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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载数学归纳法及其应用举例教学设计 平遥中学 史宏刚【教学目标 】学问与技能 ：1. 明白由归纳法得出的结论具有不行靠性, 懂得数学归纳法的原理与本质; 2. 把握数学归纳法证题的两个步骤及其简洁应用；3. 培育同学观看、探究、分析、论证的才能 过程与方法 : , 体会类比的数学思想1. 创设情境,激发同学学习爱好,让同学体验学问的发生与进展过程 ; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用,逐步体验观看、归纳、猜想、论证的过程,培 养同学严谨的规律推理意识,并初步把握论证方法 ; 3. 通过发觉问题
2、、提出问题、分析问题、解决问题的过程,培育同学创新才能 . 情感与价值观 : 1. 通过对数学归纳法原理的探究,培育同学严谨的科学态度和勇于探究的精神；2. 通过对数学归纳法原理和本质的争论,培育同学团结协作的精神；3. 通过置疑与探究,培育同学独立的人格与敢于创新的精神；【教学重点】数学归纳法产生过程的分析,初步懂得数学归纳法的原理并能简洁应用 . 【教学难点】数学归纳法中两个条件的归纳,提炼和懂得, 及数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】 师生互动争论、共同探究的方法【教学手段】 多媒体帮助课堂教学【教学过程】一、创设情境,引入课题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -
3、 - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载情境一、“ 摸球试验”这盒子中装的不是糖,而是乒乓球,下面抽几个同学从盒中分别摸出一个球,并判定乒乓球的颜色,由此猜想这盒子中全部乒乓球的颜色；问：这个猜想对吗？答：不对问：怎样判定这个猜想是对的？答：把它全部倒出来看或一个一个摸出来看；问：为什么可以一个一个摸出来看？答：由于是有限的；问：假如是无限的呢？再看一个数学问题：答：不能采纳一个一个摸出来看；情境二：已知a n25 n52（n* N
4、）,a ；a ；a 的值,老师播放幻灯片）1分别求a ；a ；a ；a （由同学齐答a ；2由此猜想出a 的值？这个猜想正确吗？检验：a 41,a 5251所以这个猜想是错的；由上面两个例子看出：由几个特别的事例得出一般的结论有时是对的,有时是错的；由此引出归纳法的定义：归纳法：由一些特别事例推出一般结论的推理方法. 分为完全归纳法和不完全归纳法；完全归纳法 : 把争论对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；不完全归纳法 : 依据事物的部分 而不是全部 特例得出一般结论的推理方法 .下面看一个比较熟识的数学问题：等差数列的通项公式：a na 1n1 d （由同学齐答,老师在黑板上书
5、写）2 d（同学齐答, 老师放幻灯）回忆等差数列a n通项公式推导过程：a 2a 1da 3a 2da 11 da 4a 3da 13 d猜想a na 1n问：这个猜想对吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载同学答：不肯定对但我们已把它当成一个公式在用,说明这个猜想是对的,怎样证明？法一：一个一个的检验,由于n 是无限的,这个方法不行行,除非我们把有限的生命投入到无限的验算中去；
6、问：有没有更好的方法呢？从而引出课题：数学归纳法；二、师生互动,探究学问（放幻灯片）先看一个大家比较熟识的嬉戏：演示多米诺骨牌嬉戏视频 . 我们把刚才的视频简化一下,得到这样的一个试验（老师弹出事先预备好的简化的 多米诺骨牌嬉戏的动画 , 并再次演示一遍）提问：满意什么条件能使全部的骨牌全部倒下？（把同学按前后四个同学分组,每组选一个代表发言,争论时间大约 3 分钟左右）同学代表发言（老师在黑板上书写） ：条件 1：第一块要倒下 ; 条件 2：当前面一块倒下时,后面一块必需倒下 问：其它组仍有其它看法吗？（给同学提出的条件老师进行归纳整理）问：是否满意这两个条件就可以保证全部的骨牌倒下？给出推
7、理（播放幻灯片） ：由条件 1 第 1 块倒下由条件 2 第 2 块倒下由条件 2 第 3 块倒下由条件 2 第 n 块倒下由条件 2 全部的骨牌全部倒下；对多米诺骨牌嬉戏的原理进行推广：由于骨牌是 1 块,2 块, , 很多块 , 而我们要证的等差数列的通项公式也是要证明n1,n2,成立 , 所以可将多米诺骨牌嬉戏的原理类比到与正整数有关的数学命题上. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备
8、 欢迎下载多米诺骨牌嬉戏的原理与正整数有关的数学命题1 第一块要倒下 1 n 1 时命题成立2 当前面一块倒下时,后面一块 2 假 设 n k k 1, k N * 成 立 , 就必需倒下 ; n k 1 时结论也成立；依据 1 和 2, 可知无论多少块骨 依据1 和2, 可知对任意的正整数 n,牌都能全部倒下 命题都成立；（全部由同学总结提炼,老师播放幻灯片）进一步总结数学归纳法的两个步骤：1n1时命题成立；N*成立,就nk1时结论也成立；2 假设nk k1,k我们把用这种模式来证明与正整数有关的数学命题叫作数学归纳法；下面说明一下用数学归纳法来证题是可行的,有效的：1. 推理过程：依据第
9、1 步n1成立依据第 2 步n2成立依据第 2 步n3成立2,依据第 2 步 依据第 2 步对全部的正整数 n 都成立；2. 假设 nk 成立的依据依据第 1 步,n1成立,取k1,这时假设nk1 成立就不是假设而是一个已经成立的事实了,再依据第 2 步,由nk1 成立就可推出nk11 12成立,再取k这时假设nk2成立就不是假设而是一个已经成立的事实了；如此取下去,每一个假设 nk 成立都是有依据的；所以用数学归纳法来证明数学问题是有效的和牢靠的,大家可以放心大胆使用；三、通过实例,运用学问例：用数学归纳法证明等差数列通项公式ana1n1 d 第 4 页,共 6 页 - - - - - -
10、- - - 师生共同完成 , 老师在黑板上书写并强调步骤及留意点证明： 1 当 n1 时, 左=a ,右 =a 11 1 da ,所以左 =右,即 n=1 时结论成立；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 假设当nk k1,kN*学习必备欢迎下载a ka 1k1 d, 时结论成立 , 即就nk1 时,ak 1akd=a 1k1 1 d, 即 nk1 时等式也成立综合1,2, 对一切的n* N ,ana 1n1d成立数学归纳法原理的强调 同学表述 , 老师补正
11、 ：（1）（递推奠基）：验证n1时命题成立；nk1时结论也正（2）（递推依据）：假设nk k1,kN*时结论正确； 去证明当确. （肯定要用到假设）数学归纳法的本质： 无穷的归纳 有限的演绎（递推关系）四、反馈练习 , 巩固学问用数学归纳法证明：多边形的内角和为ann2 180（同学独立完成,通过投影仪指出同学在书写过程中的不足,最终老师播放幻灯片写出规范的解答）通过这个练习,我们发觉数学归纳法的第一步不肯定是从n1开头的,所以对数学归纳法的两步略作改动：1n1时命题成立；N*成立,就nk1时结论也成立；nk k1,k2 假设改为：1 验证nn n01,n 0N*时命题成立；1时结论也成立；2
12、 假设nk kn kN*成立,就nk五、总结归纳,加深懂得（先由同学总结,最终老师再总结,最终播放幻灯片）1、两个方法：归纳法和数学归纳法；2、归纳法是一种由特别到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载归纳法的本质： 特别到一般归纳法的作用： 发觉规律归纳法的缺陷： 具有不行靠性 3、数学归纳法 基本思想： 递推的思想 适用范畴
13、： 与正整数有关的数学命题 两个步骤： 1验证nn 0n 01,n 0N*时命题成立；（递推的基础 ）2 假设nk kn 0,kN*成立,就nk1时接结论也成立；（递推的依据 ）两个条件缺一不行,相互依存附数学归纳法打油诗一首：两个步骤一结论,递推基础不行少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉；数学归纳法的应用是特别广泛的,用数学归纳法证题的关键是如何由nk 成立去证明nk1成立,有哪些方法和技巧,且听下回分解；六、布置作业 , 课外延长1. 用数学归纳法证明: 123nn n1.N * 第 6 页,共 6 页 22. 用数学归纳法证明2 12 22 3n2n n162 n1.细心整理归纳 精选学习资料 1+2+2 2+ +2 n-1=2 n-1 n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -