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1、三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按 _逆时针 _方向旋转形成的角负角：按 _顺时针 _方向旋转形成的角零角：如果一条射线 _没有作任何旋转 _，我们称它形成了一个零角(2)终边相同角：与 终边相同的角可表示为： | 2k ，kZ ，或 | k360，kZ (3)象限角：角 的终边落在 _第几象限 _就称 为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角轴线角2弧度制(1)1 度的角： _把圆周分成 360份，每一份所对的圆心角叫1 的角_.(2)1 弧度的角： _弧长等于半径的圆
2、弧所对的圆心角叫1 弧度的角 _.(3)角度与弧度的换算：360 _2_rad,1 _180_rad,1rad (_180_)5718 .(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为 ，则此扇形的弧长l_| | r_，面积 S_12| |r2_12lr_.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3任意角的三角函数定义(1)设 是一个任意角， 的终边上任意一点 (非顶点 )P 的坐标是 (x，y)，它与原点的距离为 r，则
3、sin _yr_，cos _xr_，tan _yx_.(2)三角函数在各象限的符号是：sincostan_记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角 的_正弦_线、_余弦_线和_正切_线4终边相同的角的三角函数sin( k2)_sin _，cos( k2)_cos _，tan( k2)_tan _(其中 kZ)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
4、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 重要结论1终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角终边相同的角时，单位必须一致2确定k(kN*)的终边位置的方法(1)讨论法：用终边相同角的形式表示出角的范围写出k的范围根据 k 的可能取值讨论确定k的终边所在位置(2)等分象限角的方法：已知角是第 m(m1,2,3,4)象限角，求k是第几象限角等分：将每个象限分成k 等份标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到 x 轴正半轴选答：出现数字m 的区域，即为k所在的象限如
5、2判断象限问题可采用等分象限法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系： _sin2xcos2x1_. (2)商数关系： _sinxcosxtanx_.2三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k (kZ) 22正弦sin_sin _sin _sin _cos _cos _余弦cos_cos _cos _cos _sin _sin _正切tan
6、_tan _tan _tan _重要结论1同角三角函数基本关系式的变形应用：如 sinxtanxcosx，tan2x11cos2x，(sinxcosx)212sinxcosx 等2特殊角的三角函数值表角 030456090120150180270角 的弧度数06432235632sin01222321321201cos13222120123210tan0331333303.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”“奇”与“偶”指的是诱导公式k2中的整数k 是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在k2中
7、，将 看成锐角时k2所在的象限4. sinxcosx、sinxcosx、sinxcosx 之间的关系sinxcosx、sinx cosx、sinxcosx 之间的关系为(sinxcosx)212sinxcosx，(sinxcosx)212sinxcosx，(sinxcosx)2(sinxcosx)22.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值三、两角和与差的三角函数二倍角公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - -
8、 - - - - - - 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2 _2sin cos _；(2)cos2 _cos2 sin2 _2cos2 _11_2sin2 _；(3)tan2 _2tan1tan2_( k24且 k 2，kZ)3半角公式 (不要求记忆 )(1)sin21cos2；(2)cos21cos2；(3)tan21cos1cossin1cos1cossin.重要结论1降幂公式： cos2 1cos22，sin2 1cos22.2升幂公式： 1cos2 2cos2 ，1cos2 2sin2 .3公式变形： tan tan tan( )(1?ta
9、n tan )1tan1tantan(4 )；1tan1tantan(4 )cos sin22sin，sin2 2tan1tan2，cos2 1tan21tan2，1sin2 (sin cos x)2.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4辅助角 (“二合一” )公式：asin bcos a2b2sin( )，其中 cos _aa2b2_，sin _ba2b2_.5.三角形中的三角函数问题在三角形中， 常用的角的变
10、形结论有： AB C；2A2B2C2 ；A2B2C22.三角函数的结论有：sin(AB)sinC， cos(AB)cosC， tan(AB)tanC，sinAB2cosC2，cosAB2sinC2.AB? sinAsinB? cosA0)的图象名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - (1)列表：X x02322x_2_32_2_sinx01010y_0_A_0_A_0_(2)描点： _(，0)_，_(2，A)_，(，0
11、)，(32， A)_，(2，0)_.(3)连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 yAsin(x )在区间长度为一个周期内的图象(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x )在 R 上的图象2由函数ysinx 的图象变换得到yAsin(x )(A0，0)的图象的步骤3函数 y Asin(x )(A0， 0，x0， )的物理意义(1)振幅为 A. (2)周期 T_2_.(3)频率 f_1T_2_. (4)相位是 _x _. (5)初相是 .重要结论1函数 y Asin(x )的单调区间的“长度”为T2.2 “五点法”作图中的五个点：yAsin(x )， 两个最值点， 三个
12、零点；yAcos(x )，两个零点， 三个最值点 3正弦曲线ysinx 向左平移2个单位即得余弦曲线ycosx.六、正弦定理、余弦定理名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_asinAbsinBcsinC_2R(其中 R 是ABC 外接圆的半径)a2_b2c22bccosA_b2_a2c22accosB_c2_a2b22abcosC_常见变形a_2RsinA_，b_2Rsi
13、nB_，c_2RsinC_；sinA_a2R_，sinB_b2R_， sinC_c2R_；abc_sinAsinBsinC_asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA_b2c2a22bc_；cosB_a2c2b22ac_；cosC_a2b2c22ab_解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边一角，求第三边和其他两个角2在 ABC 中，已知a，b和 A 时，解的情况如下A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a bsinAabsinAbsinA abab解的
14、个数无解一解两解一解一解无解3三角形常用面积公式(1)S12a ha(ha表示 a 边上的高 )(2)S12absinC12acsinB12bcsinA.(3)S12r(ab c)(r 为内切圆半径)重要结论在 ABC 中，常有以下结论1 A B C.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2在三角形中大边对大角，大角对大边3任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边4sin(AB)sinC；cos(AB) co
15、sC；tan(AB) tanC；sinAB2cosC2，cosAB2sinC2.5tanAtanBtanCtanA tan B tanC.6 AB? ab? sinAsinB? cosAcosB.7三角形式的余弦定理sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB，sin2Csin2Asin2B2sinAsinBcosC.8若 A 为最大的角，则A3，)；若 A 为最小的角，则A(0，3；若 A、B、C 成等差数列，则B3.9. 三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a2RsinA，a2b2c22abc
16、osC 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinAsinB? AB；sin(AB)0? AB；sin2Asin2B? AB 或 AB2等(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinAa2R，cosAb2c2a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -