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1、24.2 与圆有关的位置关系(第 3 课时 ) 教学内容1切线长的概念2切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，?这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角3三角形的内切圆及三角形内心的概念教学目标了解切线长的概念理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理， 然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题重难点、关键1重点：切线长定理及其运用2?难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题教学
2、过程一、问题引入1已知 ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？3直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？小结：（1）三条角平分线相交于一点；交点到三条边的距离相等（ 2）点和圆的位置关系有三种，点在圆内dr；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想（ 3）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L 和 O 相交dr；切线的判定定理：?经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径二、探索新知从上面的复习， 我们可以知道， 过O 上任一点 A都可以作一条切线，?并
3、且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题问题：在你手中的纸上画出O，并画出过 A 点的唯一切线PA，?连结 PO，?沿着直线PO 将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B，这时， OB 是 O 的一条半径吗？PB 是 O 的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA 与 PB， APO 与 BPO 有什么关系？小结： OB 与 OA 重叠， OA 是半径， OB 也就是半径了又因为OB 是半径， PB 为 OB?的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB 是 O 的又一条切线，根据轴对称性质，?我们很容易得到PAPB，APOBPO我们把PA 或 PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和
4、切点之间的线段的长，?叫做这点到圆的切线长 从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角下面，我们给予逻辑证明例1如图，已知PA、PB 是O 的两条切线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - BACEDOF求证： PAPB，OPA OPB证明： PA、PB 是 O 的两条切线OAAP，OBBP又 OAOB，OPOP，RtAOPRtBOPPAPB， OP
5、A OPB因此，我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等（同刚才画的图）设交点为I，那么 I 到 AB、AC、BC 的距离相等，如图所示，因此以点 I 为圆心，点I 到 BC 的距离 ID 为半径作圆，则I 与 ABC 的三条边都相切IABCIABC与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ，?内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 例 2如图，已知 O 是ABC 的内切圆，切点为D、E、F，如果 AE1，CD2，BF3，且 ABC 的面积
6、为 6求内切圆的半径r分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，?因此要转化为面积法来求就需添加辅助线，如果连结AO、BO、CO，就可把三角形ABC 分为三块， ?那么就可解决解：连结 AO、BO、CO O 是 ABC 的内切圆且D、E、F 是切点AFAE1，BDBF3，CECD2 AB4，BC5，AC3 又 SABC6 12（453）r6 r1 答：所求的内切圆的半径为1归纳： 如果三角形三条边长分别为a、b、c，面积为S，那么三角形内切圆半径R_例 3如图， O 的直径 AB12cm，AM、BN 是两条切线， DC 切 O 于 E，交 AM 于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
7、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - D，?交 BN 于 C，设 ADx，BCy（1）求 y 与 x 的函数关系式，并说明是什么函数？（2）若 x、y 是方程 2t230tm0 的两根，求x，y 的值（3）求 COD 的面积分析： （ 1）要求 y 与 x 的函数关系，就是求BC 与 AD 的关系，根据切线长定理：DEADx，CECBy，即 DCxy，又因为 AB12，所以只要作DF BC 垂足为 F，根据勾股定理，便可求得（2） x，y 是 2t230t
8、m0 的两根，那么 x1x230900830900860444mm，x1x22m，便可求得x、y 的值（3）连结 OE，便可求得解： （1）过点 D 作 DF BC，垂足为 F，则四边形ABFD 为矩形 O 切 AM、BN、CD 于 A、B、EDEAD，CECBADx，CByCFyx，CDxy在 RtDCF 中，DC2DF2CF2 即（ xy）2（ xy）2122 xy36 y36x为反比例函数；（2）由 x、y 是方程 2t30tm0 的两根，可得：xy22303083030844mm15 同理可得： xy 36 x3，y12 或 x12，y3（3）连结 OE，则 OECDSCOD12CD
9、OE12 （ADBC）12AB12 1512 12 45cm2 三、小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 1圆的切线长概念；2切线长定理；3三角形的内切圆及内心的概念第三课时作业设计一、选择题1如图 1，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B 两点， C 为劣弧 AB 上一点， APB30 ，则ACB（） A 60B75C105D120BACPOBACDPOBACBACEDOF(1
10、) (2) (3) (4) 2从圆外一点向半径为9 的圆作切线，已知切线长为18，?从这点到圆的最短距离为（） A 93B9（31）C9（51）D9 3圆外一点P，PA、PB 分别切 O 于 A、B，C 为优弧 AB 上一点，若 ACBa，则APB（）A 180 aB90 aC90 aD180 2a二、填空题1如图 2，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于C、D，?已知PA7cm，则 PCD 的周长等于 _2如图 3，边长为 a 的正三角形的内切圆半径是_3如图 4，圆 O 内切 RtABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF 是_三、综合提高题1如图所示，
11、 EB、EC 是 O 的两条切线， B、C 是切点， A、D 是 O 上两点， ? 如果 E46 ， DCF32 ，求 A 的度数BACEDOF2如图所示， PA、PB 是O 的两条切线， A、B 为切点，求证 ABO12APB. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3如图所示，已知在ABC 中， B90 ，O 是 AB 上一点，以O 为圆心， OB?为半径的圆与AB 交于点 E，与 AC 切于点 D（1）求证： D
12、EOC；（ 2）若 AD2，DC3，且 AD2AE AB，求OBBC的值答案 : 一、 1C2C3D二、 114cm236a3正方形三、 1解： EB、EC 是 O 的两条切线，EBEC， ECB EBC，又 E46 ，而 E EBC ECB180 ， ECB67 ，又 DCF ECB DCB180 ， BCD180 67 32 81 ，又 A BCD180 ， A180 81 992证明：连结OP、OA，OP 交 AB 于 C，B 是切点， OBP90 ， OAP90? ，? BOP APO，OAOB， BOP AOC， OCB90 ， OBA OPB， OBA12APB3 （1）证明：连结
13、OD，则 ODCRt， ODE OED，由切线长定理得：CDCB，?RtODC RtOBC， COBCOD， DOE2OED 180 ，又 DOE2COB180 ，?OED COB， DEOC（2）由 AD2，DC3 得：BC3，AB4，又 AD2AE AB， AE1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - BE3，OB12BE32，OBBC12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -