2012年考研数学二试题及其答案解析.doc

+- 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 曲线渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 （ii）渐近线分为水平渐近线（，为常数）、垂直渐近线（）和斜渐近线（，为常数）。 （iii）注意：如果 （1）不存在； （2），但不存在，可断定不存在斜渐近线。 在本题中，函数的间断点只有. 由于，故是垂直渐近线. （而，故不是渐近线）. 又，故是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数,其中为正整数,则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解一】本题涉及到的主要知识点： . 在本题中，按定义 .故选A. 【详解二】本题涉及到的主要知识点： . 在本题中，用乘积求导公式.含因子项在为0，故只留下一项.于是 故选（A）. (3) 设，，则数列有界是数列收敛的( ) （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】B 【考点】数列极限 【难易度】★★★ 【详解】因，所以单调上升. 若数列有界，则存在，于是 反之，若数列收敛，则数列不一定有界.例如，取，则是无界的. 因此，数列有界是数列收敛的充分非必要条件.故选（B）. (4)设则有 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设，则. 在本题中， ，， ， ， 因此.故选D. （5）设函数可微，且对任意的都有，，则使不等式成立的一个充分条件是( ) （A）， （B）， （C）， （D）， 【答案】D 【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 函数单调性的判定法 设函数在上连续，在内可导. ①如果在内，那么函数在上单调增加； ②如果在内，那么函数在上单调减少. 在本题中，因，当固定时对单调上升，故当时 又因，当固定时对单调下降，故当时 因此，当，时 故选D. （6）设区域由曲线，，围成，则( ) （A） （B）2 （C）-2 （D） 【答案】D 【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 在本题中， 其中，均为奇函数，所以 ， 故选（D） (7)设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 个维向量相关 在本题中，显然 ， 所以必线性相关.故选C. (8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=（），，则 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵. 在本题中，由于经列变换为，有 ， 那么 故选B. 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设是由方程所确定的隐函数，则 . 【答案】1 【考点】隐函数的微分 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有： 1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。 2. 利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。 对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。 在本题中，令，得.等式两边同时对求导，得 （*） 令，得 ， 于是.再将（*）是对求导得 令，，得 于是 （10） . 【答案】 【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）. 特别是对于项和数列的极限，应该注意到： 在本题中，由积分定义， （11）设，其中函数可微，则 【答案】0 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 二元函数（是一元函数与二元函数的复合函数），在变量替换下，得到对，的偏导数为，. 在本题中，根据题中条件可知，，，所以 （12）微分方程满足条件的解为 【答案】（或） 【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 方程叫做一阶线性微分方程，其通解为. 在本题中，方程可整理为，将看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为.又，得，故（或）为所求解. （13）曲线上曲率为的点的坐标为 . 【答案】（-1，0） 【考点】曲率 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 曲率公式. 在本题中，，代入曲率公式，得，解得或.又，故.故坐标为. （14）设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵，则_________ 【答案】-27. 【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵. 在本题中，设 则，从而. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）已知函数 记 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，与是同阶无穷小，求常数的值. 【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 当时，，. （Ⅰ） （Ⅱ） 方法一：利用泰勒公式 解得. 方法二：利用等价无穷小量代换 当时，，所以. （16）求函数的极值. 【考点】函数的极值 【难易度】★★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 二元函数取得极值的充分条件：设在点的某邻域有连续的二阶偏导数，又，，令，，，则 （1）当时，在取极值，且当时取极小值，时取极大值； （2）当时，不是的极值点； （3）当时，仅此不足以判断是否是的极值点，还需另作讨论. 在本题中，先求函数的驻点. 令 解得驻点为， 又 根据判断极值的第二充分条件， 代入（1，0），得，，，从而，，所以在（1，0）取得极大值，极大值为； 代入（-1，0），得，，，从而，，所以在（-1，0）取得极小值，极小值为. （17）过点（0，1）作曲线的切线，切点为，又与轴交于点，区域由与直线及轴围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 【考点】导数的几何意义、定积分的应用 【难易度】★★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）函数在点处的导数是曲线在点处的切线的斜率. 函数； （ii）函数，在连续，则由曲线，及直线，所围区域的面积； （iii）曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积. 在本题中，设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，代入（0，1）点，解得，从而切点坐标为，切线方程为，点坐标为，所以区域的面积 . 绕轴旋转一周所得旋转体的体积 （18）计算二重积分，其中区域由曲线与极轴围成. 【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法 【难易度】★★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 在本题中，作极坐标变换，，则的极坐标表示是 ，， 于是 （19）已知函数满足方程及 （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）求曲线的拐点. 【考点】二阶常系数齐次线性微分方程；函数图形的拐点 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程有两个不同的实根，微分方程的通解形式为. （ii）拐点的充分判别定理：设在内二阶可导，，则，若在两侧附近异号，则点为曲线的拐点. （Ⅰ）因满足 ① ② 由②得，代入①得 ， 两边乘得 积分得 ，即 代入②式得，于是 代入①式自然成立.因此求得 （Ⅱ）曲线方程为 为求拐点，先求出. ， ， 由于 因此是曲线的唯一拐点. （20）证明： 【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： 函数单调性的判定法 设函数在上连续，在内可导. ①如果在内，那么函数在上单调增加； ②如果在内，那么函数在上单调减少. 证明：令， 则转化为证明（） 因，即为偶函数，故只需考察的情形. 用单调性方法. ， ， ， 其中，， 因时，又在连续在，（），同理在，在， .又因为偶函数，.即原不等式成立. （21） （Ⅰ）证明：方程（为大于1的整数）在区间内有且仅有一个实根； （Ⅱ）记（Ⅰ）中的实根为，证明存在，并求此极限. 【考点】闭区间上连续函数的性质 【难易度】★★★★ 【证明】本题涉及到的主要知识点： 零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使. （Ⅰ）转化为证明在有唯一零点. 由于在连续，又 ， ， 由连续函数的零点存在性定理可知在至少存在一个零点.又 ， 所以在，在的零点唯一，即在内只有一个根. （Ⅱ）记，它的唯一零点记为.现证.由于 ， 显然，在有唯一零点，此零点必然是，且 因此单调下降且有界，故必存在极限 因，即， 令 即. （22）设 （I）计算行列式； （II）当实数取何值时，方程组有无穷多解，并求其通解. 【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即， 或. （ii）设是矩阵，方程组，则方程组有无穷多解 （I）按第一列展开，即得 （Ⅱ）因为时，方程组有可能有无穷多解.由（I）知或 当时， ， 由于，，故方程组无解.因此，当时不合题意，应舍去. 当时， ， 由于，故方程组有无穷多解.选为自由变量，得方程组通解为： （为任意常数）. （23）已知，二次型的秩为2 （I）求实数的值； （II）求正交变换将化为标准形. 【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交. （ii）任给二次型，总有正交变换，使化为标准形 ，其中是的矩阵的特征值. （I）二次型的秩为2，即 因为，故.对作初等变换有 ， 所以. （II）当时，.由 ， 可知矩阵的特征值为0，2，6. 对，由得基础解系， 对，由得基础解系， 对，由得基础解系. 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化. ，，. 那么令，就有.