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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 中考数学压轴题函数等腰三角形问题 一 例 1 如图 1,已知正方形OABC的边长为 2,顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上, M是 BC的中点 P0,m 是线段 OC上一动点（ C 点除外）,直线 PM 交 AB 的延长线于点D（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）；（2）当 APD 是等腰三角形时,求 m 的值；（3）设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E,过点 O 作直线 ME 的垂线,垂足为 H（如图 2）当点 P 从 O 向 C 运动时,点 H 也随之运动请直接写出点 H
2、所经过的路长（不必写解答过程）图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“11 湖州 24” ,拖动点 P 在 OC上运动,可以体验到,APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上双击按钮“ 第 3 题” ,拖动点 P 由 O 向 C 运动,可以体验到, 点 H 在以 OM 为直径的圆上运动 双击按钮 “ 第 2题” 可以切换思路点拨1用含 m 的代数式表示表示APD 的三边长,为解等腰三角形做好预备2探求APD 是等腰三角形,分三种情形列方程求解第 1 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学
3、习好资料 欢迎下载3猜想点 H 的运动轨迹是一个难题不变的是直角, 会不会找到不变的线段长呢？Rt OHM 的斜边长OM 是定值,以OM 为直径的圆过点H、C满分解答（1）由于 PC/ DB,所以 CP PM MC 1因此 PM DM,CPBD2m所BD DM MB以 AD4m于是得到点 D 的坐标为 2,4m（2）在 APD 中,AD 24 m 2,AP 2m 24,PD 22 PM 24 42 m 2当 APAD 时,4 m 2m 24解得 m 3（如图 3）2当 PAPD 时,m 24 4 42 m 2解得 m 4（如图 4）或 m 4（不合题意,3舍去）当 DADP 时,4m2442m
4、 2解得m2（如图 5）或m2（不合题意,3舍去）综上所述,当APD 为等腰三角形时,m 的值为3 2,4 3或2 3图 5 图 3 图 4 （3）点 H 所经过的路径长为54考点舒展第 2 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第（ 2）题解等腰三角形的问题,其中、用几何说理的方法,运算更简洁：PC CM如图 3,当 AP AD 时, AM 垂直平分 PD,那么PCM MBA所以2m 解MB1因此PC1,m3BA222如图 4,当 PAPD时,P在 AD 的垂直平分线上 所以 DA2P
5、O因此 4m得m43第（ 2）题的思路是这样的：如图 6,在 Rt OHM 中,斜边 OM 为定值,因此以OM 为直径的 G 经过点 H,也就是说点 H 在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图 7,P 与 O 重合时,是点H 运动的起点, COH45 , CGH 90 图 6 图 7 例 2 第 3 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A,且与 x 轴如图 1,已知一次函数y x7 与正比例函数y4x的图象交于点3交于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A 作 ACy
6、 轴于点 C,过点 B 作直线 l/ y轴动点 P 从点 O 动身,以每秒 1 个单位长的速度, 沿 O CA 的路线向点A 运动；同时直线l 从点 B 动身,以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时,点 P和直线 l 都停止运动在运动过程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒当 t 为何值时,以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？如存在,求 t 的值；如不存在,请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 盐城 28 ” ,拖动点 R 由
7、 B 向 O 运动,从图像中可以看到, APR的面积有一个时刻等于 8观看 APQ,可以体验到, P 在 OC上时,只存在APAQ 的情形； P 在 CA 上时,有三个时刻,思路点拨APQ是等腰三角形1把图 1 复制如干个,在每一个图形中解决一个问题2求 APR的面积等于 8,根据点 P 的位置分两种情形争论事实上,P 在 CA上运动时,高是定值 4,最大面积为 6,因此不存在面积为 8 的可能3争论等腰三角形 APQ,根据点 P 的位置分两种情形争论,点 P 的每一种位置又要争论三种情形满分解答第 4 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料
8、- - - - - - - - - （1）解方程组y学习好资料x3,欢迎下载x7,得所以点 A 的坐标是 3,44 , 3yy4.令yx70,得x7所以点 B 的坐标是 7 ,0 SACPPOR S8,（2）如图 2,当 P 在 OC上运动时,0 t4由SAPRS梯形COR得1（3+72t414 4t1t7t8整理,得t28 t120解得 t 2 或 t 6图 4 22（舍去）如图3,当 P 在 CA上运动时,APR的最大面积为6因此,当 t2 时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为8图 2 图 3 我们先争论P 在 OC上运动时的情形,0t4AB4 2,所以 OB如图 1,在 AOB中,
9、 B45 , AOB45 ,OB7,AB因此 OAB AOB B如图 4,点 P 由 O 向 C 运动的过程中, OPBRRQ,所以 PQ/ x 轴因此 AQP 45 保持不变, PAQ越来越大, 所以只存在 APQ AQP的情形此时点 A 在 PQ的垂直平分线上,OR2CA6所以 BR1,t1我们再来争论P 在 CA上运动时的情形,4t7OAOQOA5OR5t20在 APQ中,cosA3为定值,AP7t ,AQ5333如图 5,当 APAQ 时,解方程7t5t20,得t413387t27tt4,得t5名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料1 2AQ欢迎下载cosA解方程如 7,当 PAPQ 时,那么cosA因此AQ2APAP5t2027t3,得t226 43时, APQ是等腰三角形图 7 335综上所述, t1 或41 8或 5 或226 43图 5 图 6 考点舒展当 P 在 CA上, QPQA 时,也可以用AP2AQcosA来求解第 6 页 共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页