2022年小学六年级数学求阴影面积与周长3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 求阴影面积的常用方法运算平面图形的面积问题是常见题型,求平面阴影部分的面积是这类问题的难点；不规章阴影面积经常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的,在解此类问题时,要留意观看和分析图形,会分解和组合图形或平移旋转或割补；现介绍几种常用的方法；一、转化法此法就是通过等积变换、平移、 旋转、 割补等方法将不规章的图形转化成面积相等的规章图形,再利用规章图形的面积公式,运算出所求的不规章图形的面积；例 1. 如图 1,点 C、D 是以 AB 为直径的半圆 O 上的三等分点, AB=12 ,就图中由弦 AC、AD 和 CD 围成的

2、阴影部分图形的面积为 _；分析：连结 CD、OC、OD ,如图 2；易证 AB/CD ,就 ACD 和 OCD 的面积相等,所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD 的面积；易得COD60 ,故 S阴影S 扇形D OC60626；360二、和差法有一些图形结构复杂,通过观看,分析出不规章图形的面积是由哪些规章图形组合而成的,再利用这些规章图形的面积的和或差来求,从而达到化繁为简的目的；例 2. 如图 3 是一个商标的设计图案,AB=2BC=8 , ADE为1 圆,求阴影部分面积；4分析：经观看图 3 可以分解出以下规章图形：矩形 ABCD 、扇形 ADE 、 Rt EBC ；所以,290 4 1

3、S 阴影 S 扇形 ADE S 矩形 ABCD S Rt EBC 4 8 4 12 4 8；360 2三、重叠法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规章图形的重叠部分的方法；这类题阴影一般是由几个图形叠加而成；要精确认清其结构,理顺图形间的大小关系；例 3. 如图 4,正方形的边长为 面积；a,以各边为直径在正方形内作半圆,求所围成阴影部分图形的解：由于 4 个半圆掩盖了正方形,而且阴影部分重叠了两次,所以阴影部分的面积等于4 个半圆的面积和与正方形面积的差；故S阴影2a2

4、a221 a2；2四、补形法将不规章图形补成特别图形,利用特别图形的面积求出原不规章图形的面积；例 4. 如图 5,在四边形ABCD 中, AB=2 ,CD=1,A60 ,BD90 ,求四边形ABCD 所在阴影部分的面积；解 ： 延 长BC 、 AD , 交 于 点E , 因 为A60,B90, 所 以E30, 又E D C90,所以CE12 CD,DE3,易求得 BE2 3 ,所以S 阴影SABESCDEAB BE1CD DE3 3；222五、拼接法例 5. 如图 6,在一块长为a、宽为 b 的矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c 个单位）,求阴影部分草地的面积；（2

5、）将左侧的草地向右平移c 个单位； （ 3）解：（1）将“ 小路” 沿着左右两个边界“ 剪去” ；名师归纳总结 得到一个新的矩形（如图7）；由于新矩形的纵向宽仍旧为b,水平方向的长变成了ac ,所以第 2 页,共 20 页草地的面积为 b acabbc；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 六、特别位置法例 6. 如图 8,已知两个半圆中长为4 的弦 AB 与直径 CD 平行,且与小半圆相切,那么图中阴影部分的面积等于 _；分析：在大半圆中,任意移动小半圆的位置,阴影部分面积都保持不变,所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图9）；9；设切点为H,连结

6、 OH 、OB ,由垂径定理,知解：移动小半圆至两半圆同圆心位置,如图BH21 2AB2 ；又 AB 切小半圆于点H,故 OHAB ,故 OB2OH2BH41OB21OH21OB2OH22S 阴影222七、代数法将图形按外形、大小分类,并设其面积为未知数,通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法；例 7. 如图 10,正方形的边长为a,分别以两个对角顶点为圆心、以a 为半径画弧,求图中阴影部分的面积；解：设阴影部分的面积为x,剩下的两块外形、大小相同的每块面积为y,就图中正方形的面积名师归纳总结 是 x2y,而 xy 是以半径为a 的圆面积的1；故有x2ya2 , xy4a2 ；解得第 3

7、 页,共 20 页4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x21 a2 ；即阴影部分的面积是21 a2；需要说明的是,在求阴影部分图形的面积问题时,要详细问题详细分析,从而选取一种合理、简捷的方法；摸索吧如图 11,正方形的边长为1,以 CD 为直径在正方形内画半圆,再以点C 为圆心、 1为半径画弧BD,就图中阴影部分的面积为_；求阴影部分的面积2 1.运算图 19-1 中阴影部分面积是多少平方厘米？2. 图 19-3 大小两圆相交部分面积是大圆面积的（圆的半径r=10 厘米, 取 3.14）4 ,是小圆面积的 153 ,量得小圆的半径是 55 厘米,问大

8、圆的半径是多少厘米？分析 ：要运算图 19-1 中阴影部分的面积,关键在于处理图中空白部分的面积；利用割补进行转化, 把空白部分转移到圆的边缘；分析 ：由于已知阴影部分与大圆,小圆的面积比,如图 19-2 所示,这样阴影部分面积就可以转化为所以可以先求出两圆面积的比,继而求出它们的名师归纳总结 1 圆面积加上两个正方形的面积来运算；42=25 半径比；第 4 页,共 20 页解 设阴影部分的面积为1. 就小圆面积是15 ,小 4解102 1+1024圆面积是5 ；于是：3+200=78.5+200=278.5 大圆面积： 小圆面积 =15 ：45 = 39 =（43 ）2 523 =7.5 厘

9、米 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 如图 19-4 ,正方形面积是8 平方厘米；求阴影4. 如图 19-7 ,求空白部分的面积是正方形面积的部分的面积是多少平方厘米？几分之几？分析 ：这道题按常规思路是：要求阴影部分的面积,用正方形的面积减去一个四分之一圆的面积；分析 ：由于圆和正方形它们的对称性,可以先画因此,只要知道圆的半径,问题就得到解决了；出两条帮助线帮忙分析,即将正方形分成 4 个全但是,从题中的已知条件知道,圆的半径是不行 等的小正方形；先看上面的两个小正方形,从圆能求出的,问题难以得解；这时,就必需转变解 中可知, A=B,C=

10、D；故有 A+D=B+C；这样,可以题思路, 重新审题和分析图形,从图中不难看到,得到阴影部分的面积与空白部分的面积是正方形正方形的边长等于圆的半径,进而可以推出 a面积的二分之一；a=r r=8 平方厘米；所以,在求四分之一圆的面积时,就不必按常规的方法,去求解圆的半径,而直接用 8 平方厘米代替 r r 的面积,四分之一圆的面积是 3.14 81 =6.28 平方厘米,就阴4影部分的面积就是 8-3.14 81 =1.72 平方厘4米；5. 求图 19-8 中阴影部分的面积；6. 如图 19-9 ,A,B 是两个圆的圆心,那么两个阴影部分的面积差是多少？分析 ：阴影部分的面积是以边长为 2

11、0 的正方形与名师归纳总结 半径为 20 的1 圆面积差减去边长为 410 的正方形分析 ：两个阴影部分面积都难以直接求得,要计第 5 页,共 20 页与半径为 10 的1 圆面积差的 42 倍；算它们面积的差需要转化；甲- 乙=（甲 +丙+丁） - （乙 +丙+丁）,甲丙丁的面积之和是大圆面积的四分之一,3.14 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S 阴影 =20 20-3.14 2021 -10 10-3.14 441 ；乙丙丁的面积, 乙加丙是一个长方形,41021 2=（86-21.5 ） 2=129 42 4,丁的面积可以直接求,3.14

12、2 21 ；这样两个阴影部分的面积差可以求得；47. 求图 19-10 阴影部分的面积；分析：这道题的3.14 4 41 -（4 2+3.14 2 241 ）=1.42 48. 如图 19-12 ,ABCG和 CDEF都是正方形, DC等 于 12 厘米, CB等于 10 厘米；求阴影的面积；阴影部分可以从半径为6 的1 圆面积中减去其中 4的空白部分的面积；分析 ： 要运用求积公式直接求出阴影部分的面积是行不通的, 由于阴影部分的面积是不规章图形；3.14 6 61 - （ 6 4-3.14 4 441 ）4可以运用转化的方法, 先求出直角梯形ABCF的面积和圆心角为FCD的扇形面积,所得的

13、差就是阴影部分的面积；直角梯形的面积为：（10+12）=28.26-11.44=16.82 9. 求图 19-15 中的阴影部分的面积； （OB=4厘米）10 2=110 平方厘米；1 圆的面积： 3.14 12 244=3.14 144 4=113.04 直角三角形的面积为：10 （10+12） 2=22 5=110 阴影部分的面积为 110+113.04-110=113.04平方厘米；10. 如图 19-17 ,以小正方形4 角的顶点为圆心,边长的一半为半径,作4 个圆,在 4 个圆外作一正方形,每边都与其中两个圆各有一个接触点,名师归纳总结 求阴影部分的面积S；单位厘米；第 6 页,共

14、20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 ： 如图 19-16 ,第一可以用虚线连接AC、BC、分析 ：认真分析观看后,便可看出阴影部分的面OC,并标出S1、 S2、S3、S4,就阴影部分S1 与积 S 等于大正方形面积S 减去小正方形的面积和空白部分 S3 面积相等；阴影部分 S2 与空白部分S4 面积相等, 所以阴影部分的面积等于 1 圆面积4减去 1 个直角三角形的面积；3.14 4 21 -4 441 =3.14 4-8=4.56 平方厘米24 个 3 小圆面积的和；42解： S=40 40- （ 40 2）3.14 （ 40 2 2）2

15、3 4=1600-400+942=1600-1432=258 平4方厘米求阴影部分面积 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 例 2.正方形面积是7 平方厘米,求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三圆的面积；7 平方角形的面积,设圆的半径为 r ,由于正方形的面积为- 2 1=1.14（平方厘米）厘米,所以=7,=7-所 以 阴 影 部 分 的 面 积 为 ： 7- 7=1.505 平方厘

16、米例 3.求图中阴影部分的面积； 单位 : 厘米 例 4.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 解：同上,正方形面积减去圆面积,解：最基本的方法之一；用四个圆组成一个圆,16- =16-4 =3.44平方厘米用正方形的面积减去圆的面积,所以阴影部分的面积： 2 2- 0.86平方厘米；例 5.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 例 6. 如图：已知小圆半径为2 厘米,大圆半径是小圆的 3 倍,问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：这是一个用最常用的方法解最常见的题,为方 解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 -

17、 - - - - - - - - 便起见,加上阴影部分）我 们 把 阴影 部 分 的每 一个 小 部 分 称 为 “叶关）- =100.48 平方厘米形” ,是用两个圆减去一个正方形,8（注：这和两个圆是否相交、交的情形如何无 2 -16=8 -16=9.12 平方厘米另外：此题仍可以看成是1 题中阴影部分的倍；例 7.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 例 8.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 解：正方形面积可用 对角线长 对角线长2,求 解：右面正方形上部阴影部分的面积,等于左面正正方形面积为： 5 5 2=12.5所以阴影面积为： 4-12.5=7.125平方形下部空白部分面积,割补以

18、后为圆,方厘米,无所以阴影部分面积为： =3.14平方厘米注 :以上几个题都可以直接用图形的差来求需割、补、增、减变形 例 10.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 例 9.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分,就阴影部分合成一个长方形,解：同上,平移左右两部分至中间部分,就合成一所以阴影部分面积为： 2 3=6 平方厘米 个长方形,所以阴影部分面积为 2 1=2 平方厘米 注 : 8 、 9、10 三题是简洁割、补或平移 例 11. 求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 例 12.每个扇形半径为 3,求阴影部分的面积； 单位 :厘米 名师归纳总结 - -

19、 - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：这种图形称为环形,可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求；解：三个部分拼成一个半圆面积（ - ）= 3.14=3.66平方厘 14.13 平方厘米米例 13. 求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 例 14.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 解 : 连对角线后将 叶形 剪开移到右上面的空白部 解：梯形面积减去 圆面积,分, 凑成正方形的一半. 平方厘米4+10 4 -=28-4 =15.44平 方 厘所以阴影部分面积为： 8 8 2=32米 . 例 15. 已知直角三角形面积是12 平方厘米,求

20、阴影例 16.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 部分的面积；解：名师归纳总结 分析 : 此题比上面的题有肯定难度, 这是 叶形 的 = 116-36=40 =125.6 平方厘米第 10 页,共 20 页一个半 . =12,=6 解: 设三角形的直角边长为r ,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆面积为： 2=3 ；圆内三角形的面积为 12 2=6,阴影部分面积为：3 - 6=5.13 平方厘米例 18.如图, 在边长为 6 厘米的等边三角形中挖去三例 17.图中圆的半径为5 厘米 , 求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 AB为轴翻转后,整个阴影部

21、个同样的扇形 , 求阴影部分的周长；解：上面的阴影部分以解：阴影部分的周长为三个扇形弧,拼在一起为一分成为梯形减去直角三角形,或两个小直角三角形个半圆弧,厘米AED、 BCD面积和；所以圆弧周长为： 2 3.14 3 2=9.42所以阴影部分面积为： 5 5 2+5 10 2=37.5平方厘米例 19. 正方形边长为2 厘米,求阴影部分的面积；例 20.如图,正方形ABCD的面积是 36 平方厘米,求阴影部分的面积；解：右半部分上面部分逆时针,下面部分顺时针旋转到左半部分,组成一个矩形；所以面积为： 1 2=2 平方厘米解：设小圆半径为r ,4=36, r=3,大圆半径为R,=2=18, ,

22、将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环所以面积为: - 2=4.5 =14.13平方厘米名师归纳总结 例 21 . 图中四个圆的半径都是1 厘米,求阴影部分的例 22. 如图,正方形边长为8 厘米,求阴影部分的第 11 页,共 20 页面积；面积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：把中间部分分成四等分,分别放在上面圆的四解法一 : 将左边上面一块移至右边上面, 补上空白 , 个角上,补成一个正方形,边长为2 厘米,就左边为一三角形, 右边一个半圆. 阴影部分为一个. 所以面积为： 2 2=4 平方厘米三角形和一个半圆面积之和 2+4 4=8 +16

23、=41.12 平方厘米解法二 : 补上两个空白为一个完整的圆. 所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形 , 叶形面积为 : 2 - 4 4=8 -16 所 以 阴 影 部 分 的 面 积为 : -8 +16=41.12 平方厘米例 23. 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点,例 24.如图,有 8 个半径为 1 厘米的小圆,用他们的它们的公共点是该正方形的中心,假如每个圆的半 圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这径都是 1 厘米,那么阴影部分的面积是多少？些圆的圆心； 假如圆周 率取 3.1416 ,那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米？解：面积为个圆减去个叶形,叶形面积为：分析

24、：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形,- 1 1= -1 -8各个小圆被切去个圆,所 以 阴 影 部 分 的 面 积 为 :4 这四个部分正好合成个整圆,而正方形中的空白 -1=8 平方厘米部分合成两个小圆解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和为：4 4+ =19.1416 平方厘米名师归纳总结 例 25. 如图,四个扇形的半径相等,求阴影部分的面例 26.如图,等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB,第 12 页,共 20 页积； 单位 : 厘米 AB=5厘米, BE=2厘米,求图中阴影部分的面积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：四个

25、空白部分可以拼成一个以为半径的圆积,所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面解 : 将三角形 CEB以 B 为圆心,逆时针转动90 度,4 4+7 2 - =22-4 =9.44 平方厘米到三角形ABD位置 , 阴影部分成为三角形ACB面积减去个小圆面积 , 为: 5 5 2 - 4=12.25 -3.14=9.36平方厘米例 27. 如图,正方形ABCD的对角线 AC=2厘米,扇形例 28.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 ACB是以 AC为直径的半圆, 扇形 DAC是以 D为圆心,AD为半径的圆的一部分,求阴影部分的面积；解法一： 设 AC中点为 B, 阴影面积为三角形 ABD面积加弓形

26、BD的面积 , 三角形 ABD的面积为 :5 5 2=12.5解: 由于 2 = =4,所以 =2 以 AC为直径的圆面积减去三角形 ABC面积加 弓形面积为 : 2- 5 5 2=7.125上弓形 AC面积,所以阴影面积为 :12.5+7.125=19.625 平方厘米- 2 2 4+ 4-2 解法二： 右上面空白部分为小正方形面积减去 小圆 = -1+ -1 面积,其值为： 5 5 - =25- = -2=1.14 平方厘米 阴影面积为三角形 ADC减去空白部分面积,为：10 5 2 - （25- ） = =19.625 平方厘米例 29.图中直角三角形 ABC 的直角三角形的直角边 例

27、30.如图,三角形 ABC是直角三角形,阴影部分甲AB=4厘米, BC=6厘米,扇形 BCD所在圆是以 B 为圆 比阴影部分乙面积大 28 平方厘米, AB=40厘米；求心,半径为 BC 的圆, CBD=,问：阴影部分甲 BC的长度；比乙面积小多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 两部分同补上空白部分后为直角三角形 ABC,一解 : 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合 个为半圆,设 BC长为 X,就成一个扇形 BCD,一个成为三角形 ABC,40X 2 - 2=28 此两部分差即为： 4 6所以 4

28、0X-400 =56 就 X=32.8 厘米5 -12=3.7 平方厘米例 31. 如图是一个正方形和半圆所组成的图形,其中 例 32.如图,大正方形的边长为 6 厘米,小正方形的P 为半圆周的中点,Q为正方形一边上的中点,求阴 边长为 4 厘米；求阴影部分的面积；影部分的面积；解：连 PD、PC转换为两个三角形和两个弓形,解：三角形DCE的面积为 : 4 10=20 平方厘米两三角形面积为：APD 面积 + QPC面积 = 梯形 ABCD的面积为 : 4+6 4=20 平方厘米（5 10+5 5）=37.5 从而知道它们面积相等 , 就三角形 ADF面积等于三角两弓形 PC、PD面积为：-

29、5 5 形 EBF面积, 阴影部分可补成 圆 ABE的面积, 其面积为：名师归纳总结 所 以 阴 影 部 分 的 面 积 为 ： 37.5+ 4=9 =28.26 平方厘米第 14 页,共 20 页 -25=51.75平方厘米例 34.求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 例 33. 求阴影部分的面积； 单位 : 厘米 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 : 用大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2解：两个弓形面积为：- 3 4 2= -6 阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积,为半径的圆 ABE面积,为结果为-（ -6 ）= （ 4+-）求 +-6

30、 += 13 -6 +6=6 平方厘米=4.205 平方厘米阴例 35. 如图,三角形 OAB是等腰三角形, OBC是扇形,OB=5厘米,求阴影部分的面积；影部分面解：将两个同样的图形拼在一起成为圆减等腰直角积三角形平方厘米或 4-5 5 2 周长=（-）2=3.5625习题名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页精选学习资料 - - -

31、- - - - - - 教学整理名师归纳总结 1. 如图三角形ABC是直角三角形, AD 15 厘米, BF8 厘米,正方形CDEF的面积是多少？第 18 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A G 15 分析：D S=. E E C F 8 B 以直角三角形的两直角边补成正方形,如图,就图中两个阴影面积相等阴影面积 =15 8（）2. 如图 ABCD与 CEFG都是正方形,求阴影面积 . 解一： 阴影面积 = ABCD+ CEFG- ABG- ADE- EFG =10 10+6 6-10 （ 10+6） 2-10 （ 10-6） 2-6

32、 6 2 =100+36-80-20-18（cm）=18 解二： 由于 ABG=（10+6） 10 2,而梯形 ABCE=10+6 10 2,所以, AEH= CGH 阴影面积 = AEH+EHG= CGH+ EHG= EFG=6 6 2=18cm 结论：阴影面积与大正方形边长无关；3 如图：阴影S4 的面积：（提示：S4=s2*s3/s1）S2=18 S1=15 S3=10 S4=. 梯形蝴蝶定理如图,在梯形中,存在以下关系：1 相像图形,面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2b2；2S1 S2S3 S4= a2 b2 abab；3S3=S4 ；（三角形的同底 b 等高）4S1 S2=S3 S4 由 S1/S3=S4/S2 推导出 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 AO ：BO=S1+S3：S2+S4 A b S1=. S3=12 O S4=20 S2=48 名师归纳总结 a B 第 20 页,共 20 页- - - - - - -