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1、16008619 镜像法的原理及应用16008619 嵇鹏飞内容摘要：镜像法的原理，公式的推导，镜像法的分类，以及镜像法在解题和工程技术上的应用。关键字：镜像法；应用镜像法的应用并不广泛，但作为一种思维方法，它能够将一些很复杂的问题用间接的方法很容易地解决，给解题或工程上的应用带来一些方便。我个人因为一道习题的缘故了解到了这种思维方法，因感兴趣便收集了一些镜像法的资料，合并成文。一原理镜像原理是用镜像源等效边界的影响，从而消除边界，使原先非均匀的有限区域变为无限大的均匀自由空间， 因而使问题的求解大为简化。 这其实只是一种等效替换法。从图 1 中我们可以直观地了解这种方法。图表1 图 1 中的
2、平面电镜像原理指出，位于无穷大的、理想导体平板上方空间的任何电荷配置，在电气上都等于原来的点和配置和它的镜像配置在拿走导电平板后二者的组合。镜像法不仅适用于点电荷，也适用于任何形式的分布电荷。不仅适用于平面，也适用于柱面和球面，不仅适用于电场，也适用于磁场。这个原理看起来很简单，其实推导起来还需要其他定理及其结论，且在我们现学的内容之外，推导比较麻烦，故略去。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 16008619 二应
3、用1 平面镜像法的应用。例 1 求空气中离地面高度为H 的点电荷 Q 在地面上产生的感应电荷分布及点电荷所受的电场力。解：本题是一道最基本的平面镜面法应用题，有助于加深对镜面法的理解。大地是导体，需先求地表面电场强度。又大地表面电势为零，故可利用镜像法，地面任一点P 的电场分别是 +Q 和Q 的叠加。由库仑定律及电场叠加原理，得qqEEE即2322020)(2cos42XHQHrQE其中， E 的方向垂直于地面向下，则P 点的感应电荷密度为23220)(2XHQHEDn，由此可计算出地面上感应电荷的总量为QXHQHxdxXHQHxdx02202322|12)(22即感应电荷与 Q 等量异号。由
4、于镜像电荷 -Q 等效替代地表面感应电荷的作用，因而Q 受电场力即为.16)2(4202202HQHQQEF方向竖直向下。本题以电势为零的地面为镜面，对称地用一个等量异号点电荷来等效地表感应电荷，使计算极为方便。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 16008619 2.球面镜像法的应用例 2.如下图，半径为 R 电荷量为 Q 的导体球外有点电荷q，距球心距离为 d，求以远为参考球面的电势以及 A 点的电荷密度。解：与
5、平面镜面法思想类似，寻找等效点电荷。一般来说，可在距离球心dRb2处放置qdRq.又总的电荷量为 Q，且球面为等势面，故必须在球心处放置另一点电荷qdRQq 。根据叠加性原则， q 和 q 的共同作用使球面电势为零，故RqdRQRq0044 同理， A 点的电荷密度为22202202000)()(41)(4)(44 RdRqRdRdRqQdRdqbRqRqEnA本题的关键在于等效电荷的选取，只有选取得当，才能使问题变得简单。关于球面镜面法的更多内容，可参照 Fawwaz T.Ulaby 的 一书。除了电场的平面和球面镜像法外，还有柱面镜像法，也称电轴法，原理与以上两种相同 ，故不作过多介绍。名
6、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 16008619 从上面两个例题的求解过程来看，我们可以得到如下如下使用镜像原理的方法 ：思路： （1）用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。（2）保持求解区域中场方程和边界条件不变。使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。步骤： （1）确定镜像电荷的大小和位置。（2）去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。（3）求解边界上的感应电荷。（4）求解电场力。
7、用以上方法解决下面一题。例 3.如图所示，一个无限长的导电圆柱体，半径为a，与一个接地导电平面平行放置，二者距离为 d。求圆柱体每单位长度的电容。解：设导电圆柱体电荷线密度为。因为导电平面电势为零，故可用一电荷线密度为导电圆柱体等效替代。如下图。设两导电圆柱体圆心为O，O 。则在 OO连线上，距 O 点距离为 x 处 P 点上的电场强度大小为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 16008619 )(210 xdxEE
8、 的方向竖直向下。则两导线之间的电势差为aaddxxdxEdxdlEUadaadal2ln)211(20202于是单位长度的导电圆柱体电容为aadUC2ln0本题是平面镜面法在无限长导线上的应用，关键在于等效导线的选取。然后按照上面的步骤，最终使问题很好地解决。3.镜像法在工程技术中的应用。前面提到过，镜像法不仅适用于电场，也适用于磁场。工程中架空直流输出电线通过铁矿区的磁场问题，就可以用镜像法描述。如下图。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - -
9、- - - - - - - 16008619 图（1）中所示载流 I 的长导线，距地面高度为h，两种各向同性均匀分布的磁介质，铁矿区地层的02，其界面为无限大地表面。空气中的磁场1H，由线电流 I 和分界面上的磁化电流共同产生的。镜像法使用等效电流替代磁化电流当欲求空气中磁场1H时，可以假设整个空间都被空气1充满，且在与原电流I 关于分界面对称的位置虚设电流 I 替代磁化电流，如图（ 2） 。空气中磁场1H由 I 和 I 共同产生。同理，由图（ 3） ，可求土壤磁场2H。由图应有)2.(cos2cos2cos2) 1(.sin2sin2sin2211arIarIarIarIarIarI即) (
10、21IIIIII解方程组得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 16008619 IIII21112122由上式可知， I，I总与 I 同号。由以上推导，可以得出在磁场中使用镜像法的等效导线一般取法。工程中在具有铁磁介质边界时，可以用此法很方便地解决线电流和载流回路等情况下的问题。这就和前面电场部分十分类似了，此处不作累述。结束语：正如文章开头所说，镜像法的应用并不广泛，但作为一种思维方法，它能够将一些很复杂的问题用间
11、接的方法很容易地解决，给解题或工程上的应用带来一些方便。 从以上的解题过程中，我们也能深刻地体会到此法的妙处。解题不是目的，锻炼思维方法才是目的，我个人因为一道习题的缘故了解到了这种思维方法，因感兴趣便收集了一些镜像法的资料，兴趣所致而已，这也是本文写作的目的，希望对自己略有所助。参考书目： 1.马文蔚主编：物理学（第五版）北京：高等教育出版社，2006. 2.杨儒贵： 电磁定理和原理及其应用西南交通大学出版社， 2001 3.孙敏 孙亲锡 叶奇政： 工程电磁场基础科学出版社， 2001 4.Fawwaz T.Ulaby著 尹华杰 译： 应用电磁学基础（第四版）人民邮电出版社， 2007 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -