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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一次函数 典型例题精讲分析（解析归纳）类型一：正比例函数与一次函数定义1、当 m为何值时,函数 y=- （m-2）x +（ m-4）是一次函数？思路点拨： 某函数是一次函数,除应符合 y=kx+b 外,仍要留意条件 k 0解： 函数 y=- （m-2）x +（m-4）是一次函数, m=-2. 当 m=-2 时,函数 y=- （m-2） x 举一反三：+（m-4）是一次函数【变式 1】假如函数Bm=2 是正比例函数,那么（）. Am=2或 m=0 Cm=0 Dm=1 C 【答案 】：考虑到 x
2、 的指数为 1,正比例系数 k 0,即 |m-1|=1 ；m-2 0,求得 m=0,选【变式 2】已知 y-3 与 x 成正比例,且 x=2 时, y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时,求 y 的值；（3）当 y=4 时,求 x 的值解析：（1）由于 y-3 与 x 成正比例,所以设 y-3=kx 把 x=2 ,y=7 代入 y-3=kx 中,得 7-3 2k, k 2 y 与 x 之间的函数关系式为 y-3=2x ,即 y=2x+3（2）当 x=4 时,y=2 4+3=11（3）当 y 4 时, 4=2x+3,x= . 类型二：待定系数法求函数解析式2、求
3、图象经过点（2,-1 ）,且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式思路点拨： 图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2,就可设此表达式为y=2x+b,再将点（ 2,-1 ）代入,求出 b 即可解析： 由题意可设所求函数表达式为 y=2x+b ,图象经过点（ 2 ,-1 ）, - l=2 2+b b= -5 ,所求一次函数的表达式为 y=2x-5. 总结升华： 求函数的解析式常用的方法是待定系数法,值,要依据详细的题设条件求出；详细怎样求出其中的待定系数的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - -
4、 - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载举一反三：【 变式 1】已知弹簧的长度 y（ cm）在肯定的弹性限度内是所挂重物的质量 x（kg）的一次函数, 现已测得不挂重物时, 弹簧的长度为 6cm,挂 4kg 的重物时, 弹簧的长度是 7.2cm,求这个一次函数的表达式分析 : 题中并没给出一次函数的表达式,因此应先设一次函数的表达式 y=kx+b,再由已知条件可知,当 x=0 时, y=6；当 x=4 时, y=7.2 求出 k,b 即可解： 设这个一次函数的表达式为 y=kx+b由题意可知,当 x=
5、0 时, y=6；当 x=4 时, y=7.2. 把它们代入 y=kx+b 中得这个一次函数的表达式为 y=0.3x+6 【变式 2】已知直线 y=2x+1（1）求已知直线与 y 轴交点 M的坐标；（2）如直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称,求 k,b 的值解析：直线 y=kx+b 与 y=2x+l 关于 y 轴对称,两直线上的点关于 y 轴对称又直线 y 2x+1 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A（ -,0）, B（0,1）, A（ -,0）,B（0,1）关于 y 轴的对称点为 A （,0）,B （ 0,1）直线 y=kx+b 必经过点 A （,0）,B （ 0,1）把 A
6、（,0）,B （ 0,1）代入 y=kx+b 中得k -2 ,b 1所以（ 1）点 M（0, 1）（2） k=-2,b=1 【变式 3】判定三点 A（3,1）,B（0,-2 ）,C（4,2）是否在同一条直线上分析： 由于两点确定一条直线,应选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,如成立,说明第三点在此直线上；如不成立,说明不在此直线上解： 设过 A,B 两点的直线的表达式为 y=kx+b由题意可知,过 A,B两点的直线的表达式为 y=x-2 当 x=4 时, y=4-2=2 点 C（ 4,2）在直线 y=x-2 上细心整理归纳 精选学习资料 - - - - -
7、- - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三点 A （3,1）, B （0,-2 ）, C（4,2）在同一条直线上类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某始终线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离skm 和行驶时间th 之间的函数关系,依据图中供应的信息,回答以下问题：1 汽车共行驶了 _ km；2 汽车在行驶途中停留了 _ h ；3 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 _ km/h ；4 汽车自动身后 3h
8、 至 4.5h 之间行驶的方向是 _. 思路点拨： 读懂图象所表达的信息,弄懂并熟识图象语言. 图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程,横轴代表行驶时间,纵轴代表汽车的位置 . 图象上的最高点就是汽车离动身点最远的距离 . 汽车来回一次,共行驶了 120 2=240千米 ,整个过程用时 4.5 小时,平均速度为 240 4.5= 千米 / 时 ,行驶途中 1.5 时 2 时之间汽车没有行驶 . 解析： 1240 ； 20.5； 3 ； 4 从目的地返回动身点. 总结升华： 这类题是课本例题的变式,来源于生活,贴近实际,是中考中常见题型,应留意行驶路程与两地之间的距离之间的区分
9、的距离,横坐标表示汽车的行驶时间 . 举一反三：. 此题图象上点的纵坐标表示的是汽车离动身地【变式 1】图中,射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车竞赛中所走的路程s与时间 t 的函数关系,求它们行进的速度关系；解析：比较相同时间内, 路程 s 的大小 . 在横轴的正方向上任取一点 , 过该点作纵轴的平行线 , 比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小 . 所以 . 甲比乙快【变式 2】小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点 A,再走下坡路到达点 B,最终走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如下列图；放学后,假如他沿原路返回,且走平路、 上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一
10、样, 那么他从学校到家需要的时间是细心整理归纳 精选学习资料 A.14 分钟B.17 分钟 C.18 分钟 D.20 分钟 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载200 米/ 分；走平路【答案 】:D 分析：由图象可知,上坡速度为80 米/ 分；下坡速度为速度为 100 米/ 分；原路返回, 走平路需要8 分钟,上坡路需要10 分钟,下坡路需要2 分钟,一共 20 分钟；【变式 3】某种洗衣机在洗涤衣服时, 经受
11、了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如下列图：依据图象解答以下问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升. 求排水时 y 与 x 之间的关系式；. 假如排水时间为 2 分钟,求排水终止时洗衣机中剩下的水量分析： 依题意解读图象可知：从04 分钟在进水, 415 分钟在清洗,此时,洗衣机内有水 40 升, 15 分钟后开头放水 . 解：（1）洗衣机的进水时间是 4 分钟；清洗时洗衣机中的水量是 40 升；（2）排水时 y 与 x 之间的关系式为：y=4
12、0-19x-15 即 y=-19x+325 假如排水时间为2 分钟,就 x-15=2 即 x=17,此时, y=40- 19 2=2.所以,排水终止时洗衣机中剩下的水量为 2 升. 类型四：一次函数的性质4、己知一次函数y=kx 十 b 的图象交 x 轴于点 A（一 6,0）,交 y 轴于点 B,且 AOB的面积为 12,y 随 x 的增大而增大,求 k,b 的值思路点拨： 设函数的图象与y 轴交于点 B（0,b）,就 OB= , 由 AOB 的面积,可求出b,又由点 A 在直线上,可求出 k 并由函数的性质确定 k 的取值解析： 直线 y=kx 十 b 与 y 轴交于点 B（0,b）,点 A
13、 在直线上,就 ,由,即,解得 代入,可得,由于 y 随 x 的增大而增大,就 k0, 取 就总结升华： 该题考查的是待定系数法和函数值,认真观看所画图象,找出隐含条件；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载举一反三：【变式 1】已知关于x 的一次函数. （1）m为何值时,函数的图象经过原点（2）m为何值时,函数的图象经过点（0, 2）. （3）m为何值时,函数的图象和直线y=x 平
14、行 . （4）m为何值时, y 随 x 的增大而减小？解析：（1）由题意, m需满意,故 m= 3 时,函数的图象经过原点；（2）由题意得： m需满意,故 时,函数的图象经过点（0, 2）；（3）由题意, m需满意,故 m=4 时,函数的图象平行于直线 y= x；（4）当 3 m0 时,即 m 3 时, y 随 x 的增大而减小【变式 2】 如直线（）不经过第一象限,就k、b 的取值范畴是_,_【答案 】：k0 ；b0 ；分析：直线不经过第一象限,有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限,留意不要漏掉经过原点的情形；【变式 3】直线 l 1：与直线 l 2：在同一坐标系中的大致位置是（） A
15、 BC D【答案 】：C；分析：对于A,从 l 1 看 k 0,b0,从 l 2看 b0,k 0,所以 k, b 的取值自相冲突,排除掉 A；对于 B,从 l1 看 k 0,b0,从 l2看 b0,k0,所以 k,b的取值自相冲突,排除掉 B；D答案同样是冲突的,只有 C答案才符合要求；【变式 4】函数 在直角坐标系中的图象可能是（）【答案 】：B；分析：不论 k 为正仍是为负,都大于 0,图象应当交于 x 轴上方；应选细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料
16、- - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载B 类型五：一次函数综合5、已知：如图,平面直角坐标系中,A（ 1 ,0）,B（0, 1）,C（ -1 ,0）,过点C的直线绕 C旋转,交 y 轴于点 D,交线段 AB于点 E；（1）求 OAB的度数及直线AB的解析式；CE的解析式；如y 轴上的一点P 满意（2）如 OCD与 BDE的面积相等,求直线APE=45 ,请直接 写出点 P的坐标；思路点拨：（1）由 A,B 两点的坐标知, AOB为等腰直角三角形, 所以 OAB=45（2） OCD与 BDE的面积相等,等价于ACE 与 AOB面积相等,故可求E点坐标,从而得
17、到CE的解析式；由于E 为 AB中点,故 P 为（ 0,0 ）时, APE=45 .解析：（1）A（ 1,0）,B（0,1）,OA=OB=1, AOB 为等腰直角三角形OAB=45设直线 AB的解析式为： y=kx+b, 将 A（ 1 ,0）,B（0,1）代入,解得 k=-1 ,b=1 直线 AB的解析式为： y=-x+1 （2）即,将其代入 y=-x+1 ,得 E 点坐标（）设直线 CE为 y=kx+b,将点 C（ -1 ,0）,点 E（）代入,解得 k=b=直线 CE的解析式：点 E 为等腰直角三角形斜边的中点细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -
18、- - 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载当点 P（0,0 ）时, APE=45 .总结升华： 考虑面积相等这个条件时,直接算比较困难,往往实行补全成一个简单运算的面积来解决问题；举一反三：【变式 1】在长方形 ABCD中, AB=3cm,BC=4cm,点 P 沿边按 ABCD 的方向向点 D运动（但不与 A,D两点重合）；求 APD的面积 y 与点 P 所行的路程 x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范畴；【答案 】：当 P 点在 AB上运动时,当 P点在 B
19、C上运动时,当 P点在 CD上运动是,【变式 2】如图,直线与 x 轴 y 轴分别交于点E、F,点 E 的坐标为（ -8 ,0）,点 A 的坐标为（ -6 ,0）；（1）求 的值；（2）如点 P（ ,）是其次象限内的直线上的一个动点,在点 P 的运动过程中,试写出 OPA的面积 S 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴；（3）探究：在（ 2）的条件下,当点 P 运动到什么位置时,OPA 的面积为,并说明理由；解： 1 将 E（-8,0 ）代入,得; 细心整理归纳 精选学习资料 2 设 P 点坐标为（） 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - S=精品资料欢迎下载（-8x0 ）细心整理归纳 精选学习资料 3 令,解得, 第 8 页,共 8 页 代入,算出 P 点纵坐标为当 P 点的坐标为时, OPA的面积为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -