目中所给的图形，提出问题：为什么有两个时间球的高度都为15m？让学生建立合理的坐标系，在纵坐标上找出h=15 的点，过这个点作纵轴的垂线与抛物线相有两个交点，过这两个交点作横轴的垂线，垂足所对应的点分别为1 与 3。由抛物线的对称性可知，当横坐标取1 或 3 时，纵坐标都是15。类似地解释其他几个问题，让学生能从形的角度领会二次函数与一元二次方程的关系。（3）归纳细节课堂内容因此而清晰上面的求解过程、解释过程、 板书过程还比较杂而乱，需要教师梳理， 让学生从数和形的两个角度体验二次函与一元二次方程的关系，
6、因此，我在教学时，就设计了下表，让学生在边解边答的过程中填写，有意识地归纳二次函数2520tth与相应的一元二次方程的关系所在。二次函数h 的取值相应的图形相应的方程对应t的值2520tth15 252015ttt1=1 ，t2=3 2520tth20 252020ttt1=t2=2 2520tth20.5 25205.20tt无实数根2520tth0 25200ttt1=0 ，t2=4 上表格更清晰地反映了二次函数与一元二次方程的密切联系。使教学片段1 的意图得到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
7、 - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 真正体现。教材内容片段2：从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系关系密切；例如，已知 二 次 函 数xxy42的 值 为3， 求 自 变 量x的 值 ， 可 以 看 作 一 元 二 次 方 程，xx342（即），xx0342反过来，解方程0342xx又可以看作已知二次函数342xxy的值为 0。求自变量 x 的值。（4）从特殊到一般的细节处理课堂内容因此而领悟对这一段的对话，要教学时我设计以下三个问题：问题 1：已知二次函数，xxy342的值为求自变量x 的值，让学生独立完成，再次感受方法，体验过程，
8、达到真正领悟。问题 2：解方程0342xx又可以看作二次函数342xxy的值为 0，求自变量 x 的值。让学生经过思考问答，经历构造二次函数的过程，真正达到领悟二次函数与一元二次方程的关系。问题 3：解方程02cbxax又可以看作二次函数cbxaxy2的值为0，求自变量 x 的值。让学生经历从特殊到一般的过程，进一步明确一般一元二次方程与二次函数存在一定的关系。需要进一步深入讨论，为下面的学习指明方向。教材内容片段3: 下列二次函数的图像与x 轴有公共点吗?如果有公共点的横坐标是多少?x 取公共点的横坐标时, 函数的值是多少?由此 , 你 能 得 出 相 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根
9、 吗 ?2) 1(2xxy; ;96)2(2xxy1)3(2xxy（5）图像呈现细节课堂时间因此而赢得根据学生已有的知识，同时考虑一节课的教学时间，这三个二次函数的图像是作为已知呈现，不再是当堂画图，这样才能赢得时间去重点解决解决主要问题。（6）结论呈现细节课堂内容因此而生效根据教材中问题，学生得出的结论很零碎，需要教师引导学生加以归纳整理，让学生能从数和形两个角度去理解二次函数与一元二次方程根的关系，到达真正理解问题的本质的目的。所以我在教学时设计了下表，与学生一起分析探讨与归纳：二次函数相应的图像与 x 轴公共点个数及对应的坐标相应方程的根判 别 式 的 符 号acb4222xxy有两个公
10、共点（-2，0）（1，0）x2+x-2=0 的两个根是X1=-2，x2=1 042acb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 962xxy有唯一公共点（3，0）x2-6x+9=0 有两根相等的实数根 x1=x2=3 042acb12xxy没有公共点x2-x+1=0 没有实数根042acb从以上表格可以很自然过渡到一般性结论，即二次函数cbxaxy2与一元二次方程02cbxax有下面的关系：二次函数相应的图像与 x
11、轴公共点 个 数 及 对应的坐标相 应 方 程 的 根02cbxax判别式的符号acb42cbxaxy2有 两 个 公 共点（x1，0）（x2，0）02cbxax的两个根是x1，x2 042acbcbxaxy2有 唯 一 公 共点（ab2，0）02cbxax有两根相等的实数根ab2042acbcbxaxy2没有公共点02cbxax没有实数根042acb这样的教学设计，让学生经历了在求解中探究、在探究中归纳的过程，从而更加深刻领悟到二次函数与一元二次方程存在着不可分割的联系。教材内片段4：利用函数的图像求方程0222xx的实数根（精确到0.1 ） 。（7）方法与步骤细节课堂内容因此而学会根据上面
12、的探究过程，让学生知道一元二次方程的另一种解法图像法，教学时， 要名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 关注解题方法的掌握，突出解题步骤的归纳：（1）构造二次函数222xxy； （2）用描点法作出这个二次函数的图像；（3）找出图像与x 轴交点的横坐标； （4）写出方程的解。为了使画图像简便，再介绍构造另一种二次函数的方法：（1）把方程变形为：222xx，（2）构造两个函数2xy与22xy； （3）分别在同一坐标系中
13、作出这两个函数的图像；（4）找出两个图像的交点的横坐标，（5）写出方的解。归纳小结两种解法的差异，基本方法类同，方法1 只构造一个二次函数，对于本节课来说，这种解法比较自然，易于理解，但是画二次函数的图像比较费时。方法 2 其中二次函数的图像是固定易画，而一次函数的图像只要两点画直线，也比较容易， 这种解法与二元一次方程组的图像解法类同。在学生理解比较透彻的情况下，方法2 是比较容易的一种解法。以上的教学流程，体现了教材重组的必要性，通过对教材重组、拓展等，关注了每个过程的教学细节，关注了学生的认知规律，使课堂教学更加有效。总之，细节决定课堂教学的成败，关注了一个细节，就有可能生成一次成功的课堂，而忽视一个细节，有可能毁掉一次成功的课堂。参考文献：1、 数学课程标准解读。2、 周南翔课堂因细节而精彩中学数学教学参考2007，6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -