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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（二）题型解析类型 1 直线型几何综合题例 1 如图 1,在ABC 中,AB 5,BC 3,AC 4,动点E（与点 A、C 不重合）在 AC 边上,EFAB 交 BC 于点 F（ 1）当ECF 的面积与四边形EABF的面积相等时,求CE的长；（ 2）当ECF 的周长与四边形EABF的周长相等时,求CE的长；（ 3）试问在AB上是否存在点P,使得EFP 为等腰直角三角形？如不存在,请简要说明理由；如存在,恳求出 EF的长分析：（ 1）中面积相等可以转化为“ECF 与 ACB 的 面积比为 1：2” ,由于ECF ACB ,从而要
2、求CE长,只要借助于相像比与面积比的关系即可得解 .由于相像三角形对应边成比例,从而第 2 题可利用比例线段来找线段间关系,再依据周长相等来建立方程 .第（ 3）题中假设存在符合条件的三角形,依据相像三角形中对应边成比例可建立方程 . 解：（ 1）由于 ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等 ,所以 SECF:S ACB 1:2 ,又由于 EFAB ,所以 ECF ACB.S ECF CE 2 1 所以 S ACB CA 2 . 由于 CA4,所以 CE2 2 . CE CF 3x（ 2）设 CE 的长为 x,由于 ECF ACB , 所以 CA CB . 所以 CF= 4 . 依据周长
3、相等可得：3 3 24x EF x 4 x 5 3 x EF x4 4 .解得 7 . （ 3） EFP 为等腰直角三角形,有两种情形：如图 2,假设PEF 90 ,EPEF. 由 AB 5, BC 3, AC 4,得C 90 ,12所以 Rt ACB 斜边 AB 上高 CD 5.设 EPEF x,由 ECF ACB ,得名师归纳总结 EFCDEP,即x12x.解得x6060. ACFBE5 125ABCD537,即 EF37P D图1图 2 P第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载60当EFP 90 ,EF FP
4、 时,同理可得EF37. _A_E_C_B如图 3,假设EPF 90 ,PEPF 时,点 P 到 EF 的距离为1EF. 2_F设 EF x,由 ECF ACB ,得_P _D_. 2EFCD1EF,即x12x.解得x120120. 图 3 512225AB549,即 EF49CD60120综上所述,在AB 上存在点 P,使 EFP 为等腰直角三角形,此时EF37或 EF49. 特殊提示：由于等腰直角三角形中哪条边为斜边没有指明,所以需要就可能的情形进行争论. 跟踪练习1 （ 2007 山东烟台）如图 4,等腰梯形ABCD 中, AD BC,点 E 是线段 AD 上的一个动点 E 与 A、 D
5、 不重合 , G、F 、H 分别是 BE、 BC 、CE 的中点1 摸索究四边形 EGFH 的外形,并说明理由2 当点 E 运动到什么位置时,四边形 EGFH 是菱形 .并加以证明图 4 3 如2 中的菱形 EGFH 是正方形,请探究线段 EF 与线段 BC 的关系,并证明你的结论参考答案： 1、（ 1）四边形 EGFH 是平行四边形 .只要说明 GF/EH , GF = EH 即可 . （ 2）点 E 是 AD 的中点时,四边形EGFH 是菱形 .利用全等可得BE=CE ,从而得 EG = EH. 依据 EGFH 是正方形, 可得 EG =EH ,BEC = 90 .由于 G、H 分别是 B
6、E、CE 的中点,所以 EB = EC. 由于 F 是 BC 的中点,类型 2 . 圆的综合题例 2（ 2007 广东茂名）如图 5,点 A、B、C、D 是直径为 AB 的O 上四个点, C 是劣弧BD的中点, AC 交 BD 于点 E,名师归纳总结 AE 2, EC 1ADC. ADEGCBH（ 1）求证：DECOF第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）摸索究四边形学习必备欢迎下载ABCD 是否是梯形？如是,请你赐予证明并求出它的面积；如不是,请说明理由图 5 （ 3）延长 AB 到 H,使 BH OB 求证： CH 是
7、O 的切线分析：（ 1）只要证DACCDB 即可,（ 2）要判定是梯形,只要说明DCAB 即可,留意到已知条件中数量关系较多,即考虑从边相等的角度来说明：先求DC ,再说明OBCD 是菱形（ 3）要证明“ CH 是 O 的切线” ,只要证明OCH=900可 . 解：（ 1）由于 C 是劣弧BD的中点,所以DACCDB 由于DCE= ACD ,所以DECADC（ 2）四边形 ABCD 是梯形 . DC EC证明：连接OD,由得 AC DC .由于 CE 1. AC AE EC 2 1 3,所以 DC 3由已知 BC DC 3 .由于AB2是O 的直径,所以 ACB 90,所以 AB AC CB
8、3 3 12所以 AB 2 3 . 所以 OD OB BC DC 3 . 所以四边形 2 2 2 2OBCD 是菱形所以DCAB,DC AB,所以四边形 ABCD 是梯形过 C 作 CF 垂直 AB 于点 F,连接 OC ,就 OB BC OC 3,所以 OBC 600所以 CF=BC sin60 =1.5. 所以 S 梯形 ABCD12 CF ABDC12 32 2 3394 3（ 3）证明：连接 OC 交 BD 于点 G,由（ 2）得四边形 OBCD 是菱形,所以OC BD 且 OG GC 又已知 OB BH ,所以 BH 平行且等于 CD. 所以四边形 BHCD 是平行四边形 .所以BG
9、CH所以 OCH OGB 90 . 所以 CH 是O 的切线特殊提示：在推理时,有时可能需要借助于运算来帮忙证明,比如此题中证明 DC AB. 跟踪练习 2. （ 2007 四川绵阳）如图,AB 是O 的直径,BAC = 60,P 是 OB 上一点,过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q,过点 C 的切线 CD 交 PQ 于 D,连结 OC （ 1）求证： CDQ 是等腰三角形；（ 2）假如 CDQ COB ,求 BP:PO 的值参考答案： 2（ 1）由已知得 ACB = 90,ABC = 30, Q = 30,BCO = ABC = 30 CD 是O 的切线, CO 是半径,
10、CD CO , DCQ =30, DCQ = Q,故 CDQ 是等腰三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 2）设 O 的半径为 1,就 AB = 2 , OC = 1 ,AC = AB 2 = 1 ,BC = 3 CDQ COB , CQ = BC = 3 于是 AQ = AC + CQ = 1 + 3 ,进而 AP = AQ 2 =（ 1 + 3 ）2, BP = AB AP = （ 33 ）2,PO = AP AO = （3 1）2, BP:PO = 3 类型 3. 含统计（或概率）的代
11、数（或几何）综合题例 3（ 2007 江西）在一次数学活动中,黑板上画着如下列图的图形,活动前老师在预备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：ABDCABEDCEAEDEE AD小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张,再从剩下的纸片中随机B A D C 抽取另一张 请结合图形解答以下两个问题：（ 1）当抽得 和 时,用 , 作为条件能判定BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；（ 2）请你用树形图或表格表示抽取两张纸片上的等式全部可能显现的结果（用序号表示）,并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件,使BEC不能构成等腰三角形的概率.（2）假如ABEDCE不肯定成立,分析：（ 1）只要说明
12、BE=CE 即可,从而考虑证明ABEDCE那么BEC未必是等腰三角形.再依据概率定义即可得解. DEC,解：（ 1）能理由：由ABDC ,ABEDCE,AEB得ABEDCEBECE .BEC是等腰三角形（ 2）树形图：开头123 后抽取的纸片序号 4先抽取的纸片序号6O名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载全部可能显现的结果（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）. 抽取的两张纸片上的等式有12 种等可能性结果,其中不能构成等腰三角形的有4 种（ ）,（ ）,（ ）,1
13、（ ）,所以使BEC 不能构成等腰三角形的概率为 3 特殊提示：不能得到“ABEDCE” 有两种情形,一是“ 边边角” 不能得全等,二是只能得到相像 . 跟踪练习 3.（2007 辽宁沈阳）如图所给的 A、 B、C 三个几何体中,按箭头所示的方向为它们的正面,设 A、B、C 三个几何体的主视图分别是 A1 、 B1、 C1；左视图分别是 A2、 B2、 C2 ；俯视图分别是 A3 、B3 、C3（ 1）请你分别写出 A1 、A2 、A3 、B1 、B2 、B3 、C1 、C2 、 C3 图形的名称；（ 2）小刚先将这 9 个视图分别画在大小、外形完全相同的 9 张卡片上,并将画有 A1 、A2
14、、 A3 的三张卡片放在甲口袋中,画有 B1、 B2、 B3 的三张卡片放在乙口袋中,画有 C1、 C2、 C3 的三张卡片放在丙口袋中,然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片 通过补全下面的树状图,求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率； 小亮和小刚做嬉戏,嬉戏规章规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时,小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时,小亮获胜这个嬉戏对双方公正吗？为什么？解：（ 1）第 23 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 2）树状
15、图：参考答案： 3（ 1）由已知可得 A1 、A2 是矩形, A3 是圆； B1 、 B2、 B3 都是矩形；C1 是三角形, C2 、C3 是矩形（ 2）补全树状图如下：由树状图可知,共有27 种等可能结果,其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12 种,三张卡片上的图形名称都相同的概率是12 274P（小刚获胜）4；三张卡片上的图形名称完全不同的概率是 91,即 P（小亮获胜）9嬉戏对双方不公正由可知,91,这个嬉戏对双方不公正9类型 4. 图形中的函数 方程）这类题通常需要利用方程与函数的思想来处理,详细的说,往往通过线段成比例或者面积公式等来建立关系式,再通过解名师归纳总结 - - -
16、 - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载方程或者利用函数性质来得到解决 . 例 4（ 2007 山西临汾）如图,已知正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的边长分别是 4 2 和 2 2 ,它们的中心 O 1,O 2 都在直线l上,ADl,EG在直线l上,l与DC相交于点 M ,ME 7 2 2,当正方形EFGH沿直线 l 以每秒 1个单位的速度向左平移时,正方形 ABCD 也绕 O 以每秒 45 顺时针方向开头旋转,在运动变化过程中,它们的外形和大小都不转变（ 1）在开头运动前,O O2；A D H y ,求 y 与 xO1
17、O2l （ 2）当两个正方形依据各自的运动方式同时M E G B C F 运动 3 秒时,正方形ABCD 停止旋转,这时x 秒,两正方形重叠部分的面积为AE,O O 2；（ 3）当正方形ABCD停止旋转后, 正方形EFGH连续向左平移的时间为之间的函数表达式名师归纳总结 - - - - - - -分析 :（1）O 1M1AD22,O2E2EH2,所以O 1 O2O 1MMEEO29（2）运动 3 秒时,22ME422,此时 A 点落在O1E上,O1A4,所以 AE=O 1 O2O 1AO2E=0,（ 3）重叠部分是正方形,只要用 x 表示出其边长即可,留意到不怜悯形下,边长的表示不一样,从而需
18、要争论. 解：（ 1） 9（ 2）0,6（ 3）当正方形ABCD停止运动后,正方形EFGH 连续向左平移时,与正方形ABCD 重叠部分的外形也是正方形重叠部分的面积y 与 x 之间的函数关系应分四种情形：如图 1,当0x4时,EAx,y与x之间的函数关系式为yx22如图 2,当 4x8 时,y与x之间的函数关系式为y=8 如图3,当8x12时,CG12x,B B B y与x之 间 的 函 数C O1E H G l C H E O1 O2G A l E H G O1A l O2 A O2 C F F F D D D 图 1 图 2 图 3 第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - -
19、 - - - - 关系式为y122x21x212x72y学习必备欢迎下载2当x12时,y与x之间的函数关系式为0特殊提示：（ 1）此题也是变换型试题,运算与证明时要抓住变换中不变的元素（比如角相等,边相等,图形全等,等）来进行处理,假如直角比较多,仍可从相像、三角函数、勾股定理角度来建立数量关系问题,可以从图形特点角度来分别争论,以力求解答完备 . .（ 2）对于图形变化中分段函数的跟踪练习 4（ 2007 河北）如图,在等腰梯形 ABCD 中, ADBC ,AB=DC=50 ,AD=75 ,BC=135 点 P 从点 B 动身沿折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀
20、速运动；点 Q 从点 C 动身沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动,过点 Q 向上作射线 QK BC,交折线段 CD-DA-AB 于点 E点 P、 Q 同 时 开 始 运动,当点 P 与点 C 重合时停止运动,点 Q 也随之停止设点 P、 Q 运动的时 间是 t 秒（ t0）（ 1）当点 P 到达终点 C 时,求 t 的值,并指出此时 BQ 的长；（ 2）当点 P 运动到 AD 上时, t 为何值能使 P QDC ？（ 3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S,分别求出点 E 运动到 CD 、DA 上时, S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范畴）（ 4）
21、 PQE 能否成为直角三角形？如能,写出 参考答案：t 的取值范畴；如不能,请说明理由4：（ 1）t =35 （秒）时,点 P 到达终点 C BQ 的长为 135 105=30 （ 2）如 PQ DC ,又 ADBC ,就四边形 PQCD 为平行四边形,从而解得 t=125当 t=125时,有 PQDC 881（3）当点 E 在 CD 上运动时 S=S QCE = 2 QE QC=6t2 ；PD=QC ,由 QC=3t ,BA+AP=5t ,得 5075 5t=3t ,名师归纳总结 当点 E 在 DA 上运动时,S= S 梯形 QCDE =113t303 t40=120 t 600 第 8 页
22、,共 11 页2 ED QCDH =2（ 4）PQE 能成为直角三角形当PQE 为直角三角形时,t 的取值范畴是0 t25 且 t - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1558 或 t=35 跟踪练习 5（ 2007 江苏扬州） 如图, 矩形ABCD中,AD 3 厘米,AB a 厘米（a 3）动点M,N 同时从B点动身, 分别沿B A ,B C 运动,速度是 1厘米秒 过 M 作直线垂直于 AB ,分别交 AN ,CD 于P,Q当点N到达终点C时,点M也随之停止运动设运动时间为 t 秒（ 1）如 a 4 厘米,t 1 秒,就PM _厘米
23、；D Q C D Q C （ 2）如 a 5 厘米,求时间t,使PNBPAD,P N P N 并求出它们的A M B A M B 相像比；（ 3）如在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA的面积相等,求 a 的取值范畴；（ 4）是否存在这样的矩形：在运动过程中,存在某时刻使梯形 PMBN ,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等？如存在,求a的值；如不存在,请说明理由PM3,（ 2）t2,使PNBPAD,相像比为3: 2tt,化简 ,得t6a4参考答案： 5、（ 1）（ 3） AMP ABN 可得 PM=tat,3tat3 aTtataaa226a ,3 a6. （ 4）梯形PQ
24、CN的面积与梯形PMBN的面积相等即可,tat3t,把t6aa2 3a6a 代入,解得（舍负值）类型 5. 抛物线中的图形名师归纳总结 例 5 （2007 河南）如图, 对称轴为直线x7的抛物线经过点A（ 6,0）yx7A6,x和 B22（ 0, 4）O B0,4F 第 9 页,共 11 页（ 1）求抛物线解析式及顶点坐标；E - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 2）设点 E（x,y）是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式,并写出自变
25、量 x 的取值范畴；当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时,请判定平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E,使平行四边形 OEAF 为正方形？如存在,求出点 E 的坐标；如不存在,请说明理由分析：（ 1）利用待定系数法可以求出抛物线解析式,（2）利用平行四边形 OEAF 的面积公式来建立函数关系式 .判定OEAF 是否为菱形,关键是看能否由已知条件得到邻边相等,即需要将面积关系转化为线段关系,假设存在符合条件的名师归纳总结 - - - - - - -E,考虑先满意条件“ 使得 OEAF 为正方形” ,再看能否满意另外条件“ 在抛物线上”. 解 ：（ 1 ） 由 抛物 线 的 对 称
26、 轴 是x7, 可 设 解析式 为ya x72k 把 A 、 B 两 点 坐标 代 入 上 式 , 得22a2,k25.故抛物线解析式为y2x7225,顶点为7,25.3632626（ 2）由于点E x y 在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合y2x7225,326所以 y0, y 表示点 E 到 OA 的距离由于OA 是OEAF 的对角线,所以S2 SAOE21OAy6y4x2225. 27由于抛物线y2x7225与 x 轴焦点的横坐标分别为：x1=1 ,x2=6. 又点 E 在第四象限,点E 的纵坐标小于0,326所以点 E 的横坐标1x6. S2 SOAE21OAy6y47225x的取值
27、范畴是1x622依据题意,当S = 24 时,即4x722524解得x 13,x24.故所求的点E 2有两个,分别为E1 （3, 4）, E2（ 4, 4）点 E1（ 3, 4）满意 OE = AE ,所以OEAF 是菱形；点E2（ 4,4）不满意 OE = AE ,所以OEAF 不是菱形当 OAEF,且 OA = EF 时,OEAF 是正方形,此时点E 的坐标只能是（3, 3）而坐标为（ 3, 3）的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,使OEAF 为正方形特殊提示：需要同时满意几个条件时,不妨先满意其中部分,再看是否满意其它条件. 第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - -
28、- - - - 学习必备 欢迎下载跟踪练习 6（ 2007 辽宁沈阳）已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上, 点 C 在 y 轴的正半轴上, 线段 OB、OC 的长（OBOC ）是方程 x2 10x 16 0 的两个根,且抛物线的对称轴是直线 x 2（ 1）求 A、B、 C 三点的坐标；（ 2）求此抛物线的表达式；第 26（ 3）连接 AC、BC ,如点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合）,过点E 作 EFAC 交 BC 于点 F ,m 的取值范畴；BCE连接 CE,设 AE 的长为 m,
29、 CEF 的面积为S,求 S 与 m 之间的函数关系式,并写出自变量（ 4）在（ 3）的基础上试说明S 是否存在最大值,如存在,恳求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标,判定此时的外形；如不存在,请说明理由参考答案：6、（ 1）点 B（2,0）,点 C（0,8）,点 A（ 6,0）,（ 2）抛物线的表达式为y2x28x033 8 ,（ 3）由EFBE,由于 AC=8262=10 , BE=8-m ,AB=8. 所以 EF 405m. ACAB484作 FGAB,垂足为G,就sinFEG=sin CAB=105.所以在Rt EGF 中,FG EF sin FEG=4540 5m=8-m ,所以 SSBCESBFE=18m8-18m 8m=1m24m, m 的取值范畴是2242 m8 4（ 4）存在由于 S1m24m,又 a= 10,当 m=b=21=4 时,S 最大4 acab2=8. 由于 m=4 ,222 a42所以点 E 的坐标为（ 2,0）, BCE 为等腰三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页