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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高 等 数 学 公 式平方关系：sin2 +cos2 =1 tan2 +1=sec2 cot2 +1=csc2 积的关系：sin =tan *cos cos =cot *sin tan =sin *sec cot =cos *csc sec =tan *csc csc =sec *cot 倒数关系：tan cot =1 sin csc =1 cos sec =1 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 , 两角和与差的三角函数：cos + =co
2、s -sin cos sin cos - =cos cos +sin sin sin =sin cos cos sin tan + =tan +tan /1 tan tan- =tan-tan /1+tan tan 三角和的三角函数：sin + + =sin cos cos +cos sin cos +cos sin cos sin sin cos + + =cos cos -cos cos sin -sin cos -sin sin cos tan + + =tan +tan +tan tan tan /1 tan -tan tan -tan tan 帮助角公式：Asin +Bcos =A2
3、+B21/2sin +t ,其中sint=B/A2+B21/2 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载cost=A/A2+B21/2 tant=B/A Asin +Bcos =A2+B21/2cos-t,tant=A/B 倍角公式：sin2 =2sin cos =2/tan +cot cos2 =cos2-sin2 =2cos2-1=1-2sin2 tan2 =2tan-tan2 三倍角公式sin3 =3sin-4sin3 cos3 =4cos3-3cos 半角公式：sin /2= 1-cos /2
4、=sin /1+cos-cos /sin =1 cos /2= 1+cos /2 tan /2= 1-cos /1+cos降幂公式sin2 =1-cos2 /2=versin2 /2 /2 cos2 =1+cos2 /2=covers2tan2 =1-cos2 /1+cos2 万能公式：sin =2tan /2/1+tan2 /2 cos =1-tan2 /2/1+tan2 /2 tan =2tan /2/1-tan2 /2 积化和差公式：sin cos =1/2sin + +sincos sin =1/2sin-sin + cos cos =1/2cos + +cossin sin =-1/
5、2cos-cos - 和差化积公式：名师归纳总结 sin +sin =2sin + /2cos第 2 页,共 18 页sin -sin =2cos + /2sin- /2 cos +cos =2cos + /2cos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cos -cos =-2sin + /2sin- /2 学习必备欢迎下载推导公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2 =2cos2 1-cos2 =2sin2 1+sin =sin /2+cos /22 三角函数的角度换算公式一：设 为任意角,终边相同的角的同一三
6、角函数的值相等：sin（ 2k ）sin cos（ 2k ）cos tan（ 2k ）tan cot（ 2k ）cot 公式二：设 为任意角,+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（ ）sin cos（ ）cos tan（ ）tan cot（ ）cot 公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin（ ）sin cos（ ）cos tan（ ）tan cot（ ）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin（ ）sin cos（ ）cos tan（ ）tan cot（ ）cot 公式五：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
7、,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系：sin（ 2 ）sin cos（ 2 ）cos tan（ 2 ）tan cot（ 2 ）cot 公式六： /2 及 3 /2 与 的三角函数值之间的关系：sin（ /2 ）cos cos（ /2 ）sin tan（ /2 ）cot cot（ /2 ）tan sin（ /2 ）cos cos（ /2 ）sin tan（ /2 ）cot cot（ /2 ）tan sin（ 3 /2 ）cos cos（ 3 /2 ）sin tan（ 3 /2 ）cot co
8、t（ 3 /2 ）tan sin（ 3 /2 ）cos cos（ 3 /2 ）sin tan（ 3 /2 ）cot cot（ 3 /2 ）tan 以上 kZ 高 等 数 学 公 式名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - tgx 2 secx学习必备x欢迎下载1x22arcsin1 ctgx csc 2xarccosx1x1sec x sec xtgxcsc x cscxctgxarctgx1 axaxlna21xlogaxx1aarcctgx112lnx导数公式：tgxdxlncosxCxdxdxx2 secxdxtgx
9、CC2 cosctgxdxlnsinxCdxxcsc 2xdxctgxsec xdxlnsec xtgxCsin2secxtgx dxsecxCcscxdxlncscxctgxCcscxctgxdxcscxCdx1arctgxC2 ax2aax a dxx aCCdx1lnxaClna2 xa22 axashxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxC2 ax22 aaxxdx2 alnxx2a2dx2arcsinxC22 axaIn2sinnxdx2n cosnn1In200x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa2x2
10、a2arcsinxC22a基本积分表：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三角函数的有理式积分：sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2du2u2u1u21一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦:shxx eexexlim x 0sinx1e2 . 7182818284 59045 .2x双曲余弦:chxx eexlim x 11x2x双曲正切:thxshxexchxexexarshxlnxx21）archxlnxx21 arthx1ln1x21x三角函数公式： 诱导公式：名师归纳总结 和差
11、角公式：sincos函数sin cos tg ctg cos2第 6 页,共 18 页角 A -sin cos -tg -ctg 90 -cos sin ctg tg 90 + cos -sin -ctg -tg 180 -sin -cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tg ctg 270 -cos -sin ctg tg 270 +-cos sin -ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sin cos tg ctg 和差化积公式：sincossinsinsin2sin2coscoscossinsintgtgtg1sinsin2cos2si
12、n21tgtgcoscoscos2cos22ctgctgctgctgctgsincoscos2sin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 弧微分公式：ds1y2dx,其中y学习必备欢迎下载 倍角公式：tgsin 2 2 sin平均曲率：K 2cos 2 2 coscos .s 11:从 M 点到 22 sinM cos 点,切线斜率的倾角变 2 sin 2 sin 3化量；3 sins：M M 弧长；4 sin 半角公式：M 点的曲率：ctg 2 ctg2 ctg K 21 lim s0.sd1yy23.cos 343 cos33costg33 tgt
13、gds直线：K12 tg ;0tg2113 tg2半径为a 的圆：Kasin21coscos21cos22tg21cos1cos1sinctg21cos1cos1sin1cossincos1cossincos 正弦定理：aAbBcC2R 余弦定理：c2a2b22abcosCsinsinsin 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：uvnnCkunkvknk0unvnun1 vnn1un2vnn1 nk1 unkvkuvn2 .k .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fbfafba柯西中值定理：fb fafFb
14、FaF当F xx 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；曲率：定积分的近似运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - bfx bnay 0y 1yn1学习必备欢迎下载矩形法：abx x bna1y0yny 1y 2y n1y n24 y 1y 3y n1梯形法：f2abfbay 0yn2 y 4抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p A引力：F k m 1 m2 2 , k 为引力系数rb函数的平均值：y 1f x dxb a ab均方根：1f 2 t dtb a a空间解析几何和向量代数：
15、名师归纳总结 空间2 点的距离：dM 1M 2x2x12y2y12z2z12.为锐角时,第 8 页,共 18 页向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u 轴的夹角；rPrjua1a2Prja1Prja2azb z,是一个数量,ababcosa xbxaybyaxbxaybyazb z两向量之间的夹角：cosax2ay2az2bx2by2b z2ijkabsin. 例：线速度：vwcabaxayaz,ccaxayaz,bxb ybz向量的混合积：abcabbxbybzabccos代表平行六面体的体积；cxcycz- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
16、 - 学习必备 欢迎下载平面的方程：1、点法式：Axx0B yy0C zz00,其中nA ,B ,C ,M 0 x0,y0,z0x0mt2、一般方程：AxByCzD03、截距世方程：xyz1abcdAx 0By0Cz 0Dm ,n,p ;参数方程：x平面外任意一点到该平面的距离：A 2B2C2z空间直线的方程：xx0yny0z0t,其中syyntmp0zz0pt二次曲面：1、椭球面：x a22y22z2p,12b2c22、抛物面：x 22y2z（q 同号）p2 q3、双曲面：xyz21单叶双曲面：a2b2c2双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）a2b2c2多元函数微分法及应用全微分：dzzdxz
17、dyduudxyu ydyyudzxyxz全微分的近似运算：zdzfxx ,y xfx,y多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfux ,y,v x ,y zzuzxuxvx当uu x ,y ,vv x ,y 时,vdxvdyduudxudydvxyxy隐函数的求导公式：名师归纳总结 隐函数Fx ,y0,dydxFx y2,ddxyxF xyF xdy第 9 页,共 18 页F2FyFydx隐函数Fx ,y ,z 0,zxF x,zyFyF zF z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 隐函数方程组：Fx,y ,u ,v 0J
18、学习必备, G欢迎下载FF uF vFFu Gv GGx ,y,u ,v 0G uGv u,vuvu1F,Gv1F,GxJx ,vxJu ,x u1F,Gv1F,GyJy,v yJu ,y 微分法在几何上的应用：空间曲线xt在点Mx0,y0,z 0 处的切线方程：xtx 0yy0zz0y,y0,z 0zz 00yt0t0t0zt在点M处的法平面方程：t0xx0t0yy0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z0,就切向量TFyFz,FzF x,FxFGx ,y,z0GyGzGzGxGxGyFzx0曲面Fx ,y,z0上一点Mx 0,y0,z0,就：1、过此点的法向量：nFxx0,y0,z
19、 0,Fyx0,y0,z 0,Fzx0,y 0,z02、过此点的切平面方程：Fxx 0,y0,z0xx0Fyx 0,y0,z0yy03、过此点的法线方程：Fxx,x0,z 0Fyy,y0z0Fzz,z0z 0x 0y0x0y 0,x0y0,方向导数与梯度：函数zfx ,y 在一点p x ,y 沿任一方向l的方向导数为：fjf xcosjf ysinl其中为x 轴到方向l的转角；函数zfx ,y 在一点p x ,y 的梯度：grad fx,y fifxysin,为l方向上的它与方向导数的关系是：flgradfx ,ye,其中ecosi单位向量；名师归纳总结 f是grad fx,y 在l上的投影；
20、A,fxyx0,y0B,fyyx0,y0C第 10 页,共 18 页l多元函数的极值及其求法：设fxx 0,y0fyx0,y00,令：fxxx0,y 0ACB20 时,A0,x 0,y 0 为极大值A0,x 0,y 0 为微小值就：ACB20 时,无极值ACB20 时,不确定- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载重积分及其应用：fx ,ydxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyMyDyx,ydx2x ,ydDD曲面zfx ,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx,yd,yMx ,y dMx ,ydDx ,ydD平面薄
21、片的转动惯量：对于x轴Ixy2,对于y轴IyD0,0a ,a0 的引力：FD,Fy,Fz,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MFxFxfx,yxd3,Fyfx ,yyd3,FzfaDx2x,y xd3y2aDx2y2a22Dx222y2a22柱面坐标和球面坐标：xrcoszdFr,z rdrddz ,sindrdvdv柱面坐标：yrsin,fx ,y,zdxdydzzzddrr2sindrdd其中：Fr,zfrcos,rsin,z xrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2r,fx,y,zdxdydzFr,r2sindrdddFr,r2重心：x1xd
22、v,y1ydv,0100Mxzdv,其中MMM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx2z2dv,Izx2y2曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：dtt,t,就：yxtt第 11 页,共 18 页设fx,y在L上连续,L的参数方程为：xytfx,ydsft,t2t2t特别情形：L- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐学习必备欢迎下载标的曲线积分）：设L的参数方程为yx t ,就： t t tQ t,ttdtyP x ,y dxQ x , dyP t,L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos d
23、s,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 ,0 0 ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x
24、 y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：对面积的曲面积分：fx ,y ,z dsfx ,y,z x ,y12 z xx ,y 2 z yx ,y dxdydsDxy对坐标的曲面积分：Px ,y ,z dydzQx ,y,z dzdxR x ,y ,z dxdy,其中：R x ,y ,z dxdyR x ,y,z x ,y dxdy,取曲面的上侧时取正号；DxyP x ,y ,z dydzP xy ,z ,y,z dydz,取曲面的前侧时取正号；DyzQ x ,y ,z dzdxQ x ,y z ,
25、x,z dzdx,取曲面的右侧时取正号；Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcos高斯公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - PQRdvPdydz学习必备欢迎下载PcosQcosRcosdsQdzdxRdxdyxyz高斯公式的物理意义通量与散度：的流体质量,如div0,就为消逝.散度：divPQR, 即：单位体积内所产生xyz通量：AndsA nds PcosQcosRcosds,因此,高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：RQdydzPRdzdxQ xPdxdyPdxQdyPRdzyzzxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：x Py Qz Rx Py Qz R空间曲线积分与路径无关的条件：RQ z