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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载小升初数学工程问题 1 第七讲 工程问题在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等, 都要涉及到工作量、 工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是工作量 =工作效率 时间 . 在学校数学中, 探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“ 工程问题” .举一个简洁例子 . 一件工作,甲做 10天可完成,乙做 15天可完成 . 问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1个整体,因此可以把工作量算作 1. 所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“ 天”,1天就是一个单位所需
2、时间 =工作量 工作效率 =6（天）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载两人合作需要 6天. 这是工程问题中最基本的问题, 这一讲介绍的很多例子都是从这一问题进展产生的 . 为了运算整数化（尽可能用整数进行运算）,如第三讲例 3和例8所用方法, 把工作量多设份额 . 仍是上题,10与15的最小公倍数是 30. 设全部工作量为 30份. 那么甲每天完成 3份,乙每天完成 2份. 两人合作 所需天数是30 （ 3+ 2 ）= 6 （天）因此,在下面例题的叙述中,不完全采纳通常教科书中“ 把工作 量设为整体
3、 1” 的做法,而偏重于“ 整数化” 或“ 从比例角度动身”,或许会使我们的解题思路更敏捷一些 . 7.1 两个人的问题体. 标题上说的“ 两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载例1 一件工作,甲做 9天可以完成,乙做 6天可以完成 . 现在甲先做了 3天,余下的工作由乙连续完成 作？. 乙需要做几天可以完成全部工答：乙需要做 4天可完成全部工作 . 解二：9与6的最小公倍数是 18. 设全部工作量是 18份. 甲每天完成2份,乙每天完成 3份. 乙完成余下工
4、作所需时间是（18- 2 3 ） 3= 4 （天） . 解三：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了 3天,相当于乙做了 2天. 乙完成余下工作所需时间是 6-2=4（天） . 例2 一件工作,甲、乙两人合作 30天可以完成,共同做了 6天后,甲离开了,由乙连续做了 成各需要多少天？40天才完成 . 假如这件工作由甲或乙单独完名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载解：共做了 6天后,原先,甲做 24 天,乙做 24 天,现在,甲做 0天,乙做 40=（24+16）天. 这说明原先甲 24天做的工
5、作,可由乙做 作效率16天来代替 . 因此甲的工答：甲或乙独做所需时间分别是 75天和50天. 例3 某工程先由甲独做 63天,再由乙单独做 28天即可完成； 假如由甲、乙两人合作,需48天完成 . 现在甲先单独做 42天,然后再由乙来单独完成,那么乙仍需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天,乙做 28天；甲做48天,乙做 48天. 就知道甲少做 63-48=15（天）,乙要多做 48-28=20（天）,由此得名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载出甲的甲先单独做 42天,比 63天少做了 63-42
6、=21（天）,相当于乙要做因此,乙仍要做28+28= 56 （天） . 答：乙仍需要做 56 天. 例4 一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做 30天完成 . 现在两队合作,其间甲队休息了 2天,乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息） . 问开头到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做 8天,乙队单独做 2天,共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是2+8+ 1= 11 （天） . 答：从开头到完工共用了 11天. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载解二：设全部工作量为30份.
7、 甲每天完成 3份,乙每天完成 1份.在甲队单独做 8天,乙队单独做 2天之后,仍需两队合作（30- 3 8 - 1 2 ） （ 3+1）= 1 （天） . 解三：甲队做 1天相当于乙队做 3天. 在甲队单独做 8 天后,仍余下（甲队） 10-8= 2 （天）工作量 .相当于乙队要做 2 3=6（天） . 乙队单独做 2天后,仍余下（乙队） 6-2=4（天）工作量 . 4=3+1,其中3天可由甲队 1天完成,因此两队只需再合作 1天. 例5 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做 30天完成 . 现在他们两队一起做, 其间甲队休息了 3天,乙队休息了如干天 . 从开头 到完成共用了 16天
8、. 问乙队休息了多少天？解一：假如 16天两队都不休息,可以完成的工作量是由于两队休息期间未做的工作量是名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了 5天半. 解二：设全部工作量为 60份. 甲每天完成 3份,乙每天完成 2份. 两队休息期间未做的工作量是（3+2） 16- 60= 20 （份） . 因此乙休息天数是（20- 3 3 ） 2= 5.5 （天） . 解三：甲队做 2天,相当于乙队做 3天. 甲队休息 3天,相当于乙队休息 4.5 天. 假如
9、甲队 16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载天工作量,乙休息天数是16-6-4.5=5.5 （天） . 例6 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要 15天；李单独完成甲工作要 8 天,单独完成乙工作要 20天. 如果每项工作都可以由两人合作, 那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高. 因此让李先做甲,张先做乙 . 设乙的工作量为 60份（15与20的最小公倍数）,张每天完成
10、4份,李每天完成 3份. 8天,李就能完成甲工作. 此时张仍余下乙工作（60- 4 8）份 .由张、李合作需要（60-4 8） （ 4+3）=4（天） . 8+4=12（天） . 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精选资料 欢迎下载答：这两项工作都完成最少需要 12天. 例7 一项工程,甲独做需 10天,乙独做需 15天,假如两人合作,他要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为 30份,甲每天完成 3份,乙每天完成 2份. 两人合作,共完成3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份） . 由于两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲 .由于要在 8天内完成,所以两人合作的天数是（30-3 8） （ 4.2-3 ）=5（天） . 很明显,最终转化成“ 鸡兔同笼” 型问题 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页