2007年高考-全国1卷数学理科试卷含答案解析.doc

+- 2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 （1）是第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． （2）设是实数，且是实数，则（ ） A． B． C． D． （3）已知向量，，则与（　　） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 （4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． （5）设，集合，则（ ） A． B． C． D． （6）下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（ ） A． B． C． D． （7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． （8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（　　） A． B． C． D． （9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　） A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 （10）的展开式中，常数项为，则（ ） A． B． C． D． （11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　） A． B． C． D． （12）函数的一个单调增区间是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共10题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ． （15）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形的内角的对边分别为，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）求的取值范围． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率； （Ⅱ）求的分布列及期望． （19）（本小题满分12分） 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）求直线与平面所成角的大小． （20）（本小题满分12分） 设函数． （Ⅰ）证明：的导数； （Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围． （21）（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为． （Ⅰ）设点的坐标为，证明：； （Ⅱ）求四边形的面积的最小值． （22）（本小题满分12分） 已知数列中，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列中，，， 证明：，． 2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A 二、填空题： （13） （14） （15） （16） 三、解答题： （17）解： （Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以， 由为锐角三角形得． （Ⅱ） ． 由为锐角三角形知， ，． ， 所以． 由此有， 所以，的取值范围为． （18）解： （Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” ， ． （Ⅱ）的可能取值为元，元，元． ， ， ． 的分布列为 （元）． （19）解法一： （Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面． 因为，所以， 又，故为等腰直角三角形，， 由三垂线定理，得． D B C A S （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设， 故，由，，，得 ，． 的面积． 连结，得的面积 设到平面的距离为，由于，得 ， 解得． 设与平面所成角为，则． 所以，直线与平面所成的我为． 解法二： （Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面． 因为，所以． 又，为等腰直角三角形，． D B C A S 如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系， ，，，，， ，，所以． （Ⅱ）取中点，， 连结，取中点，连结，． ，，． ，，与平面内两条相交直线，垂直． 所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余． ，． ，， 所以，直线与平面所成的角为． （20）解： （Ⅰ）的导数． 由于，故． （当且仅当时，等号成立）． （Ⅱ）令，则 ， （ⅰ）若，当时，， 故在上为增函数， 所以，时，，即． （ⅱ）若，方程的正根为， 此时，若，则，故在该区间为减函数． 所以，时，，即，与题设相矛盾． 综上，满足条件的的取值范围是． （21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距， 由知点在以线段为直径的圆上，故， 所以，． （Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得． 设，，则 ， ； 因为与相交于点，且的斜率为， 所以，． 四边形的面积 ． 当时，上式取等号． （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积． 综上，四边形的面积的最小值为． （22）解： （Ⅰ）由题设： ， ． 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， ， 即的通项公式为，． （Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当时，因，，所以 ，结论成立． （ⅱ）假设当时，结论成立，即， 也即． 当时， ， 又， 所以　　 ． 也就是说，当时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．