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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载中考数学大题之 -二次函数1（2022.深圳）如图,已知 ABC 的三个顶点坐标分别为A（ 4,0）、B（1,0）、C（ 2,6）（1）求经过 A 、B、C 三点的抛物线解析式；（2）设直线 BC 交 y 轴于点 E,连接 AE ,求证： AE=CE ；（3）设抛物线与 y 轴交于点 D,连接 AD 交 BC 于点 F,试问以 A 、B、F 为顶点的三角形与 ABC 相像吗？2（2022.绍兴）如图,矩形 OABC 的两边在坐标轴上,连接 AC ,抛物线 y=x 2 4x 2 经过 A ,B 两点（1）求 A 点坐标及线段
2、AB 的长；（2）如点 P 由点 A 动身以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动, 1 秒后点 Q 也由点 A 动身以每秒 7 个单位的速度沿 AO ,OC,CB 边向点 B 移动,当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动,点 P 的移动时间为 t 秒 当 PQAC 时,求 t 的值； 当 PQ AC 时,对于抛物线对称轴上一点H, HOQ POQ,求点 H 的纵坐标的取值范畴3（2022.山西）综合与实践：如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 B、D 两点的
3、坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点,过 P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q,摸索究：随着 P 点的运动,在抛物线上是否存在点 Q,使以点 A 、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由（3）请在直线AC 上找一点 M ,使 BDM 的周长最小,求出M 点的坐标C（0,1）的二次函数y=x 2+h4（2022.泉州）如图, O 为坐标原点,直线l 围着点 A（0,2）旋转,与经过点的图象交于不同的两点P、Q第 1 页,共 15 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习
4、好资料 欢迎下载（1）求 h 的值；（2）通过操作、观看,算出 POQ 的面积的最小值（不必说理）；（3）过点 P、C 作直线,与 x 轴交于点 B,试问：在直线 l 的旋转过程中,四边形 AOBQ 是否为梯形？如是,请说明理由；如不是,请指出四边形的外形5（2022.黔东南州）如图,已知抛物线经过点（1）求抛物线的解析式A （ 1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B,C 重合）,过 M 作 MN y 轴交抛物线于 N,如点 M 的横坐标为 m,请用m 的代数式表示 MN 的长（3）在（ 2）的条件下,连接 NB、NC ,是否存在 m,使 BNC
5、的面积最大？如存在,求 m 的值；如不存在,说明理由6（2022.攀枝花） 如图,在平面直角坐标系 sinB=xOy 中,四边形 ABCD 是菱形, 顶点 A、C、D 均在坐标轴上, 且 AB=5 ,（1）求过 A 、C、D 三点的抛物线的解析式；y2=ax2+bx+c ,求当 y1y2 时,自变量x 的取值范（2）记直线 AB 的解析式为y1=mx+n ,（1）中抛物线的解析式为围；（3）设直线 AB 与（ 1）中抛物线的另一个交点为E, P 点为抛物线上A、E 两点之间的一个动点,当P点在何处时, PAE 的面积最大？并求出面积的最大值7（2022.南通）如图,经过点A （0, 4）的抛物
6、线y=x2+bx+c 与 x 轴相交于 B（ 2,0）,C 两点, O 为坐标原点（1）求抛物线的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）将抛物线y=x2 +bx+c 向上平移学习好资料欢迎下载个单位长度,再向左平移m（ m 0）个单位长度得到新抛物线,如新抛物线的顶点 P 在 ABC 内,求 m 的取值范畴；（3）设点 M 在 y 轴上, OMB+ OAB= ACB ,求 AM 的长8（2022.南昌）如图,已知二次函数 L1：y=x 2 4x+3 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 左边）
7、,与 y 轴交于点 C（1）写出二次函数（2）讨论二次函数L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；L2：y=kx 2 4kx+3k （k0）恳求出 EF 的长度； 假如 写出二次函数L2与二次函数L 1 有关图象的两条相同的性质； 如直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点, 问线段 EF 的长度是否发生变化？假如不会,会,请说明理由9（2022.绵阳）如图1,在直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 在 y 轴正半轴上,二次函数y=ax2+x+c 的图象 F交 x 轴于 B、C 两点,交 y 轴于 M 点,其中 B（ 3, 0）,M （0, 1）已知 AM=BC （1）求二次函数的解析式；（
8、2）证明：在抛物线F 上存在点 D,使 A、B、C、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并恳求出直线BD的解析式；（3）在（ 2）的条件下,设直线l 过 D 且分别交直线BA 、BC 于不同的 P、Q 两点, AC、BD 相交于 N第 3 页,共 15 页 如直线 lBD ,如图 1,试求的值； 如 l 为满意条件的任意直线如图2 中的结论仍成立吗？如成立,证明你的猜想；如不成立,请举出反例名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10（2022.娄底）已知二次函数y=x学习好资料欢迎下载2 （ m2 2）x 2m 的图象与 x 轴交于点
9、A（x1,0）和点 B（x2, 0）,x1x2,与 y 轴交于点 C,且满意（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3 上是否存在一点P,使四边形PACB 为平行四边形？假如有,求出点P 的坐标；假如没有,请说明理由答案与评分标准1解：（ 1）设函数解析式为：y=ax2 +bx+c ,由函数经过点A （ 4,0）、B（1,0）、C（ 2,6）,可得,解得：,名师归纳总结 故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为：y= x2 3x+4；第 4 页,共 15 页（2）设直线 BC 的函数解析式为y=kx+b ,由题意得：,- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
10、- - - - 解得：,学习好资料欢迎下载即直线 BC 的解析式为y= 2x+2故可得点 E 的坐标为（ 0,2）,从而可得： AE=2,CE=2,故可得出 AE=CE ；（3）相像理由如下：设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ,就,解得：,即直线 AD 的解析式为 y=x+4 联立直线 AD 与直线 BC 的函数解析式可得：,解得：,即点 F 的坐标为（,）,就 BF=,=,AF=,=,又 AB=5 ,BC=3=,=,又 ABF= CBA , ABF CBA 故以 A 、B、F 为顶点的三角形与 ABC 相像2解：（ 1）由抛物线 y=x 2 4x 2 知：当 x=0 时, y= 2,A
11、 （0,2）由于四边形 OABC 是矩形,所以 AB x 轴,即 A 、B 的纵坐标相同；当 y= 2 时,2=x 2 4x 2,解得 x1=0,x2=4,B（4, 2）,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载AB=4 （2） 由题意知： A 点移动路程为 AP=t ,Q 点移动路程为 7（t 1）=7t 7当 Q 点在 OA 上时,即 07t t2,1t时,如图 1,如 PQAC ,就有 Rt QAPRt ABC =,即,t=,此时 t 值不合题意当 Q 点在 OC 上时,即 27t 76,t时,
12、如图 2,过 Q 点作 QD AB AD=OQ=7 （t 1）2=7t 9DP=t （ 7t 9）=9 6t如 PQAC,就有 Rt QDPRt ABC ,即=, t=,t时,t=符合题意当 Q 点在 BC 上时,即 67t 78,如图 3,如 PQAC ,过 Q 点作 QG AC,就 QGPG,即 GQP=90 QPB90,这与 QPB 的内角和为 180冲突,此时 PQ 不与 AC 垂直综上所述,当t=时,有 PQAC 当 PQ AC 时,如图 4, BPQ BAC ,=,解得 t=2,即当 t=2 时, PQ AC 此时 AP=2 ,BQ=CQ=1 ,P（2, 2）,Q（4, 1）抛物线
13、对称轴的解析式为 x=2,当 H 1 为对称轴与 OP 的交点时,有 H 1OQ=POQ,当 yH2 时, HOQ POQ作 P 点关于 OQ 的对称点 P,连接 PP交 OQ 于点 M ,过 P作 PN 垂直于对称轴,垂足为 N,连接 OP,在 Rt OCQ 中, OC=4, CQ=1名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载OQ=,S OPQ=S 四边形 ABCD S AOP S COQ S QBP=3= OQPM ,PM=,PP=2PM=,NPP=COQRt COQ Rt NPP,PN=,PN=,
14、P（,）,直线 OP的解析式为 y= x,OP与 NP 的交点 H2（2,）当 yH时, HOP POQ综上所述,当 yH 2 或 yH时, HOQ POQ3 解：（ 1）当 y=0 时,x 2+2x+3=0 ,解得 x1= 1,x2=3点 A 在点 B 的左侧,A 、B 的坐标分别为（1,0）,（3,0）当 x=0 时, y=3C 点的坐标为（ 0, 3）设直线 AC 的解析式为 y=k 1x+b1（k10）,就,解得,直线 AC 的解析式为 y=3x+3 2 2y= x +2x+3= （ x 1）+4,顶点 D 的坐标为（ 1,4）名师归纳总结 （2）抛物线上有三个这样的点Q,第 7 页,
15、共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 当点 Q 在 Q1 位置时, Q1 的纵坐标为 3,代入抛物线可得点 Q1 的坐标为（ 2,3）； 当点 Q 在点 Q2 位置时,点Q2 的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q2 坐标为（ 1+, 3）；,3）； 当点 Q 在 Q3 位置时,点Q3 的纵坐标为3,代入抛物线解析式可得,点Q3 的坐标为（ 1综上可得满意题意的点Q 有三个,分别为：Q1（2,3）,Q2（ 1+,3）,Q3（1, 3）（3）点 B 作 BB AC 于点 F,使 BF=BF,就 B为点 B 关于直线 AC 的对称点
16、 连接 BD 交直线 AC 与点 M ,就点 M 为所求,过点 B作 BE x 轴于点 E 1 和 2 都是 3 的余角, 1=2Rt AOC Rt AFB ,由 A （ 1,0）,B（3,0）,C（0,3）得 OA=1 ,OB=3 ,OC=3,AC=,AB=4 , BB =2BF=, BF=由 1=2 可得 Rt AOC Rt BEB,即BE=,BE=, OE=BE OB= 3=B点的坐标为（,）设直线 BD 的解析式为 y=k2x+b2（k20）,解得,直线 BD 的解析式为： y=x+,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - -
17、- - - 学习好资料,欢迎下载联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：解得, M 点的坐标为（,）4 解：（ 1）抛物线y=x2+h 经过点 C（0,1）,+h=1,解得 h=1y=x2+1 上的点, P（a,a 2+1）、Q（b,b 2+1）（a 0b）（2）依题意,设抛物线过点 A 的直线 l： y=kx+2 经过点 P、Q,a2+1=ak+2 =4 2 b+1=bk+2 b a 得：（a 2b b2a）+b a=2（b a）,化简得： b=；S POQ=OA .|xQ xP|=.OA .| a|=（）+（ a） 2.由上式知：当= a,即 |a|=|b|（P、Q 关于 y 轴对称）时,
18、 POQ 的面积最小；即 PQ x 轴时, POQ 的面积最小,且POQ 的面积最小为4（3）连接 BQ ,如 l 与 x 轴不平行（如图） ,即 PQ 与 x 轴不平行,依题意,设抛物线y=x2+1 上的点, P（a,a 2+1）、Q（b,b2+1）（a0b）直线 BC：y=k 1x+1 过点 P,a2+1=ak1+1,得 k1=a,即 y= ax+1令 y=0 得： xB=,同理,由（ 2）得： b=名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 B 与 Q 的横坐标相同,学习好资料欢迎下载BQ y 轴,即 BQ OA
19、,又 AQ 与 OB 不平行,四边形 AOBQ 是梯形,据抛物线的对称性可得（a0b）结论相同AOBQ 是梯形；当l 与 x 轴平行时,四边形AOBQ 是故在直线 l 旋转的过程中：当l 与 x 轴不平行时,四边形正方形5解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1 ）（x 3）,就：a（ 0+1）（0 3）=3,a= 1；抛物线的解析式：y= （ x+1 ）（x 3）= x2+2x+3 （2）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b ,就有：,解得；m2+2m+3 ）；故直线 BC 的解析式： y= x+3已知点 M 的横坐标为m,就 M （m, m+3）、 N（ m,故 N= m2+2m+
20、3 （m+3）= m2+3m（0 m 3）（3）如图；7S BNC=S MNC+S MNB =MN （OD+DB ）=MN .OB ,S BNC=（ m2 +3m ）.3=（m） 2+（0m3）；当 m=时, BNC 的面积最大,最大值为解：（1）四边形ABCD 是菱形,AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=；Rt OCD 中, OC=CD .sinD=4,OD=3 ；OA=AD OD=2 ,即：A（ 2,0）、B（ 5,4）、C（0,4）、D（3,0）；名师归纳总结 设抛物线的解析式为：y=a（x+2 ）（x 3）,得：第 10 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资
21、料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2（ 3）a=4,a=；抛物线：y=x2+x+4x；（2）由 A（ 2,0）、B（ 5,4）得直线 AB：y1=由（ 1）得： y2=x2+x+4,就：,解得：,；8由图可知：当y1y2 时,2 x5P；（3） S APE=AE.h,当 P 到直线 AB 的距离最远时,S ABC 最大；如设直线 L AB ,就直线 L 与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点设直线 L：y=x+b,当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时,x+b= x2+x+4,且 =0；求得： b=,即直线 L ：y=x+；可得点 P（,）由（ 2）得： E（5,）,就
22、直线 PE：y=x+9 ；就点 F（,0）,AF=OA+OF=； PAE 的最大值： S PAE=S PAF+S AEF=（+）=综上所述,当P（,）时, PAE 的面积最大,为解：（1）将 A（0, 4）、B（ 2,0）代入抛物线y=x2+bx+c 中,得：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载,解得：抛物线的解析式：y=x2 x 4y=（x+m）2 （ x+m） 4+,即： y=x2+（ m 1）x+m2（2）由题意,新抛物线的解析式可表示为： m；它的顶点坐标P：（1 m, 1）；由（ 1）
23、的抛物线解析式可得：C（4,0）；那么直线 AB ： y= 2x 4；直线 AC：y=x 4；当点 P 在直线 AB 上时,2（1 m） 4= 1,解得： m=；当点 P 在直线 AC 上时,（1 m） 4= 1,解得： m= 2；当点 P 在 ABC 内时,2m；又 m0,符合条件的m 的取值范畴： 0m（3）由 A（0, 4）、B（4,0）得： OA=OC=4 ,且 OAC 是等腰直角三角形；如图,在 OA 上取 ON=OB=2 ,就 ONB= ACB=45 ； ONB= NBA+OAB= ACB= OMB+ OAB ,即 NBA= OMB ；如图,在 ABN 、 AM 1B 中,BAN=
24、 M 1AB, ABN= AM 1B, ABN AM1B ,得： AB2=AN .AM1 ；2 2 2 易得： AB =（ 2）+4 =20,AN=OA ON=4 2=2；AM 1=202=10,OM 1=AM 1 OA=10 4=6；而 BM 1A= BM 2A= ABN ,OM 1=OM 2=6, AM 2=OM 2 OA=6 4=2综上, AM 的长为 10 或 29解：（1）抛物线 y=x2 4x+3 中, a=1、b= 4、c=3；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - =学习好资料欢迎下载=2,= 1；二次
25、函数L1 的开口向上,对称轴是直线x=2 ,顶点坐标（ 2, 1）（2） 二次函数 L 2 与 L1 有关图象的两条相同的性质：对称轴为 x=2 或定点的横坐标为 2,都经过 A（1,0）,B（ 3,0）两点； 线段 EF 的长度不会发生变化直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点,kx 2 4kx+3k=8k ,k0, x2 4x+3=8 ,解得： x1= 1,x2=5, EF=x 2 x1=6,线段 EF 的长度不会发生变化10解：（1）二次函数y=ax2 +x+c 的图象经过点B（ 3, 0）,M （0, 1）,解得 a= ,c= 1二次函数的解析式为：y=x2+x 1（2）由
26、二次函数的解析式为：x2 +x 1,y=令 y=0,得x2+x 1=0,解得 x1= 3,x2=2, C（2,0）, BC=5；令 x=0,得 y= 1, M （0, 1）,OM=1 又 AM=BC , OA=AM OM=4 , A（0,4）设 AD x 轴,交抛物线于点D,如图 1 所示,就 yD=x2 +x 1=OA=4 ,解得 x1=5,x2= 6（位于其次象限,舍去）D 点坐标为（ 5,4） AD=BC=5 ,又 AD BC,四边形 ABCD 为平行四边形名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎
27、下载即在抛物线 F 上存在点 D,使 A 、B、C、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形设直线 BD 解析式为： y=kx+b , B（ 3,0）,D（5,4）,x+解得： k=,b=,直线 BD 解析式为： y=（3）在 Rt AOB 中, AB=5,又 AD=BC=5 , .ABCD 是菱形 如直线 l BD,如图 1 所示四边形 ABCD 是菱形,AC BD, AC 直线 l,BA=BC=5 , BP=BQ=10 ,=； 如 l 为满意条件的任意直线,如图AD BC,CD AB , PAD DCQ,AP.CQ=AD .CD=55=25=2 所示,此时 中的结论依旧成立,理由如下：11
28、名师归纳总结 - - - - - - -解：（1）二次函数 令 y=0,即 x 2 （ my=x 2 （ m2 2）x 2m 的图象与 x 轴交于点 A （x1,0）和点 B（ x2,0）,x1x2,2 2）x 2m=0 ,就有：x1+x2=m2 2,x1x2= 2m=,化简得到： m2+m 2=0,解得 m1= 2,m2=1当 m= 2 时,方程 为： x2 2x+4=0 ,其判别式 =b2 4ac= 120,此时抛物线与x 轴没有交点,不符合题意,舍去；当 m=1 时,方程 为： x2+x 2=0,其判别式 =b 2 4ac=90,此时抛物线与x 轴有两个不同的交点,符合题意 m=1,抛物
29、线的解析式为y=x2+x 2（2）假设在直线y=x+3 上是否存在一点P,使四边形PACB 为平行四边形第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载如下列图,连接 PA、PB、AC 、BC,过点 P 作 PDx 轴于 D 点抛物线 y=x2+x 2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,A（ 2,0）,B（1,0）,C（0,2）, OB=1 ,OC=2 PACB 为平行四边形,PA BC,PA=BC , PAD= CBO , APD= OCB在 Rt PAD 与 Rt CBO 中,Rt PAD Rt CBO,PD=OC=2 ,即 yP=2,名师归纳总结 直线解析式为y=x+3 ,P,使四边形PACB 为平行四边形,P 点坐标为（1, 2）第 15 页,共 15 页xP= 1, P（1,2）所以在直线y=x+3 上存在一点- - - - - - -