《2022年中考数学综合题专题训练以三角形为基础的综合题四专题解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学综合题专题训练以三角形为基础的综合题四专题解析.docx（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载中考数学综合题专题训练 【以三角形为基础的综合题四】专题解析1在 Rt ABC中,ACB90,AC5,以斜边 AB 为底边向外作等腰三角形 PAB,连接 PC（1）如图 1,当 APB90时,求证： PC平分 ACB；如 PC6 2,求 BC的长；（2）如图 2,当 APB60,PC5 2 时,求 BC的长P A 图 1 B A B P C C 图 2 （1）证明：过点P 分别作 AC、BC的垂线,垂足为E、F就四边形 ECFP是矩形, EPF90 APB90, EPA FPB90APFE P 又 PAPB, PEA PFB
2、 90, PEA PFBPEPF,矩形 ECFP是正方形A PC平分 ACB解：延长CB至 D,使 BDAC5,连接 PDC F B D 在四边形ACBP中, ACB APB90 PAC PBC180 PBD PBC 180, PACPBD图 1 又 PAPB,ACBD, PAC PBDPCPD, APC BPD APC BPC90, BPDBPC90即 CPD 90, PCD是等腰直角三角形CD2PC12 BCCDBD 1257 （2）以 AC为边向外作等边三角形ACD,作 DEBC于 E,连接 DB名师归纳总结 就 DE1 2 AC 5 2,CE3 2 AC53 3DA E P 2PAPB
3、, APB60, PAB是等边三角形ABAP, BAP60DAC, DABCAP又 ADAC, ADB ACPBDPC52 EA C B 第 1 页,共 24 页在 Rt BDE中,由勾股定理得：图 2 5 2252 3BC 522,解得 BC 5 272- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2在平面直角坐标系中,学习好资料欢迎下载3 4 x 平行,已知点 A（ 5,0）,点 B 在第一象限, 且 AB与直线 l：yAB 长为 8,如点 P 是直线 l 上的动点,求解： AB 直线 l,点 P在直线 l 上 PAB的面积 S PAB是定值PAB的内切圆面积
4、的最大值y l B O A x 设 PAB的内切圆的半径为r,就 S1 2 PA r1 2 PB r1 2 AB rr2SPAB PAPBABAB 长为 8,是定值,当PAPB最小时, r 最大,从而内切圆面积最大作点 B 关于直线 l 的对称点 B,连接 AB 交直线 l 于点 P,连接 PB,就 PAPB最小此时 PAPBPAPBAB点 B 和点 B 关于直线 l 对称y O M P BB l x 直线 l 垂直平分线段BBAB 直线 l, ABBB ABB 是直角三角形且ABB 90作 AM直线 l 于 M ,作 MNOA 于 N,设 M（m,3 4 m）就 ONm,MN3 4 m, O
5、M5 4 mN A 由 OAM OMN,得AM OAOM 3AM 3 5 OA3 5 53, BB2AM 6 又 AB8, AB10 rABAB AB AM ABAB 8 3 810 4 3 PAB的内切圆面积的最大值是： 43 216 93已知ABC中, BAC120,AB AC4过点 C作直线 l AB点 D 在线段 BC上,点E 在直线 l 上如 ADE120,CE1,求 DC的长解：当点E 在点 C上方时,如图1 在 AC上取点 F,使 DFDC,连接 DF BAC 120,ABAC, ACBB30名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页精选学习资料 - - -
6、 - - - - - - 学习好资料欢迎下载A F DFC DCF30 FDC 120, DFA150CE AB, ACE BAC 120B 图 1 D G C E l DCE150, DFADCE ADE FDC120 ADF EDC120FDE 在 ADF和 EDC中ADF EDC, DFDC, DFADCE ADF EDC, AFCE1 FCACAF41 3 过 D 作 DGAC于 G,就 GC1 2 FC3 2B F A E C l DCGC cos30 3 D 当点 E在点 C下方时i）情形 1,如图 2 在 CA延长线上取点F,使 DFDC,连接 DF图 2 就 FDCFDCE 3
7、0, FDC120又 ADE120, ADF EDC120ADC ADF EDC, AFCE1 FCACAF41 5, DC53 3ii ）情形 2,如图 3 过 D 作 DF AC于 F,过 E作 EGBC于 G 就 BDF 9030120又 ADE120, ADF EDG120ADB ADF EDG,AF DFEGA C l DG设 DCx,就 DG3x243 2 x1B 图 3 F 2G D 1 2 x3 2xE 解得 x1533943（舍去）, x2533933综上所述, DC 的长为3 或53 或5339334如图 1 是边长分别为43 和 3 的两个等边三角形纸片ABC和 CDE
8、叠放在一起（C与 C 重合）,固定ABC,将CDE 绕点 C顺时针旋转30得到 CDE,连接 AD、BE,CE的延长线交 AB 于 F（如图 2）名师归纳总结 （1）探究线段BE与 AD 之间的大小关系,并证明你的结论；CDE记为第 3 页,共 24 页（2）将图 2 中的 CDE沿射线 CF方向以每秒1 个单位的速度平移,平移后的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载PQR（如图 3）,当点 Q 与点 F 重合时停止平移 设 PQR移动的时间为 t 秒, PQR与 AFC重叠部分的面积为 S,求 S与 t 之间的函数关系式,并写出自变
9、量 t 的取值范畴；（3）在（ 2）的条件下,假如对于同一个 S的值,对应的 t 值恰好有两个,直接写出 t 的取值范畴A F A E D B B F A R C DB E CC B 图 2 CC F PP Q 图 3 图 1 解：（1）BEADA 证明：ABC, CDE都是等边三角形R ACBC,DC EC, DCEACB60 BCE30, ACE30 ACD30, ACDBCEQ C ACD BCE,BEAD（2）当点 R 恰好落在 AC上时（如图1） ACF30, RPQ60, PRC90图 1 PC2PR6,QC633 又 CFBCcos30433 26 A R PCCF,此时点 P
10、与点 F 重合所需时间 t 13 1 3（秒）P F Q C 当点 R恰好落在 AB 上时（如图2）B 所需时间 t 2 63 2 1 9 2（秒）当点 Q 与点 F重合时,所需时间t36 16（秒）图 2 此时点 P 与点 F 重合,所需时间为3 秒A 当 0 t3 时（如图 3）设 PR、RQ 分别交 AC于 M、 N ACF30, PQR60, QNC30B P F P M R C N QNQC, RNMQNC 30 RMN90,RNRQNQRQQC3tF 图 3 Q RM1 2 3t ,MN3 2 3t S RMN1 2 MN RM3 8 3t 2 A 而 S PQR1 3 32 94
11、3G R 2Q 名师归纳总结 B 图 4 C 第 4 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - SS PQR S RMN 943学习好资料欢迎下载3 8 3t 2 即 y 3 8 t2 343t983R A C 当 3 t9 2时（如图 4）设 PR交 AB 于 G,就 PFt3,GF3 t3 SS PQR S PFG 9433 2 t 3 2 即 y 3 2 t233t943当9 2t6 时（如图 5）H P F Q 设 RQ交 AB于 H,就 FQ 6t ,HQ3 6t SS FQH3 2 6t 2B （3）0t9 2且 t 3 图 5 5
12、在等腰ABC中, AB AC,边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度m 得到线段 AD（1）如图 1,如 BAC30,30 m 180,连接 BD,请用含 m 的式子表示 DBC 的度数；（2）如图 2,如 BAC60, 0 m 360,连接 BD、DC,直接写出BDC为等腰三角形 时 m 全部可能的取值 _；（3）如图 3,如 BAC 90,射线 AD与直线 BC相交于点 E,是否存在旋转角度 m,使AE BE2,如存在,求出全部符合条件的 m 的值；如不存在,请说明理由A B A D B A 图 2 C D B E D C 解：（1） ABAD, BADm图 3 ABDADB901 2 mAB
13、AC, BAC30, ABCACB 75 DBC ABCABD75 901 2 m 即 DBC1 2 m15D （2）30、120、210、300分四种情形,如下列图A 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 学习好资料欢迎下载D A A D E B D C B C B C （3）存在两个符合条件的m 的值, m30 或 m330如图 1,当点 E 在线段 BC上时,作 EFAB 于 F 在 ABC中, BAC90,ABAC, ABC45在 Rt BEF中, FBE45, BE2EFA A C 在 Rt AEF中,A
14、E BE2, AE2BE2EF F sinmEF AE 1 2, m30B E D C 如图 2,当点 E 在 CB延长线上时,作EF AB 于 F图 1 D 就 BE2EF AE BE2, AE2BE2EF E B sinEAFEF AE 1 2, EAF30m330F 图 2 6如图,在ABC中, BAC90,AB AC6, D 为 BC的中点（1）如 E、F 分别是 AB、AC上的点,且AECF,求证：AED CFD；（2）当点 F、E 分别从 C、A 两点同时动身,以每秒1 个单位长度的速度沿CA、AB 运动,到点 A、B 时停止；设FED的面积为 y,F 点运动的时间为x,求 y 与
15、 x 的函数关系式；（3）在（ 2）的条件下,点F、E分别沿 CA、AB 的延长线连续运动,求此时y 与 x 的函数关系式F A A E F B D C E B D C 图 1 图 2 （1）证明： BAC90, ABAC6,D 为 BC的中点 BADDACBC45ADBDDCAECF, AED CFD（2）解：依题意有：FCAEx AED CFD 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载S 四边形 AEDFS AED S ADF S CFD S ADF S ADC9S EDFS 四边形 AEDF S
16、 AEF92 6x x 1 2 x23x9y1 2 x23x9 （3）依题意有： AFBE x6,ADDB, ABDDAC45 DAFDBE135 ADF BDE, S ADF S BDES EDFS EAF S ADB 2 x6 x9 1 2 x23x9 y1 2 x23x9 7如图 1,过 ABC的顶点 A 作高 AD,将点 A 折叠到点D（如图 2）,这时 EF为折痕,且 BED 和 CFD都是等腰三角形,再将BED和 CFD沿它们各自的对称轴 EH、 FG折叠,使 B、C两点都与点 D 重合,得到一个矩形 EFGH（如图 3）,我们称矩形 EFGH为 ABC的边BC上的折合矩形（1）如
17、 ABC的面积为 6,就折合矩形EFGH的面积为 _；（2）如图 4,已知ABC,在图 4 中画出ABC的边 BC上的折合矩形EFGH；AD（3）假如ABC 的边 BC 上的折合矩形EFGH 是正方形,且BC2a,那么, BC 边上的高_,正方形 EFGH的对角线长为 _B A C B E D AF C E F B A C D G 图 4 H D 图 1 图 2 图 3 （1）3 （2）作出的折合矩形 EFGH为网格正方形A E F B H G C （3）2a,2a8如图,在ABC中,点 D、 E分别在边 BC、 AC上,连接 AD、 DE,且 1BC（1）由题设条件,请写出三个正确结论；（要
18、求：不再添加其它字母和帮助线,找结论过程中添加的字母或帮助线不能显现在结论中,不必证明）A 答：结论一： _；结论二： _；名师归纳总结 B D 1 E C 第 7 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载结论三： _（2）如 B45,BC2,当点 D 在 BC上运动时（点 求 CE的最大值；D 不与点 B、C重合）,如 ADE是等腰三角形,求此时BD 的长1）中得出的结A （留意：在第（2）小题求解过程中,如有运用（论,须加以证明）B C （备用图）（1）如： ABAC； BADCDE； ADBDEC； ADC AED；
19、 ABD DCE； ADE ACD；AB DCAD DEBD CE；AE ADAD ACDE CD；等（2） B C45, ABAC, BAC90BC2, ABAC2 A 解法一： 1EDCBDAB, 1B EDCDAB, ABD DCE BD CEAB DC,即 BD DCCE AB2x 2 2 x12B D 1 E C 设 BDx,CEy,就 DC2x有 x 2x 2y,即 y 2 2 x2222 220,当 x1 时, y 最大值 22CE的最大值为 2解法二： 1C, DAECAD,ADE ACDAD AEAD, AD AC 2AE AC ACCE AC 22CE 2 2CE22 AD
20、当 AD 最小时, CE最大由垂线段最短,可知 ADBCABAC, D 为 BC的中点 BAC 90, AD1 2 BC1 21 2CE22 1222即 CE的最大值为2 2分三种情形加以争论：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1）当 AEDE时,就 DAE145 BAC 90, AD 平分 BACABAC, D 为 BC的中点BD1 2 BC1 2）当 ADDE 时解法一： 1EDCBDAB, EDCDAB又 B C, ABD DCEABDC2, BD BCDC22 解法二： 1C, DAEC
21、AD ADE ACD当 ADDE时, DCAC2 BDBCDC 22 2）当 ADAE时,就 AED145, DAE90此时点 D 与 B重合,与题意不符,应舍去综上所述,如ADE是等腰三角形,就 BD 的长为 1 或 22 9（ 1）如图,在 Rt ABC中, ABC90,BDAC于点 D求证： AB 2AD AC；（2）如图,在 Rt ABC中, ABC90,点 D 为 BC边上的点, BEAD 于点 E,延长 BE交 AC于点 F如AB BCBDDC 1,求 AFFC的值；（3）在 Rt ABC中, ABC90,点 D为直线 BC上的动点（点 D 不与 B、C重合）,直线AB BD AF
22、BEAD 于点 E,交直线 AC于点 F如 BCDCn,请探究并直接写出 FC的全部可能的值（用含 n 的式子表示）,不必证明B B D （1）证明：如图,BDAC, ABC90, ADB ABC 又 A=A, ADB ABC E G A 图B C AB ACADAB, AB D 2 AD AC A （2）解：方法一：如图,过点 图F C D C作 CGAD 交 AD 的延长线于点 图BEAD, CGDBED90, CG BF又AB BCBD DC 1, ABBC2BD2DC,BDDC又 BDECDG, BDE CDG EDGD1 2 EG 由（ 1）可知： AB 2AE AD,BD 2DE
23、AD2 2AE DEABBD 2 2BDBD 2 4, AE4DEA B F D G C E AE EG4DE 2DE2 图名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 CG BF,AF FC学习好资料欢迎下载AE EG2 方法二：如图,过点D 作 DG BF交 AC于点 GA B F D C AB BCBD DC1,ABBC,BDDC1 2 BCDG BF,FC FGBD2, FC 2FG BC由（ 1）可知： AB 2AE AD,BD 2DE AD2 2AE EDABBD 2 BCBD 2 4E G 又 DG BF,A
24、F FGAE ED4图AF FCAF 2FG2（3）当点 D 在 BC边上时,AF FC的值为 n2n当点 D 在 BC延长线上时,AF FC的值为 n2n当点 D 在 CB延长线上时,AF FC的值为 nn210（福建宁德）某数学爱好小组开展了一次活动,过程如下：如图 1,在等腰直角ABC中, AB AC, BAC90,小敏将一块三角板中含 45角的顶点放在点 A 上,从 AB边开头绕点 A 逆时针旋转一个角 ,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点 D,直角边所在的直线交直线 BC于点 E（1）小敏在线段 BC上取一点 M ,连接 AM,旋转中发觉：如 AD 平分 BAM,就 AE也平分
25、MAC请你证明小敏发觉的结论；（2）当 0 45时,小敏在旋转中仍发觉线段 BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD 2CE 2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将ABD沿 AD 所在的直线对折得到ADF,连接 EF（如图 2）；小亮的方法：将ABD绕点 A 逆时针旋转 90得到 ACG,连接 EG（如图 3）请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏连续旋转三角板,在探究中得出：当 45 135且 90时,等量关系CE 2DE 2 仍旧成立现请你连续探究：当 135 180时（如图 4）,等量关系 BDDE 2 是否仍旧成立？如成立,给出证明；如不成立,说明
26、理由BD 22CE 2A A A G B D M E C B D E C B D E C F 图 1 图 2 图 3 A 名师归纳总结 B C 第 10 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A 证明：（1） BAC90, DAE45 BADEAC 904545, DAMMAE45AD 平分 BAM, BADDAM MAEEAC, AE平分 MACB D M 图 1 E C （2）（法一）小颖的方法：将ABD 沿 AD 对折得到AFD,连接 EF（如图 2）由对折可得：BAD FAD, DFAB 45,DFDB由（ 1）的
27、结论可得：FAECAEA AFAB,AB AC, AF ACAEAE, AEF AEC AFEC45,EFEC DFE454590B D F E C E G 在 Rt DEF中, DF 2EF 2DE 2即 BD2CE 2DE2A （法二）小亮的方法：将ABD绕点 A 逆时针旋转90得到ACG,连接 EG（如图 3）图 2 由旋转可得：GAC DAB, ACGB45,CGBD,AGAD BADEAC 45, GACEAC45 GAEDAE45AEAE, AGE ADEGEDE, ECG454590B D 图 3 C 在 Rt ECG中, CG 2CE 2GE 2即 BD2CE 2DE22CE
28、2DE2 仍旧成立（3）等量关系BD法一：将ABD 沿 AD 对折得到AFD,连接 EF（如图 41）就 BDFD, AFABAC, AFDABD18045135FAD BAD, DAE45 EAFFAD45, EAC90BAD45BAD45F A 45 EAFEACAEAE, AFE ACEEFEC, AFEC45 DFE135 4590D B E C 在 Rt DEF中, DF 2EF 2DE 2即 BD2CE 2DE290得到 ACG,连接 EG（如图 42）图 41 法二：将ABD 绕点 A 逆时针旋转就 BDCG, ADAG, ACGABD18045135DAG 90, DAE 45
29、 DAE 45, GAE9045D B E A 45C DAE GAE名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载AEAE, ADE AGE, GEDE ECG 1354590在 Rt ECG中, CG 2CE 2GE 2即 BD 2CE 2DE 211（福建模拟）如图,在ABC中, AB AC5,BC6,点 D 为 AB 边上的一动点（不与A、B 重合）,过 D 作 DE BC,交 AC于点 E把 ADE沿直线 DE折叠,点 A 落在点 A 处,连接 BA 设 ADx, ADE 的边 DE上的高为 y
30、（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）当 x 取何值时,以点A、B、D 为顶点的三角形与ABC相像；A （3）当 x 取何值时,ADB 是直角三角形？（4）当 x 取何值时,ADB 是等腰三角形？A D E A解：（1）过 A 作 AMBC于 M,交 DE于 N,就 BM1 2 BC 6 B B 备用图A E C C DE BC, ANDE,即 yAND 在 Rt ABM 中, AM5232 4 DE BC, ADE ABCN AD ABAN AM,x 5yA4M y4 5 x（0x5）（2） ADE由 ADE折叠得到, ADAD,AEAE由（ 1）可得ADE是等腰三角形,即 ADAEAD
31、ADAEAE,四边形 ADAE 是菱形DA AC, BDABACABAC5,BC6, BAC ABC, BAC C BDA ABC, BDA C有且只有当 BDAD 时, DBA ABC5x x, x5 2（3） BDAA 90, D 不行能为直角顶点 如 BAD90名师归纳总结 四边形 ADAE是菱形,点A 必在 DE垂直平分线上,即直线AM 上第 12 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料8 5 x|欢迎下载ANANy4 5 x,AM 4, AM | 4在 Rt ABM 中, AB2AM2BM2 4 8 5 x 232x35
32、 32A 在 Rt ABD中, AB 2AD2BD2x2 5x2 48 5 x232 x2 5x2,解得 x0（舍去）或如 ABD90解法一： AMB 90, BAM ABMB D N E BAABBM AM,BA53 4, BA154M C 在 Rt ABD中, AD2AB2BD2x2 15 4 2 5x2,解得 x 125 32A解法二：由知,AM| 48 5 x|在 Rt ABM 中, AB2AM2BM2 4 8 5 x 232在 Rt ABD中, AB 2AD2BD2x2 5x2 48 5 x232 x2 5x2,解得 x5（舍去）或x125 32综上,当 x35 32或 x125 3
33、2时, ADB 是直角三角形（4）如 BDAD,由（ 2）知, x5 2如 BDBA,就 BD2AB2 5x2 4 8 5 x232,解得 x0（舍去）或x70 39如 AD AB,就 AD2AB2x2 4 8 5 x232,解得 x5（舍去）或x125 3912（福建模拟）如图,在Rt ABC中, ACB 90,AC8,BC6,点 D 是射线 CA上的一个动点（不与C、A 重合）,DE直线 AB 于 E 点,点 F 是 BD 的中点,过点F 作 FG直线AB 于 G 点,连接 EF,设 ADx（1）如点 D 在 AC边上,求 FG的长（用含 x 的式子表示） ；如点 D 在射线 CA上, BEF的面积为 S,求 S与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范畴（2）如点 D 在 AC边上,点 P 是 AB 边上的一个动点,DP与 EF相交于 O 点,当 DPFP的值最小时,猜想DO 与 PO 之间的数量关系,并加以证明B A C B C D F A E G 备用图名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料解：（1） ACB90,AC8,BC6,欢迎下载A