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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 行程问题（一）教学目标：1、比例的基本性质2、娴熟把握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化,有目的的转化；4、单位“1” 变化的比例问题5、方程解比例应用题学问点拨：发车问题（1）、一般间隔发车问题；用 3 个公式快速作答；汽车间距 = （汽车速度 + 行人速度） 相遇大事时间间隔汽车间距 = （汽车速度 -行人速度） 追及大事时间间隔汽车间距 = 汽车速度 汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数；标准方法是：画图尽可能多的列 3 个好使公式结合 s 全程 v t- 结合植树问题数数；（3
2、 ）当显现多次相遇和追及问题柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间,因此火车的路程是桥长与车身长度之和 . 火车与人错身时,忽视人本身的长度,两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时,两者路程和就为两车身长度之和. 只要认为人具备所在火车的速度,而忽视本身的长度,那么他所看到的错车的 火车与火车上的人错身时,相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目,在分析题目的时候肯定得结合着图来进行 . 接送问题名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学
3、习资料 - - - - - - - - - 依据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变 - 班速不变 - 班数 2 个（最常见）（2）车速不变 - 班速不变 - 班数多个（3）车速不变 - 班速变 - 班数 2 个（4）车速变 -班速不变 - 班数 2 个标准解法：画图列 3 个式子1、总时间 = 一个队伍坐车的时间 + 这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间 = 班车同时动身后回来接它的时间；时钟问题：时钟问题可以看做是一个特别的圆形轨道上针和时针；2 人追及问题,不过这里的两个“ 人” 分别是时钟的分时钟问题有
4、别于其他行程问题是由于它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时,而 是 2 个指针“ 每分钟走多少角度” 或者“ 每分钟走多少小格”；流水行船问题中的相遇与追及两只船在河流中相遇问题,当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度 + 乙船逆水速度 = （甲船速 + 水速）（乙船速-水速） = 甲船船速 + 乙船船速同样道理,假如两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,与水速无关 . 甲船顺水速度 -乙船顺水速度 = （甲船速 + 水速） -（乙船速 + 水速） = 甲船速 -乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度 = （甲船速 -水速） -（乙船速
5、 -水速） = 甲船速 - 乙船速 . 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样,与水速没有关系 . 例题精讲：模块一 发车问题【例 1】某停车场有 10 辆出租汽车,第一辆出租汽车动身后,每隔 4 分钟,有一辆出租汽车开出 . 在第一辆出租汽车开出 2 分钟后,有一辆出租汽车进场 . 以后每隔 6 分钟有一辆出租汽车回场 . 回场的出租汽车, 在原有的 10 辆出租汽车之后又依次每隔 4 分钟开出一辆, 问：从第一辆出租汽车开出后,经过多少时间,停车场就没有出租汽车了？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - -
6、 - - - - - - 【解析】 这个题可以简洁的找规律求解【例 2】时间车辆1124 分钟9 辆6 分钟10 辆8 分钟9 辆12 分钟9 辆16 分钟8 辆18 分钟9 辆20 分钟8 辆24 分钟8 辆由此可以看出：每12 分钟就削减一辆车,但该题需要留意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规律的到了12*9= 108 分钟的时候,剩下一辆车,这时再经过4 分钟车厂恰好没有车了,所以第分钟时就没有车辆了,但题目中问从第一辆出租汽车开出后,所以应当为108 分钟；12 分某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5 千米的速度步行,每7.2 分钟有一辆电车迎面开过,每钟有一辆电车从后面追过,假如
7、电车按相等的时间间隔以同一速度不停地来回运行问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？【解析】 设电车的速度为每分钟 x 米人的速度为每小时 4.5 千米,相当于每分钟 75 米依据题意可列方程如下：x 75 7.2 x 75 12,解得 x 300,即电车的速度为每分钟 300 米,相当于每小时 18千米相同方向的两辆电车之间的距离为：300 75 12 2700 米,所以电车之间的时间间隔为：2700 300 9分钟 【巩固】某人以匀速行走在一条大路上 , 大路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车 . 他发觉每隔 15 分钟有一辆公共汽车追上他；每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶
8、来擦身而过 . 问公共汽车每隔多少分钟发车一辆 . 【解析】 这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度；是人与电车的相遇与追及问题,【巩固】他们的路程和（差）即为相邻两车间距离,设两车之间相距S,根 据 公 式 得S V 人V 车10min,x50x7, 那 么 6 x6t y3 x3t y , 解 得12.55x32t y ,所以发车间隔T = 2.5x2.5y3x3t y3某人沿电车线路行走,每12 分钟有一辆电车从后面追上,每4 分钟有一辆电车迎面开来假设两个起点站的发车间隔是相同的,求这个发车间隔【解析】 设电车的速度为a,行人的速度为b,由于每辆电车之间的距离为定值,
9、设为l由电车能在12 分钟追上行人l 的距离知,x2t1y ； 由电车能在4 分钟能与行人共同走过l 的距离知,1,所以有12l =12a-b=4a+b,有 a=2b,即电车的速度是行人步行速度的2 倍；那么l=4a+b=6a,就发车间隔上：5011546即发车间隔为6 分钟12113 倍,每隔6 分钟有一辆【例 3】一条大路上,有一个骑车人和一个步行人,骑车人速度是步行人速度的公共汽车超过步行人,每隔10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人,假如公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变,那么间隔几分钟发一辆公共汽车？【解析】 要求汽车的发车时间间隔,只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了,但
10、题目没有直接告知我们这两个条件,如何求出这两个量呢？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的,当一辆公共汽车超过步行人时,紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离,每隔6 分钟就有一辆汽车超过步行人,这就是说：当一辆汽车超过步行人时,下一辆汽车要用 6 分钟才能追上步行人,汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离；对于骑车人可作同样的分析 . 因此,假如我们把汽车的速度记作 V 汽,骑车人的速度为 V 自,步行人的速度为 V 人（单位都是米/ 分钟）,
11、就：间隔距离 =（ V 汽-V 人） 6（米）,间隔距离 =（ V 汽-V 自） 10（米）,V 自 = 3V 人；综合上面的三个式子,可得：V 汽= 6V 人,即 V 人= 1/ 6V 汽,就：间隔距离 = （V 汽- 1/ 6V 汽） 6= 5V 汽（米）所以,汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离V 汽= 5V 汽（米） V 汽（米 / 分钟） = 5（分钟）；【巩固】从电车总站每隔肯定时间开出一辆电车；甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行；甲每分钟步行82 米,每隔 10 分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行的一辆电车；那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？60 米,每隔 10 分 1
12、5 秒遇上迎面开来【解析】 这类问题一般要求两个基本量：相邻两电车间距离、电车的速度；甲与电车属于相遇问题,他们的【例 4】路程和即为相邻两车间距离,依据公式得546,类似可得121060546655,那么655,11111111即1 12,解得 54米/分,因此发车间隔为9020 820=11 分钟；甲城的车站总是以20 分钟的时间间隔向乙城发车,甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡,车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和 120%,有一名同学从乙城骑车去甲城,已知该同学平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一,那么这位同学骑车的同学在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一
13、辆汽车？【解析】 先看平路上的情形,汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的1/ 20,那么每分钟自行车在平路上行驶汽 车 平 路 上 间 隔 的 1/ 80 , 所 以 在 平 路 上 自 行 车 与 汽 车 每 分 钟 合 走 汽 车 平 路 上 间 隔 的1/ 20+ 1/ 80= 1/ 16,所以该同学每隔16 分钟遇到一辆汽车,对于上坡、下坡的情形同样用这种方法考虑,三种情形中该同学都是每隔 16 分钟遇到一辆汽车 . 【例 5】甲、乙两地是电车始发站,每隔肯定时间两地同时各发出一辆电车,小张和小王分别骑车从甲、乙两地动身,相向而行每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔 5
14、 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车已知电车行驶全程是 56 分钟,那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟【解析】 由题意可知,两辆电车之间的距离10电车行 8 分钟的路程（每辆电车都隔4 分钟遇到迎面开来的一辆电车）10电车行 5 分钟的路程 1小张行 5 分钟的路程 24电车行 6 分钟的路程 72小王行 6 分钟的路程由此可得,小张速度是电车速度的10,小王速度是电车速度的12 ,小张与小王的速度和是电车速度的 10,所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的 在途中相遇时他们已行走了 60 分钟12 ,即 53分钟, 所以小张与小王【例
15、 6】小峰骑自行车去小宝家聚会,一路上小峰留意到,每隔 9 分钟就有一辆公交车从后方超越小峰,小峰骑车到半路,车坏了,小峰只好打的去小宝家,这时小峰又发觉出租车也是每隔 9 分钟超越一辆公交车,已知出租车的速度是小峰骑车速度的5 倍,那么假如公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话,公交车的发车时间间隔为多少分钟？【解析】 间隔距离 = （公交速度 -骑车速度）9 分钟；间隔距离= （出租车速度 - 公交速度）9 分钟所以,公交速度 -骑车速度 = 出租车速度 - 公交速度；公交速度= （骑车速度 + 出租车速度） /2= 3 骑车速度 .由名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共
16、 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此可知,间隔距离 = （公交速度 -骑车速度）9 分钟 = 2 骑车速度 9 分钟 = 3 骑车速度 6 分钟 = 公交速度 6 分钟 . 所以公交车站每隔 6 分钟发一辆公交车 . 【例 7】某人乘坐观光游船沿顺流方向从 A 港到 B 港；发觉每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船,每隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过,已知A、 B 两港间货船的发船间隔时间相同,且船在净水中的速度相同,均是水速的 7 倍,那么货船发出的时间间隔是 _分钟；【解析】 由于间隔时间相同,设顺水两货船之间的距离为“1” ,逆水两货船之间的距离为（7
17、1） （71）3/ 4；所以,货船顺水速度游船顺水速度1/ 40,即货船静水速度游船静水速度1/ 4,货船逆水速度游船顺水速度3/4 1/ 20 3/ 80,即货船静水速度游船静水速度3/ 80,可以求得货船静水速度是（1/ 403/ 80） 21/ 32,货船顺水速度是 1/ 32 （1 1/ 7） 1/ 28）,所以货船的发出间隔时间是 1 1/ 2828 分钟；模块二 火车过桥【例 8】 小李在铁路旁边沿铁路方向的大路上漫步,他漫步的速度是 1. 5 米/ 秒,这时迎面开来一列火车,从车头到车尾经过他身旁共用了 20 秒已知火车全长 390 米,求火车的速度【答案】 18 米/ 秒【例
18、9】 小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长, 他们拿了两块跑表. 小英用一块表登记了火车从她面前通过所花的时间是15 秒; 小敏用另一块表登记了从车头过第一根电线杆到车尾过其次根电线杆所花的时间是20 秒. 已知两电线杆之间的距离是100 米. 你能帮忙小英和小敏算出火车的全长和时速吗 . 【解析】 火车的时速是 :100 20-15 60 60= 72000米/ 小时 ,车身长是 :20 15= 300米 【例 10】 列车通过 250 米的隧道用 25 秒,通过 210 米长的隧道用 23 秒又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车,货车车身长 320 米,速度为每秒 17 米列车与
19、货车从相遇到相离需要多少秒？【解析】 列车的速度是 250 210 25 23 = 20 米秒 ,列车的车身长：20 25 250 = 250 米 列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长,依据路程差 速度差 追击时间,可得列车与货车从相遇到相离所用时间为：250 32020 17= 190 秒【例 11】 某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒,通过 210 米长的隧道用 23 秒,如该列车与另一列长 150米. 时速为 72 千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟？【解析】 依据另一个列车每小时走72 千米,所以,它的速度为：72000 3600 20（米 / 秒）,某列车的速度为： （2
20、5O210） （2523） 40 2 20（米 / 秒）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 某列车的车长为：20 25-250500-250250（米）,两列车的错车时间为： （250150） （2020） 400 40 10（秒）；【例 12】 李云靠窗坐在一列时速 60 千米的火车里,看到一辆有 30 节车厢的货车迎面驶来,当货车车头经过窗口时,他开头计时,直到最终一节车厢驶过窗口时,所计的时间是 18 秒已知货车车厢长 15. 8 米,车厢间距 1. 2 米,货车车头长 10 米问货车行驶的速度是多少？【解析】
21、 此题中从货车车头经过窗口开头运算到货车最终一节车厢驶过窗口,相当于一个相遇问题,总路程为货车的车长货车总长为：15.830 1.230 10 1000 = 0.52 千米 ,火车行进的距离为：60 18/ 3600= 0.3 千米 ,货车行进的距离为：0.52 0.3 = 0.22千米 ,货车的速度为：0.22 18/ 3600= 44 千米时 【例 13】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为 3. 6 千米 / 时,骑车人速度为 10. 8 千米 / 时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用 22 秒,通过骑车人用 26 秒,这列火车的车身总
22、长是多少？【解析】 行人的速度为 3.6 千米 / 时= 1 米/秒,骑车人的速度为 10.8 千米 / 时= 3 米/ 秒；火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差；假如设火车的速度为 x 米/ 秒,那么火车的车身长度可表示为（x-1） 22 或（ x- 3） 26,由此不难列出方程；法一：设这列火车的速度是x 米/ 秒,依题意列方程,得（x-1） 22= （x- 3） 26；解得 x= 14；所以火车的车身长为：（14-1） 22= 286（米）；法二：直接设火车的车长是x, 那么等量关系就在于火车的速度上；可得：x/ 263 x/ 221这样直接也可以x
23、= 286 米法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决；两次的追准时间比是：22：2611：13,所以可得：（V 车 1）：（V 车 3） 13：11,可得 V 车 14 米/ 秒,所以火车的车长是（14- 1） 22= 286（米）【例 14】 一列长 110 米的火车以每小时30 千米的速度向北慢慢驶去,铁路旁一条小路上,一位工人也正向北步行； 14 时 10 分时火车追上这位工人,15 秒后离开； 14 时 16 分迎面遇到一个向南走的同学, 12 秒后离开这个同学；问：工人与同学将在何时相遇？名师归纳总结 【解析】 工人速度是每小时30-0.11/ （15/ 3600
24、）= 3.6 千米第 6 页,共 25 页同学速度是每小时（0.11/ 12/ 3600）- 30= 3 千米- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14 时 16 分到两人相遇需要时间（14 时 16 分+ 24 分= 14 时 40 分30- 3.6）*6/ 60/ （3.6+ 3）= 0.4（小时） = 24 分钟【例 15】 同方向行驶的火车,快车每秒行30 米,慢车每秒行22 米；假如从辆车头对齐开头算,就行24 秒后快车超过慢车,假如从辆车尾对齐开头算,就行 多少米？28 秒后快车超过慢车；快车长多少米,满车长【解析】 快车每秒行 30 米,慢车
25、每秒行 22 米；假如从辆车头对齐开头算,就行 24 秒后快车超过慢车,每秒快 8 米,24 秒快出来的就是快车的车长 192m,假如从辆车尾对齐开头算,就行 28 秒后快车超过慢车那么看来这个慢车比快车车长,长多少呢？长得就是快车这 4 秒内比慢车多跑的路程啊 4 832,所以慢车 224【例 16】 两列火车相向而行,甲车每小时行 36 千米,乙车每小时行 54 千米 . 两车错车时,甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开头到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒,求乙车的车长 . 【解析】 第一应统一单位：甲车的速度是每秒钟 36000 3600 10（米）,乙车的速度是每秒钟 54
26、000 360015（米） .此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇；更详细的说是和乙车的车尾相遇；路程和就是乙车的车长；这样懂得后其实就是一个简洁的相遇问题；（1015） 14350（米）,所以乙车的车长为 350 米. 【例 17】 在双轨铁道上, 速度为 54 千米 / 小时的货车 10 时到达铁桥, 10 时 1分 24秒完全通过铁桥,后来一列速度为 72千米 / 小时的列车, 10时 12分到达铁桥, 10时 12分 53秒完全通过铁桥,10时 48分 56 秒列车完全超过在前面行使的货车求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？【解析】 先统一单位： 54 千米 / 小时 1
27、5米/ 秒, 72千米 /小时 20米/ 秒,1分 24秒 84秒, 48分 56秒 12分 36分 56秒 2216 秒货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和,为：15 84 1260米；列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和,为：20 53 1060米考虑列车与货车的追及问题,货车 10时到达铁桥,列车 10时 12分到达铁桥,在列车到达铁桥时,货车已向前行进了 12 分钟 720 秒,从这一刻开头列车开头追逐货车,经过 2216 秒的时间完全超过货车,这一过程中追及的路程为货车12 分钟走的路程加上列车的车长,所以列车的长度为20 15 2216 15 720 280 米,那么铁桥的长度
28、为 1060 280 780米,货车的长度为1260 780 480米【例 18】 一条单线铁路上有 A, B, C, D, E 5 个车站 , 它们之间的路程如下列图 单位 : 千米 . 两列火车同时从A, E 两站相对开出 , 从 A 站开出的每小时行 60 千米 , 从 E 站开出的每小时行 50 千米 . 由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道 , 要使对面开来的列车通过 , 必需在车站停车 , 才能让开行车轨道 . 因此, 应支配哪个站相遇 , 才能使停车等候的时间最短 . 先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟. 【解析】名师归纳总结 A 225 千米25 千米15 千米230
29、 千米E 第 7 页,共 25 页C D B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两列火车同时从A,E 两站相对开出 ,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短 . 从图中可知 ,AE 的距离是 :225+ 25+ 15+ 230= 495千米 两车相遇所用的时间是 :495 60+ 50= 4.5小时 相遇处距 A 站的距离是 :60 4.5= 270千米 而 A,D 两站的距离为 :225+ 25+ 15= 265千米 由于 270 千米 265 千米 ,从 A 站开出的火车应支配在 D 站相遇 ,才能使停车等待的
30、时间最短 . 由于相遇处离 D 站距离为 270-265= 5千米 ,那么 ,先到达 D 站的火车至少需要等待 :2:1 小时 ,x 小时 =11 分钟模块三流水行船4 小时 . 甲船顺水航行同一段水路,用了3 小【例 19】 乙船顺水航行2 小时,行了120 千米,返回原地用了时. 甲船返回原地比去时多用了几小时.【解析】 乙船顺水速度： 120 2= 60（千米 / 小时）.乙船逆水速度： 120 4= 30（千米 / 小时）；水流速度：（ 60-30） 215（千米 / 小时） .甲船顺水速度： 12O 34O（千米 / 小时）；甲船逆水速度：40-2 15= 10（千米/ 小时）.甲船
31、逆水航行时间：120 10= 12（小时）；甲船返回原地比去时多用时间：12- 3= 9（小时）【例 20】 船来回于相距 180 千米的两港之间,顺水而下需用 10 小时, 逆水而上需用 15 小时； 由于暴雨后水速增加,该船顺水而行只需 9 小时,那么逆水而行需要几小时 . 【解析】 此题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响,水速发生变化,要求船逆水而行要几小时,必需要先求出水速增加后的逆水速度 . 船在静水中的速度是： （180 10+ 180 15） 2= 15（千米 /小时） . 暴雨前水流的速度是： （180 10- 180 15） 2= 3（
32、千米 / 小时） . 暴雨后水流的速度是：180 9-15= 5（千米 / 小时） . 暴雨后船逆水而上需用的时间为：180 （15- 5） = 18（小时）【例 21】 2022 年“ 学而思杯” 六年级 甲、乙两艘游艇,静水中甲艇每小时行 1 千米,乙艇每小时行 54 千12米现在甲、乙两游艇于同一时刻相向动身,甲艇从下游上行,乙艇从相距 27 千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过 4 小时,甲艇到达乙艇的动身地水流速度是每小时 千米【解析】 两游艇相向而行时,速度和等于它们在静水中的速度和,所以它们从动身到相遇所用的时间为 10小时相遇后又经过 4 小时,甲艇到达乙艇的动身地,说明甲
33、艇逆水行驶 27 千米需要 10 小时,那么甲艇的逆水速度为 1千米 / 小时 ,就水流速度为 24千米 / 小时 【例 22】 一艘轮船顺流航行 120 千米,逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米,逆流航行 120 千米也用 16 时；求水流的速度；【解析】 两次航行都用 16 时,而第一次比其次次顺流多行 60 千米,逆流少行 40 千米,这说明顺流行 60千米与逆流行 40 千米所用的时间相等,即顺流速度是逆流速度的 1.5 倍；将第一次航行看成是 16时顺流航行了 12080 1.5240（千米）,由此得到顺流速度为 240 1615（千米时） ,逆流速度为 15
34、1.5= 10（千米时） ,最终求出水流速度为（15 10） 22.5（千米时） ；名师归纳总结 【例 23】 一条河上有甲、乙两个码头,甲在乙的上游50 千米处；客船和货船分别从甲、乙两码头动身向第 8 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上游行驶,两船的静水速度相同且始终保持不变；客船动身时有一物品从船上落入水中,10 分钟后此物距客船 5 千米；客船在行驶 20 千米后折向下游追逐此物,追上时恰好和货船相遇；求水流的速度；【解析】 5 1/ 6= 30千米 / 小时 ,所以两处的静水速度均为每小时30 千米； 50 30= 5/ 3
35、小时 ,所以货船与物品相遇需要 5/ 3 小时,即两船经过 5/ 3 小时候相遇；由于两船静水速度相同,所以客船行驶 20 千米后两船仍相距 50 千米； 50 30+ 30= 5/ 6小时 ,所以客船调头后经过 5/ 6 小时两船相遇；30- 20 5/ 3- 5/ 6= 6千米 / 小时 ,所以水流的速度是每小时 6 千米；【例 24】 江上有甲、乙两码头,相距15 千米,甲码头在乙码头的上游,一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头动身向下游行驶,5 小时后货船追上游船；又行驶了1 小时,货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上）,6 分钟后货船上的人发觉了,便掉转船头去找,找到时恰好
36、又和游船相遇；就游船在静水中的速度为每小时多少千米？【解析】 此题可以分为几个阶段来考虑；第一个阶段是一个追及问题；在货舱追上游船的过程中,两者的追及距离是 15 千米,共用了 5 小时,故两者的速度差是 15 5= 3 千米；由于两者都是顺水航行,故在静水中两者的速度差也是 3 千米；在紧接着的 1 个小时中,货船开头领先游船,两者最终相距 3 1= 3 千米；这时货船上的东西落入水中,6 分钟后货船上的人才发觉；此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度1/ 10 千米,从今时算起,到货船和落入水中的物体相遇,又是一个相遇问题,两者的速度之和刚好等于货船的静水速度,所以这段时间是货
37、船的静水速度 * 1/ 10 货船的静水速度 = 1/ 10 小时； 按题意, 此时也刚好遇上追上来的游船；货船开头回追物体时,货船和游船刚好相距 3+ 3*1/10= 33/ 10 千米,两者到相遇共用了 1/ 10 小时,帮两者的速度和是每小时33/ 10 1/10= 33 千米,这与它们两在静水中的速度和相等；（说明一下）又已知在静水中货船比游船每小时快 3 千米,故游船的速度为每小时（33-3） 2= 15 千米；【例 25】 2022 年三帆中学考题 一艘船来回于甲、乙两港之间,已知船在静水中的速度为每小时 9 千米,平常逆行与顺行所用的时间比是 2:1 一天因下暴雨,水流速度为原先
38、的 2 倍,这艘船来回共用10 小时,问：甲、乙两港相距 千米【解析】 设平常水流速度为 x 千米 / 时,就平常顺水速度为 9 x 千米 / 时,平常逆水速度为 9 x 千米 / 时,由于平常顺行所用时间是逆行所用时间的一半,所以平常顺水速度是平常逆水速度的 2 倍,所以9 x 2 9 x ,解得 x 3,即平常水流速度为 3 千米 / 时暴雨天水流速度为 6 千米 / 时,暴雨天顺水速度为 15 千米 / 时,暴雨天逆水速度为 3 千米 / 时,暴雨天顺水速度为逆水速度的 5 倍,那么顺行时间为逆行时间的 1,故顺行时间为来回总时间的 1,为5 610 1 5 小时,甲、乙两港的距离为 1
39、5 5 25 千米 6 3 3【例 26】 一条小河流过 A,B, C 三镇 . A, B 两镇之间有汽船来往 , 汽船在静水中的速度为每小时 11 千米 . B, C两镇之间有木船摆渡 , 木船在静水中的速度为每小时 3. 5 千米 . 已知 A, C 两镇水路相距 50 千米 , 水流速度为每小时 1. 5 千米 . 某人从 A 镇上船顺流而下到 B 镇, 吃午饭用去 1 小时 , 接着乘木船又顺流而下到 C 镇, 共用 8 小时 . 那么 A, B 两镇间的距离是多少千米 . 【解析】 如下画出示意图有 AB 段顺水的速度为11+ 1.5=12.5 千米 /小时 ,有 BC 段顺水的速度
40、为3.5+ 1.5= 5 千米 / 小时而名师归纳总结 从 AC 全程的行驶时间为8- 1= 7 小时设 AB 长x千米 ,有x505x7,解得x= 25所以 A ,B12.5第 9 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 两镇间的距离是 25 千米 . 【例 27】 河水是流淌的,在 B 点处流入静止的湖中,一游泳者在河中顺流从 A 点到 B 点,然后穿过湖到C 点,共用 3 小时；如他由 C 到 B 再到 A,共需 6 小时假如湖水也是流淌的,速度等于河水速度,从 B 流向 C ,那么,这名游泳者从 A 到 B 再到 C 只需 2. 5
41、小时；问在这样的条件下,他由 C 到 B 再到 A,共需多少小时？【解析】 设人在静水中的速度为x,水速为y ,人在静水中从B 点游到C 点需要t 小时3x3t y ,依据题意,有6x6t y3x3t y,即x32t y ,同样,有2.5x2.5y3即x2t1y ；所以,1,即5011546,所以546；121060546655 11小1212111111时,所以在这样的条件下,他由C 到 B 再到 A 共需7.5 小时模块四时钟问题【例 28】 现在是 10 点,再过多长时间,时针与分针将第一次在一条直线上？【解析】 时针的速度是 360 12 60= 0.5度/ 分,分针的速度是 360
42、60=6度 / 分 即 分针与时针的速度差是 6-0.5= 5.5度/ 分,10 点时,分针与时针的夹角是 60 度,第一次在一条直线时,分针与时针的夹角是 180 度,即 分针与时针从 60 度到 180 度经过的时间为所求；所以 答案为 12分 【例 29】 有一座时钟现在显示 10 时整那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合；再经过多少分钟,分针与时针其次次重合 . 【解析】在 lO 点时,时针所在位置为刻度10,分针所在位置为刻度12；当两针重合时,分针必需追上50 个名师归纳总结 - - - - - - -小刻度,设分针速度为“l” ,有时针速度为“1” ,于是需要时间：5011546121211所以,再过546