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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中学数学“ 几何推理论证” 的教学争论与案例评析李延林 首都师范高校基础训练进展争论院 副教授 一、对几何推理论证的深层次懂得（一）不行偏颇合情推理或演绎推理自课程改革以来, 老师对合情推理和演绎推理各自的意义及重要性熟识逐步清晰,特殊是对以归纳和类比为主要方法的合情推理在教学中赐予了足够的重视；波利亚在他的 数学与猜想 一书中讲到： “ 数学有两个侧面 用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学,但在制造过程中的数学却是试验性的归纳科学” ,与之相匹配的推理方式分别是演绎推理和归纳推理；课程标准对同学推理才能的培育提出了
2、明确的要求,理才能” ；即“ 进展合情推理和演绎推合情推理包括归纳推理、 类比推理等或然推理； 归纳推理是从特殊到一般的推理,类比推理是从特殊到特殊的推理, 可以说合情推理是从范畴较小的命题得到范畴 较大的命题；而演绎推理就是从范畴较大的命题得到范畴较小的命题；在数学学习中, 演绎推理的位置已不容置疑, 进展演绎推理的才能也受到广大师生的重视； 新课程特殊强调了合情推理才能的培育,这与长期以来人们对此的忽视有关,也与我们对同学才能要求的变化有关；现在更强调培育同学的创新精神和实践才能, 让同学经受探究、 发觉结论的过程； 合情推理尽管不能保证其推出的结论肯定正确,但是,每一次合情推理过程的背后
3、都闪耀着推理者制造的火花；（二）几何直观与规律推理有人可能认为, 几何直观是依据见到的图形直接看出结论,不是规律推理； 这是偏见！有一篇文章,讲直观试验和规律推理的关系,分析了牛顿发觉万有引力的故事；文章说：“ 直观试验的确可以启示人们发觉新事物,但是创新不能仅仅停留在这个层次上,而需要在此基础上进行科学的摸索、探究、论证,这就需要规律思维,否就无法实现真正的创新； 相传牛顿见到苹果从树上掉在地上,才受到启示发觉了万有引力定律； 假如把苹果落地看作直观试验, 这个故事给人的印象似乎是直观试验对创新起了主要作用； 但是仔细考虑它, 你会发觉故事背后隐含了规律思维对创新所起的关键作用； 实际上物体
4、下落是很多人司空见惯的现象,由它引发重大发觉的关键, 在于牛顿在观看现象之后进行了合乎规律的摸索：为什么物体会垂直下落？由于有向下的力作用于它；地球上各处的物体为什么都有这种性质？名师归纳总结 由于它们都受到指向地球中心的力；这些力是谁给的？是地球 , 一系列因果第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载关系的摸索, 导致进一步的试验检验, 又引发更深层的摸索, 最终产生了新的科 学成果；” 现在我们来看几何直观和规律推理；什么是几何直观？它是依靠、 利用图形进行数学的摸索和想象,它在本质上是一种通过图形所绽开的想象才
5、能；几何直观与规律、 推理是不行分的, 几何直观往往靠规律支撑, 它不仅是看到了什么, 而是通过看到的图形摸索到了什么,想象到了什么； 几何直观是个过程, 是在把现在看到的与过去学到的结合起来,通过摸索、想象,猜想出一些可能的结论和论证思路；这其实就是合情推理；当沿着图形供应的信息,经过一步步分析,逐步建立起元素间联系,并推出结论,这里就有了演绎推理,有了论证；20XX 年一本叫做直观几何的中文书显现在读者面前,这是一本译著,是俄国数学家沙雷金写的俄国中学几何教材；在上个世纪60 岁月以前,前苏联的几何是公理化体系,经过千锤百炼的几何教材,追求严格,论证明白无误,表达简 明扼要,中国也长期仿照
6、苏联风格办训练；到上个世纪中期,苏联开头反思,几何训练应当帮忙青少年“ 更好地明白世界、发觉新事物、 领悟四周世界的美和智慧；” 严谨的演绎推理是重要的, 而布满想象力的合情推理同样是特别重要,“ 丰富的想象力对数学家和诗人都是同样必要的；” 1967 年以后,苏联开头了数学训练改革,向量方法、几何变换成为教材的核心思想；几何直观就是训练改革的显现；张奠宙先生为这本译著校对,并写了译校记,他写道： “ 几何学习大致有四个步骤：直观感知操作确认思辨论证度量运算； 但是中国的几何教学, 把前两个步骤忽视了, 变成纯粹的思辨论证以及论证基础上的运算；缺乏直观, 实际上就是扼杀了几何； ” 几何课程的
7、训练价值,最主要的是两个方面,一是规律推理才能,二是几何直观才能；几何直观与规律推理在几何学习中的作用是相辅相成的,几何直观可以从图中感知性质,从图中析出关系； 在通过看到的图形摸索结论时,假如让看到的图形在头脑中动起来, 将看似没有关系的几何元素在有规律地移动后,建立起关系, 这就是几何变换的直观视角；运动图形是动态直观,依据规律运动是规律支撑；比如,求证：凸四边形的面积不大于它的对边乘积之和的一半；如图,结论可以表示成：SABCD AB . CD + AD . BC 先从结论上看,此式在形式上不熟识,但又似曾相识,名师归纳总结 原先,所熟识的式子形式是 SABC AB.BC ,所以,如第
8、2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载果结论是 S ABCD AB .BC + AD.CD 就明显成立了；这与要证的结论只是一字之差,即：对边改为邻边就明显成立了；这就是几何直观引出的摸索；进一步就是让图形动起来, 真的将邻边“ 挪到” 对边位置上,这就是作 ABC 关于 AC 的中垂线 l 的对称图形 CBA ,这时, AB = CB,BC = BA , SABC= SCBA ,于是有：SABCD = S ABCD C B . CD + AD . BA = AB . CD + AD . BC 结论得到证明；（三）证明
9、的基本方法及课程要求学习几何,一来是明白、熟识几何图形,把握图形的性质,服务于我们生活的空间世界；二来是学习争论图形的方法,感受几何学的特点, 获得推理论证等基本的科学素养； 正像杨乐院士所讲： 就几何而言, “ 似乎很难找到别的东西来代替 它对中同学进行严格的规律思维培育” ；同学结合几何图形,利用图形语言 学 习规律推理,在肯定程度上可以降低熟识和懂得规律推理的难度；在欧式几何中, 任何一个完整的证明都要依靠几何公理和已证明过的定理,同时 经过一系列正确的推理；在义务训练数学课程中, 几何的构成是演绎体系, 但为了学习便利, 并不是基于 严格的欧式几何公理体系,而是事先承认 9 个基本领实
10、；即（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么两直线平行；（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；（8）三边分别相等的两个三角形全等；（9）两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载说这 9 个基本领实与严格的欧式几何公理体系不同,是由于虽然具备了公理体系 所要
11、求的和谐性特点, 但不具备公理体系所要求的独立性、完备性特点； 课程的 这种处理方式即让学习者体会到了演绎几何,也为学习者供应了便利；综合课程标准关于证明的基本方法及课程要求的表述,主要有以下几点：（1）“ 知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎规律” ；“ 知道证明 的过程可以有不同的表达形式,会综合法证明的格式” ；综合法是从已知条件动身,依据公理、定义、定理进行规律推理,最终达到待证 结论的证明方法；这样的规律推理是演绎推理, 三段论是最常见的演绎推理形式；三段论的名字从何而来？恰是其结构使然；三段论证明过程是由大前提, 小前提和结论三部分组成；三段论反映了人类思维最基本的形式,是
12、人类最基本的思维方式的提炼和总结,最基本的也就是最有用的；在运用三段论推理时, 常常采纳省略大前提的表达方式；例如,在最初学习几何论证时,证明 ABC 与 XYZ 全等,表达起来是“ 由于 AB = XY ,BC = YZ ,CA = ZX ,所以 ABC XYZ （边,边,边）” 按说三段论形式里有两个“ 因为”和一个“ 所以” ,这里只有一个“ 由于” , 省略的那个“ 由于” 是大前提,不过没有完全去掉,而是缩写在括号里了； 随着学习的深化,人们对特别熟识的、作为大前提的命题,在书写中往往会完全省略；另外,在较复杂的论证中,常常采纳一连串的三段论, 把前一个三段论的结论作为下一个三段论的
13、前提,在书写时显现连续的“ 所以” ；例如,接着上面的例子,“ 由于 AB = XY ,BC = YZ ,CA = ZX ,所以 ABC XYZ （边,边,边）；所以 BCA = YZX （全等三角形对应角相等）；” 三段论不仅在几何推理中常见, 在其它数学分支也普遍存在； 例如在估量 多大时,由于 1 2=1 , 2 2 =4 ,所以 1 2 ；这是三段论的缩写,写完整了应当是：名师归纳总结 由于如正数 a 、b 满意 a2 b2,就 a b ；第 4 页,共 13 页又由于 1 、2 都是正数, 1 2 =1 , 2 =2 ,2 2 =4 ,且 1 2 4 ,所以 1 2 ；- - - -
14、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）“ 明白反例的作用,知道利用反例可以判定一个命题是错误的” ；命题有真有假, 假如能查找一个反例作为论据反对了命题或否定了命题,这样的方法称为反例反对；反例反对也是一种证明,是对命题不真的证明；反例反对是用特殊否定一般的一种思维形式；它在规律上的依据是： 假如一个数学命题成立, 就该命题应当对一切特例都成立,既然这个作为反例的特例与命题冲突,因此这个命题不成立；反例反对的理论依据是形式规律的冲突律；构造一个反例必需满意两个条件：一是反例满意构成命题的全部条件；二是反例与构成命题的结论冲突；利用反例进行的命题不
15、成立的证明是构造性的证明,在辨析错误中具有直观、 说服力强等突出特点,使人不容置疑,是特别犀利的证明方法；构造反例有时很难,在中学,不要求同学自己构造反例；（3）“ 通过实例体会反证法的含义” ,反证法是特别重要的证明方法,它是一 种间接证法,其思维方式与直接证法不同,它是后续的高中课程中的学习内容；在中学,不要求同学独立使用反证法证明命题；二、推理论证的教学建议（一）环绕命题教学的推理论证 命题教学有四个阶段： 探究命题证明命题应用命题拓展命题；当然,并不是全部的命题教学都要经受这四个阶段,有些命题是很难探究出来的, 这样的命题就不适合探究, 也不是学了定理就要拓展, 但是一般的命题都要经受
16、证明和应 用两个阶段；1在探究命题中培育推理才能欧式几何学是一个演绎体系, 体系中全部的学问都有着联系, 作为学习者不能满 足对已有命题的证明, 而应当尝试从已经学过的某些结论动身,通过推理得到一些“ 新” 的结论,特殊是通过合情推理得到一些猜想；怎样探究命题？第一需要有个起点,提出一些问题,能不能提问题是意识问题,能不能提出好的问题是才能问题；随着对问题的摸索, 结合已有的学问, 在丰富的联想下,结论会渐渐地出现,这是数学发觉的过程；例如,在学习了圆的概念以后, 去注视已经学过的直线形学问,哪些可以用圆的观点再熟识？能用圆的概念去说明？理一下,发觉“ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
17、与圆有关系； 假如换个角度分析该结论, 就得到隐在它后面的另 外涵义,即在图 1（1）中,直角三角形 ABC 的斜边中点 D 是三条等长线段 AD 、名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载BD 、CD 的公共端点, 就 A、B、C 在以 D 为圆心、以 AB 为直径 的圆上,ACB 是 以 AB 为直径的圆上的圆周角；留意到,图 1 （1）这个直角三角形是任意画出来的,而以 AB 为斜边的直角三角形有很多个,如图 1 （ 2 ）所示的 ABC、 ABC 1 、 ABC 2、 ABC3 等就是其中的四个
18、,也就是说,以 AB 为斜边的任意直角三角形的直角顶点都在以 AB 为直径的圆上；再有,“ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 的逆定理是成立的,所以,将结论“ 以 AB 为斜边的任意直角三角形的直角顶点都在以 AB 为直径的圆上” 倒过来说也是对的,简而言之,即“ 直径上的圆周角都是 90o” ；而直径上的圆周角所对的弧是半圆,所以有结论：半圆所对的圆周角相等！有了这个结论,便可以追问：只有半圆所对的圆周角相等吗？任凭一条弧所对的圆周角是否相等呢？针对新的问题, 再看看有没有熟识的特殊角例子,内接于圆的等边三角形就是熟悉的特殊例子,三个顶点将圆周三等分,如图 2 ,A =60o,再作 A
19、BC 的角平分线,它交圆上另一点 A , ABC =30o ,BA 是直径,于是 BCA =90o ,得到 A =60 o ；A 和 A 都是所对的圆周角,可见,所对的这两个圆周角相等,进而大胆猜想：60 o 弧所对的圆周角相等；至此可以进一步猜想：同弧所对的圆周角相等；这种思路是源于已有的学问积存,旧学问是新学问的摇篮； 将已有学问与新概念相结合,能够发觉新结论,新旧学问顺畅相连；整个思维过程有明确的起点,有 清晰的阶段,一环一环,环环相扣,整个过程都蕴涵着推理；这里的“ 换个角度分析” , 抓住“ 任意画出来的” 和可以“ 倒过来说” ,便从旧 学问中得到了新概念框架下的确定的新结论,这个
20、过程是演绎推理；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载这是一紧接着关于“ 只有 吗？” 的疑问,是试图将结论从特殊进展到一般,种猜想的意识,怎么行动呢？那就是再验证另一个特例,这是归纳推理；在此基础上便作出猜想,到此,新的问题冒出来了： “ 都相等” 意味着什么？它们都应当等于一个值,一个定值！这个值是谁？接下来的分析就顺理成章,探究这个定值要环绕“ 同弧”来摸索,我们明白一个特殊的角圆心角, 再从几个特殊度数的圆周角看, 90的圆周角对应180 的圆心角, 60 的圆周角对应120 的圆心角,于是猜想
21、：同弧上的圆周角是圆心角的一半！探究命题是个过程,这个过程要自然；第一,思维起点是问题,问题就要自然,“ 去注视已经学过的直线形学问, 哪些可以用圆的观点再熟识？能用圆的概念去 说明？” 这是一个开放的问题, 可以作为课下作业, 同学会想起学过的很多学问,有多种联系, 我们上面讲的只是其中之一,同学自己就探究出圆周角定理了；这对同学思维才能培育,特殊是推理才能的培育会产生重要影响；2在定理证明中学习思想与方法在几何学习中大家都重视定理, 特殊重视对定理的条件和结论的精确懂得；其实,定理的证明特别重要,很多定理的证明很典型,蕴涵着丰富、重要的思想方法；仍拿圆周角定理来说,它的证明就很值得揣摩；在
22、相当多的课堂上,圆周角定理的证明都是将圆周角与圆心的位置关系分成三类,先证圆心角的顶点在圆周角一条边上的情形, 证后,通过添加帮助线, 将其它两种情形都转化为第一种情形 来证；这个证明无可非议, 但这种方法是怎么想出来的？假如在证明定理之前教师先让同学对圆周角与圆心的位置关系进行分类,实在是让人摸不着头脑； 到证明定理的时候,老师 “ 引导”同学利用刚刚得到的圆周角与圆心的位置关系分类,同学似乎豁然开朗； 这种现象或许能说明为： 训练者铺垫台阶, 学习者 “ 拾级而上”,符合同学的认知水平,课堂教学顺当了；其实在这样的教学中,学生一步一趋, 哪里有真正的独立摸索？到头来,仍感束手无策！这种尴尬
23、实为教学之痛；同学在独立面对一个新的问题时同学证明定理的过程应当是独立思维解决问题的过程,课堂教学就是要引导同学 学会摸索,能让证明思路来得自然；对于圆周角定理的证明, 无需上述的事先铺垫； 从某个角度入手, 顺理成章的思 考一些问题即可解决；譬如,我们可以如下摸索：定理是关于圆周角和圆心角度量关系的命题,那么就要将这两个角放到自己 熟识的图形中去,这个图形是能够显示它们之间的度量关系的；如图 3（1）,在这个图中, 显现不出定理；在一段弧上任凭画一个圆周角,不过,既然一段弧上有无穷多个圆周角,那么是否存在一个特殊位置, 使圆周角与圆心角位于我们熟识的图中？于是,运动点 A ,当 AB 与 O
24、B 共线时,显现名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载；BOC 是了图 3 （2）,此时,能够从中读出圆周角与圆心角之间的度量关系, OCA 的外角, BOC =2 BAC ；定理在这种特殊情形下得证了 考虑一般情形,回到图 3 （1）,由于有了在特殊情形下证明定理的体会,一个最简洁的想法就是试图利用这个体会,再来注视这个特殊的图 3（2）, 它是特殊在了 A、O、B 共线上, 于是连接 AO ,并延长交 O 于 B 点,如图 3（3）,这时显现了两个图 3（2）中的三角形外角关系的图, 由此可证明在
25、图 3（3）下的定理；至此似乎证完了,细细注视一下,是不是没问题了？图 3 （1）和图 3 （2）,一个一般,一个特殊,区分它们的关键是圆心角顶点 O 与圆周角的位置关系,特殊的是在圆周角的边上,一般的是在圆周角的内部；突然会发觉,点 O 不是只有这两种位置,仍有点 O 在圆周角 BAC 外部的情形！赶忙看一看前面的证明是否适用 这种新发觉的情形？不行！不过,这时解决这个问题就简洁了,连接 AO ,并延长交 O 于 B 点,如图 3 （4）,又显现了两个图 3 （2）中的三角形外角 关系的图,由此可证明在 图 3 （4）下的定理；经过 的摸索,即可完整地证明圆周角定理；这个过程似乎有些啰嗦,也
26、是对点 O 的位置关系做了分类,但它与开头谈论过的那种上来就分类的教学不一样！ 这是一个朴实自然的思路；对于每一个同学,他在定理证明中应当获得的不仅是对定理正确性的认证,更重要的是培育好的思维习惯,学会解决问题；假如只会仿照,也就只会解决见过的同类型问题,仍是 不具备解决问题的思想方法和基本策略,没有解决新问题的才能；（二）因材施教,重视选学和引申内容在课程标准中,有选学内容,选学内容“ 不做考试要求” ,它表达了课程的基本理念“ 不同的人在数学上得到不同的进展” ,期望数学训练能最大限度地满足每一个同学的数学需求, 最大限度地开启每一个同学的聪明潜能,为每一个学生供应多样性的弹性进展空间,这
27、里也包括数学特长生；长期以来,我们在数学内容的挑选上,往往更关注详细的、客观的数学结论,而相对忽视形成这些结论的数学活动过程；更关注处于显形状的数学事实, 而相对名师归纳总结 忽视处于潜形状的数学思想及方法；更关注遵循数学学问的规律关系与结构,而第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载相对忽视如何有利于同学的懂得,为同学主动地从事观看、试验、推测、推理与沟通等数学活动供应相宜的学习素材；课程标准中明确确立了“ 增强发觉和提出问题的才能、分析和解决问题的才能” 的课程目标；在几何命题教学中,推理才能的提升仍表现在提出问
28、题的问题意识上和在解决问题的命题引申上；比如当学习了圆周角定理之后,其实便有问题自然产生：如果顶点不在圆周 上,其度数如何？如下列图,有 P 是圆周角,不在圆周上的角有两种情形,顶点 Q 在圆内, 顶点 R 在圆外,不妨称 Q 为圆内角, R 为圆外角；易证, Q P R ；由于关注了圆内角和圆外角,就把控住了整体,仅有圆周角定理,不足以知道非圆周角的度数是不是等于它所对弧上的圆心角的一半；而现在知道了, 有且只有圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；这样一来, 原有的推论“ 圆内接四边形的对角互补” 就可以改为“ 当且仅当四边形内接于一个圆,它的 对角互补” ；也就是说推论是充分必要
29、的了,不仅是圆内接四边形的性质定理,仍是圆内接四边形的判定定理；或许有人说,判定四点共圆不是课程标准的内容；没错,我们并没有刻意去 学习四点共圆的判定定理, 我们也不预备环绕它做大量的习题, 但毋容置疑的是,这是在问题意识下课堂学习过程的自然导出,它在不知不觉中出现出来！形成 这些结论的数学活动过程是如此的精妙,如此重要！或许又有人说,同学脑子里又多了两个概念,多了一些结论,增加了同学负担,其实,辩证地看,表面的“ 多” ,实际是“ 少” ！这样的学习是把握整体结构,对原有的结论熟识更深化,反而减轻了负担；（三）让同学独立摸索推理论证的才能是在良好的训练环境中形成的,绕独立摸索,教学要处理好以
30、下几何关系：1独立摸索与合作学习的关系环境的核心部分是独立摸索； 围现代训练特别看重合作学习, 并且在课堂教学中小组争论的活动常常开展,合作学习的过程不仅让同学获得了合作的方法,学会了合作, 而且同学也从中的确提高了学习效率；合作包括分工合作,也包括在质疑、争论、甚至争论中学习；在 推理论证的学习任务面前, 假如需要分类争论, 可以在独立获得整体构想基础上 分工实施,分工要谨慎,不得因此失去必要的摸索过程；而争论也有前提,那就 是独立摸索；2独立摸索与老师讲授的关系名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下
31、载其实,任何的独立摸索都是有摸索方法和学问储备作为支撑的；每个具备独立思考才能的同学, 都曾经受过从不会摸索到会摸索的过程,这个过程的引领者是教师；一般来讲,老师在推理论证的教学中, 重视同学通过论证得到对命题的确认,重视同学的数学语言表达； 然而,推理论证的教学更需要揭示思维过程,开头时同学仍不能独立摸索, 老师要示范, 逐步使同学养成摸索问题的习惯,并把握思考的方法,逐步独立起来；3独立摸索与阅读、预习的关系阅读是学习者必经之路, 预习是教学的一个有效环节, 但是,在推理论证的教学中,特殊要关注阅读、预习的时机和内容,要把握一个原就,即不让阅读和预习干扰独立摸索,要保证独立摸索是有意义的,
32、 是在一个具备挑战的环境中进行的；（四）变“ 作帮助线” 的说法为“ 构造帮助图形” 在几何证题时, 人们常常要作帮助线, 很多同学总是试着作帮助线,试来试去碰上一条帮助线有用了, 挺兴奋, 但是也常常为做不出合适的帮助线而苦恼；其实“ 作帮助线” 这个说法没有较好地揭示解题者的意图,没有揭示这一操作活动的本质；最好是改称为“ 作帮助图形” ；由于几何证题依据的都是图形的性质,比如要证两个角相等, 假如显现全等的两个三角形,这两个角是它们的对应角, 结论就有了；或者显现等腰三角形,这两个角是它的两个底角,结论也是成立的；或者它们是一个圆上同一段弧所对的圆周角； ；那么就要找具备相应性质的图形,
33、假如没有现成的, 就要依据题目条件设法构造出期望显现的图形；所以讲“ 作帮助图形” 比“ 作帮助线” 更能揭示做这件事的本质；在这样一种意识下的“ 作” 就不再盲目, 虽然不肯定一次胜利, 但这种自觉性会大大改善从前试来试 去碰运气的情形, 在较充分的学问储备下, 在较丰富的联想下, 完成证明就不是 难事；三、推理论证学习中的问题及解决策略（一）两个常见问题1循环论证当证明一个结论时, 把结论当作已知使用, 这就是循环论证； 按说不会显现如此 的低级错误,但这种现象确不乏存在； 一般来说,初学论证时简洁犯这样的错误；这种错误的显现往往特别隐藏；如三角形内角和定理的一个证明；已知： ABC,求证
34、： A+ B+ C=180证明：延长 BC 任意长至点 D , ACD= A+ B （三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又 ACD+ ACB=180 （邻补角定义） A+ B+ C=180 （等量代换）这是循环论证,由于三角形的外角定理是用三角形内角和定理证明的；仍有的循环论证是偷偷地 （当然不是证题者的有意所为,而是不慎的举动） 直接将要证明的结论当做 证明过程中的“ 论据之一” ,在此基础上又推出结论,这也是循环论证, 它与上例的循环论证其实是一样的
35、；的兜圈子,无法证明任何结论；循环论证是用自己证明自己克服循环论证, 需要同学将所学的学问串成一个系统,搞清晰命题之间的规律关系；在学习过程中逐步构建起来的数学大厦,从底层到高层有着严格的规律次序,搞清晰这种次序就会防止循环论证；要看准题目中的条件和结论 （以及等价的结论表述）,明确要证的结论,瞄准结论去证明,也会削减循环论证的错误；2以偏概全一个命题有多种情形时, 假如证明白部分情形是对的, 就对命题下结论, 这就是以偏概全；一般情形下,这样的问题不是明知有一些情形没证明,为了图省事,就仓促终止了； 而是证明的开头对命题懂得就不完整,分类不全面； 比如在证明圆周角定理时,误认为对图 31 证
36、明白,就是对一般情形证明白,而实际上对图 31 证明的方法不适用图34 ,假如不证明图 34 的情形,就说完成了圆周角定理的证明,就犯了以偏概全的错误；克服以偏概全的最重要的方法是对几何问题的图形的完整把握,假如不是如图所 示下的几何问题,先要明确题意,由于是几何问题,所以要画出图,虽然一般情 况下是画示意图, 但这不等于是随便画图； 画出的图要完整地诠释问题；要问自 己,与题目相对应的图形有几个？这样就不“ 偏” 了；（二）依靠题型和体会,思路不清 同学面对需要求解的问题,就是搜寻脑子里的题型,解题过程基本是对号入座,照方抓药； 依靠题型是“ 常见病” , 成为相当多的同学的习惯, 甚至几乎
37、是唯独方法,这样的同学往往对自己解决的问题“ 知其然,但不知其所以然” , 讲不清思路,或者说始终就不关注思路； 这是提升数学素养的最大障碍,是读死书的典型表现；克服这种不良习惯的方法是“ 表达思路” ,不仅在证题时辨清解题思路, 而且要加强对例题深究, 加强解题后的反思, 追问：这种解法是怎样想出来的？绝不满足对书写的清清晰楚的证明过程的认可,而要千方百计琢磨证明背后的解题思路；要能用自己的头脑梳理出一条思维的通路,要能用自己的语言将思路表达清晰；名师归纳总结 例如,在很多教材中都有这样一个例题：在直线 l 的一侧有 A 、B 两点, 试第 11 页,共 13 页在 l 上求作一点 C ,使
38、 AC + CB 取得最小值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解这个题不难,几乎全部的同学都知道作 A 、B 中的某一点关于 l 的对称点,比如作 B 关于 l 的对称点B,AB与 l 的交点就是所求的点C ；但是,很多同学并不知为什么要作对称变换；事实上,求两点间最小值的直接依据只有“ 两点间线段最短” ； 对于现在这个问题, 线段 AB 与 l 不相交,而两个点在 l 的异侧时线段 AB 与 l 就相交了,于是进一步的摸索就是试图将同侧两点转化为异侧两点,明显只需将 A 、B 中的某一点移到另一侧去,比如移动点 B 到另一侧记作
39、 B,这个 B应当有替代 B 的资格, 最抱负的是：对于 l 上的任一点 P ,都有 AP + PB= AP + PB ,也就是 PB= PB （这就是“ 资格” ）,这样的话,AP + PB的最小值就是 AP + PB 的最小值,而 AP + PB的最小值是显见可得的； 我们知道,线段中垂线上的点到两端点距离相等,即现在需要 l 为 BB 的中垂线,于是取 B为 B 关于 l 的对称点；完整的解题思路显现了；（三）遇到较难的问题无从下手一些同学在解决稍复杂一些的问题时,没方向,缺方法,脑子是空的,无从下手,无理可推,不是靠理性思维获得几何证明,而是胡撞乱撞,乱加帮助线,碰巧遇到一条解题通道,
40、似乎会解题了,其实没有思路；一切缺乏理性支持的推理论证训练都是低效的,而建立在合理的推理思维结构基础上的推理论证明践才能形成长期的正确思维的自觉；克服这种不良习惯的方法是“ 把握一些详细的方法” ；几何的推理论证之思维方法有些是具有普适性的,是策略性的,这些最值得关注；比如,面对一个约束条件很多的问题, 可以削减约束条件, 使问题变得简洁解决,然后查找解题规律,回到原先的问题；有人把这种思维方式叫做“ 退一步” ；波利亚在怎样解题一书中就给出这么个例子：在给定三角形中作一正方形；正方形的两个顶点在三角形的底边上,另两个顶点分别在三角形的另两边上；这个问题不易解决,于是“ 退一步” ,削减条件可
41、以 吗 . “ 两个顶点在三角形的底边上,仍有一个在三 角形的另一条边上” 就简洁画出来！而且这样的正方形是不确定的,可以画出很多,如图；这样的三角形有什么特点？假如同学能猜到第四个顶点在一条定直线上,原先的问题就解决了！又比如面对具有一般性结论的待证问题,先将它放下,转而将问题“ 特殊化” ,去解决这个特殊的问题, 然后反思对特殊化问题解决的方法, 再回到原问题中去；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载“ n 边形内角和定理” 的证明就是这样；其实我们无法画出一般 n 边形的图,可以先画出个五边
42、形或六边形,在这个图中摸索并证明,得到方法,探究规律,然后再回到抽象的 n 边形中去；除了“ 退一步” 、 “ 特殊化” , 仍有“ 从反面摸索” 、 “ 把握不变量” 等详细的 思维方式, 都是很重要的, 特殊是在查找推理论证的突破口时尤为重要；需要明 确的是,不论哪种方式,都要结合详细的问题,全部的摸索都应当是自然的,是 朴实的,是有路可循的,这里不追求奇妙,不追求巧妙；把握这些思维方式对几 何学习乃至人的整体素养的提高都特别有益；今日的讲座就到这里, 几何推理论证是数学训练的永恒话题,期望老师们积极思 考和实践,互助互勉；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页