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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 人教版学校数学总复习整理（一）第一章 数与代数 第一部分 数的熟悉一、整数的熟悉【数与数字的区分：数字（也就是数码）,是用来记数的符号,通常用国际通用的阿拉伯数字09这十个数字；其他仍有中国小写数字,大写数字,罗马数字等等；数是由数字和数位组成； 】【十进制：十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法；特点是相邻两个单位之间的进率都是十；10个较低的单位等于 1 个相邻的较高单位；常说 “满十进一 ”,这种以 “ 十” 为基数的进位制,叫做十进制； 】（一）、数的分类和意义1、自然数的含义： 自然数源于数数, 在数物体的时候, 用来表示物体个数的
2、1 ,2 ,3 , ,99,100都叫做自然数；一个物体也没有,用0 表示（ 0 也是自然数）；【最小的自然数是 0,最小的一位数是 1,自然数的单位是 1. 】2 、自然数（ 0 除外）的两方面意义：（ 1 ）用来表示事物多少的叫基数；例“7 本书” 中的“7 ” 是基数；（ 2 ）用来表示事物次序（次序）的叫序数；例“ 第 9 天” 中的“9” 是序数；3、0 的意义（ 0 的作用）：（ 1）在计数时 0 起占位作用,表示该位上没有单位；（2）表示起点,如零刻度；（ 3）计数,假如一个物体也没有,用 0 表示；（ 4）表示界线,如温度计,数轴上的 0,表示正、负数的分界线；（ 5）0 是一
3、个完全有确定意义的数；（6）0 不能作除法的除数、分数的分母、比的后项；（ 7）0 是最小的自然数,是一个偶数；是任何自然数 0 除外 的倍数；4 、整数的含义：像-5 ,-2 ,0 ,2 ,5 ,10 , 这样的数统称整数；整数的个数是无限的,没有最小的整数,也没有最大的整数；（1）正整数：大于 0 的自然数或整数；（2）负整数：像 -1 ,-2 ,-3 , 这样的数叫做负整数；它是与正整数表示相反意义的量；（小于 0的整数；）（3）0 既不是正数也不是负数,它是最小的自然数；5 、整数的分类 正整数 自然数 整数 0 负整数【指点迷津】判 断：整数就是自然数；（）自然数就是整数；（）6 、
4、正数和负数（1）正数的含义1 是最小的一位数；像以前学过的 +1 、+200、+56、+4.8 、+24, 这样的数叫做正数；正数前面的“+ ” 号,称为正号,也可以省去不写；（2）负数的含义 小于 0 的数叫做负数；像 -5 、-7.8 、-3 4、-500 、-35 , 这样的数都是负数；7、负数在日常生活中的应用正、负数是表示两种具有相反意义的量；如：收入与支出、 海平面以上与海平面以下、 零下与零上、盈利与盈亏、左与右、东与西、余钱与亏钱、进与出、增产与减产、得分与扣分、上升与下降等；（二）整数的读写 1 、数位次序表：数 级亿级整数部分个级小 数 点小数部分第 1 页,共 7 页万级
5、名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 位位 数位千 亿 位第 位 十 二百 亿 位第 十 一第 十 位第 九 位第 八 位第 七 位第 六 位第 五 位第 四 位第 三 位第 二 位第 一 位一第 一 位十 一 分 之第 二 位百 一 分 之第 三 位千 一 分 之第 四 位数 位十 亿 位亿 位千 万 位百 万 位十 万 位万 位千 位百 位十 位个 位十 分 位百 分 位千 分 位万 分 位计 数单千 亿百 亿十 亿亿千 万百 万十 万万千百十个（一）万 分之（1 ）、数级：从个位起每四位是一级,依次是个级、万级、亿级、 【个级表示多少个
6、一,计数单位“ 一” ；万级表示多少个万,计数单位“ 万” ；亿级表示多少个亿,计 数单位“ 亿” ；】（2 ）、位数：一个数含有数位的个数叫做位数；因此,在一个数中所含数字的个数是几,这个数就叫 做几位数；（3 ）、数位：各个计数单位所占的位置,叫做数位；数位是按固定次序排列的；（4 ）、计数单位：整数和小数都是依据十进制计数法写出的数,其中个、十、百、 以及非常之一、1 表示的是多少；百分之一 都是计数单位；它表示各个数位上的一个 2. 整数的读法：从高位到低位,一级一级地读；读亿级、万级时,依据个级的读法去读,只要在后面加一个 “ 亿” 或 “ 万” 字就可以了；每一级末尾的0 都不读出
7、来,级首或级中有一个或连续几个0 ,都只读一个零；【读数和写数时,假如数的后面有单位名称,就单位名称不能丢掉；】3. 整数的写法：从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写 4 、整数的大小比较0 ；（1 ）比较两个数的大小,假如位数不同,那么位数多的那个数就大；（2 ）假如位数相同,先看最高位,最高位上的数大那个数就大；最高位上的数相同,次高位上的数大 那个数就大,假如仍相同,就连续依次比较,直到比较出大小为止；5 、整数的改写和近似数一个较大的多位数,为了读写便利,常常把它改写成用 需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数；（1 ）整数的改写“ 万” 或“
8、亿” 作单位的数；有时仍可以依据精确数：在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数；改写后的数是原数的精确数,依据需要仍可以仍原；例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是125430 万；改写成以亿做单位的数12.543 亿；（2 ）近似数近似数：用一个与它比较接近的数来表示事物的数量,这样的数就是近似数；（依据实际需要,我们仍可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示；）例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是13 亿；【近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等】a. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比
9、 4 小,就把尾数去掉；假如尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大,就把尾数舍去,并向它的前一位进 1 ；例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万；省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿；b. 进一法：在窃取近似数时,不管余外部分上的数量是多少,都向前进 1. 这种求近似数的方法,叫做进一法；c. 去尾法：在窃取近似数时,不管余外部分上的数量是多少,一概去掉 .这种求近似数的方法,叫做去尾法；（3 ）数的改写与省略尾数的区分：名师归纳总结 数的改写省略尾数第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方法在要改写
10、的数的万位或亿位右用“ 四舍五入” 法省略指定数位下角点上小数点,去掉小数末尾 的 0 并写出相应的运算单位 “ 万”字或“ 亿” 字；后面的尾数,再在后面加上相应 的运算单位 “ 万” 字或“ 亿” 字；结果得到精确数得到近似数与原数的关系与原数相等,原数与改写数之间与原数近似相等,用“ ” 连接举例用“= ” 连接48460048 万484600=48.46万数值1295330000=12.9533亿129533000013 亿数的大小不变转变数的大小二、倍数和因数（一）因数和倍数 1 、因数和倍数的意义和特点（1 ）、因数和倍数的意义假如 a b c （且 a 、b 、c 均为自然数）,
11、那么a 和 b 是 c 的因数, c 是 a 和 b 的倍数；【整数 a 除以整数 b （b 0 ）,除得的商是整数而没有余数,我们就说 a 能被 b 整除,或者说 b 能 整除 a ；假如数 a 能被数 b（b 0）整除, a 就叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的约数（或 a 的因数）；倍数和约数是相互依存的；由于 35 能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍数, 7 是 35 的约数；】（2 ）整除和除尽的关系：.整除：甲数除以乙数（甲、乙为自然数）,商是整数,余数为零；就说甲数能被乙数整除；.除尽：甲数除以乙数（乙数不为零）,商是有限数；就说甲数能被乙数除尽；【整除可以说是除尽,但
12、除尽就不能说肯定叫整除；例如：1 5 0.2 ,1.6 0.8 2 ,叫除尽,但不叫整除；由于商是小数；又如：103 3 1 ,既不叫整除,（由于余数不为零）也不叫除尽；】（3 ）、因数和倍数的特点一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是 1,最大的因数是它本身；例如：10 的因数有1 、2 、5 、10 ,其中最小的因数是 1 ,最大的因数是 10 ；一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身；3 的倍数有： 3 、6 、9 、12 其中最小的倍数是 3 ,没有最大的倍数；2 、2 、3 、5 的倍数的特点（1 ）2 的倍数的特点：个位上是（2 ）5 的倍数的特点：个位上是0 、
13、2 、4 、6 、8 ,例如： 202 、480 、304 ；0 、5 ,例如： 5 、30 、405 ；（3 ）3 的倍数的特点：各个数位上的数之和是3 的倍数,例如： 12 、 108 、204 ；（4 ）既是 2 又是 5 的倍数的特点：个位上是0 ；0 ,且各个数位上的数之和是3 的倍数；（5 ）既是 2 、5 又是 3 的倍数的特点：个位上是（6 ）9 的倍数的特点：各个数位上的数之和是9 的倍数,例如： 18 、 108 、207 ；【能被 3 整除的数不肯定能被9 整除,但是能被 9 整除的数肯定能被3 整除； 】、【一个数的末两位数能被4（或 25 ）整除,这个数就能被 4（或
14、 25 ）整除；例如： 16 、404 、1256都能被 4 整除, 50 、325 、500 、1675都能被 25 整除； 】【一个数的末三位数能被8（或 125 ）整除,这个数就能被 8（或 125 ）整除；例如：1168、46005000 、12344都能被 8 整除, 1125、13375、5000都能被 125整除； 】3 、奇数和偶数（1 ）奇数：在自然数中,不是 2 的倍数的数叫做奇数,奇数可以用 2n+1n 为任意整数 来表示；（2 ）偶数：在自然数中,是 2 的倍数的数叫做偶数,偶数可以用 2n n 为任意整数 来表示；（3 ）数的奇偶性：偶数 偶数 = 偶数,奇数 奇数
15、= 偶数,偶数 奇数 = 奇数；【在自然数中任何一个数不是奇数就是偶数,最小的奇数是 数；】4 、质数、合数和分解质因数1 ,最小的偶数是 0 ,没有最大的奇数和偶名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1 ）质数：一个数假如只有 1 和它本身两个因数,这样的数叫做质数（或素数）,100 以内的质数 有：2 、3 、5 、7 、11 、13 、17 、19 、23 、29 、31 、37 、41 、43 、47 、53 、59 、61 、67 、71 、73 、79 、83 、89 、97 ；（2 ）合数：一个数假如除了
16、1 和它本身,仍有别的因数,这样的数叫做合数,例如4 、6 、8 、9 、12 都是合数；（3 ）质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式；这几个质数都叫做这个合数的质因数；例如 15=3 5 ,3 和 5 叫做 15 的质因数；（4 ）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数；（把一个合数分解质 因数,通常用短除法；先用能整除这个合数的质数去除,始终除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式；）【分解质因数肯定要分解完全,即分到都是质数为止；】【质因数与分解质因数的区分： 质因数是一个详细的数, 而且必需是是质数, 它是相对于某个合数而言；而分解质因数不是详细的
17、数,而是把一个合数进行拆分的过程,使之是几个质数相乘的形式；】（5 ）分解质因数的方法：塔式分解法,短除法；【最小的质数是 2 ；最小的合数是 4 ；1 不是质数也不是合数,自然数除了 1 外,不是质数就是合数；假如把自然数按其因数的个数的不同分类,可分为质数、合数和 1 ；】（二）最大公因数与最小公倍数1 、最大公因数（1 ）公因数：几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数；（2 ）最大公因数：在公因数中,最大的一个数叫做这几个数的最大公因数,例如 12 的因数有 1 、2 、3 、4 、6 、12 ；18 的因数有 1 、2 、3、6 、9 、18 ；其中, 1 、2、3 、6 是 12 和
18、 18 的公因数, 6 是它们的最大公因数；【假如较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数；】（3 ）互质数：假如两个数的公因数只有【成互质关系的两个数,有以下几种情形：1 ,两个数叫做互质数；1 和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有1 时,这两个合数互质；】（4 ）互质：当两个或三个以及三个以上的数是互质数时,我们说它们互质；【两个合数的公因数只有1 时,这两个合数互质, 假如几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质；】（5 ）求最大公因数的方法：分解质因数法：将几个数公有的质因数
19、连乘起来,所得的积就是要求的最大公因数；短除法：把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数,连续去除这几个数,始终除到各个商只有公 因数 1 为止,将除数相乘,积就是最大公因数；【 求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除,始终除到所得的商只有公因数 1 为止,然后把全部的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公因数；】【几个数的公因数都是它们的最大公因数的因数；】2 、最小公倍数（1 ）公倍数：几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数；（2 ）最小公倍数：在公倍数中,最小的一个数叫做这几个数的最小公倍数；例如：2 的倍数有 2 、4 、6 、8 、10 、12 、14 、16
20、 、18 ,3 的倍数有 3 、6 、9 、12 、 15 、18 其中 6 、 12 、18 是 2 、3 的公倍数, 6 是它们的最小公倍数；【假如较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数；】【假如两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数；】【几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的；】（3 ）求最小公倍数的方法：分解质因数法：将几个数公有的质因数和独有的质因数连乘起来,所得的积就是要求的最小公倍数；短除法：把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数,连续去除这几个数,始终除到各个商只有公 因数 1 为止,再把除数和商连乘起来,所得的积就是最小
21、公倍数；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数 （或其中的部分数） 的公因数去除, 始终除到互质 （或两两互质）为止,然后把全部的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数；】【几个数的公倍数都是它们的最小公倍数的倍数；】三、小数的熟悉（一）小数的意义1 、小数的意义：把单位“1 ” 平均分成 10 份、 100份、 1000份 表示这样的一份或几份的,写成不带分母的形式,称为小数；一位小数表示非常之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几 【一个小数由整数部分、小
22、数部分和小数点部分组成；数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分；】【在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10 ；小数部分的最高分数单位“ 非常之一 ” 和整数部分的最低单位 “ 一” 之间的进率也是10 ；】2 、小数的分类（略）1. 混小数（带小数）：整数部分不是零的小数,叫做带小数；例如： 3.25 、 5.26 都是带小数；2. 纯小数：整数部分是零的小数,叫做纯小数；例如：0.25 、 0.368 都是纯小数；3. 有限小数：小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数；例如：41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数；4. 无限小数：小
23、数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数；例如：4.33 3.1415926 【循环小数都是无限小数,无限小数不肯定都是循环小数；例如,圆周率 也是无限小数；】5. 循环小数： 小数部分从某一位起, 一个数字或几个数字依次不断地重复显现,这样的小数叫做循环小数；例如： 0.333 ,1.2470470470 都是循环小数；6 循环节：循环小数的小数部分依次不断重复显现的数字,叫做这个循环小数的循环节；循环小数通常在第一个循环节的首尾项上各加一个圆点表示,假如循环节只有一个数字, 就只在它的上面加一个圆点；例如：3.99 的循环节是 “ 9 ” , 0.5454 的循环节是 “ 54 ” ；7.
24、纯循环小数：循环节从非常位就开头的循环小数,叫做纯循环小数；（循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数；）例如：3.111 0.5656 8. 混循环小数：不是从非常位开头循环的循环小数,叫混循环小数；开头的,叫做混循环小数；）例如：3.1222 0.03333 （循环节不是从小数部分第一位9 无限不循环小数：小数部分的位数是无限的,且不循环的小数,这样的小数叫做无限不循环小数；例如,圆周率 也是无限小数；（二）小数的读法和写法 1 、 小数的读法：读小数的时候,整数部分依据整数的读法读,小数点读作“ 点” ,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字；2 、 小数的写法：写小数的时候,整
25、数部分依据整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺 次写出每一个数位上的数字；（三）小数的基本性质 在小数的末尾添上零或者去掉零,小数的大小不变；（四）小数点位置的移动引起小数大小变化的规律1. 小数点向右移动一位,小数的值就扩大10 倍；小数点向右移动两位,小数的值就扩大100倍；小数点向右移动三位,小数的值就扩大1000倍 2. 小数点向左移动一位,小数的值就缩小为原先的非常之一；小数点向左移动两位,小数的值就缩小 为原先的百分之一；小数点向左移动三位,小数的值就缩小为原先的千分之一 3. 假如需将小数扩大或缩小整十整百倍,就只需相应的移动小数点就可以了；小数点向左移或者向右 移位
26、数不够时,要用 “ 0补足位；（五）小数的大小比较 比较两个小数的大小,先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大；整数部分相同的,非常 位上的数大的那个数就大；假如仍相同,就连续比较,依次类推,直到比较出大小为止；（六）小数的近似数 求一个小数的近似数,与求整数的近似数的方法相同,通常依据需要用“ 四舍五入” 法保留肯定的 小数位数；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等】四、分数和百分数（一）分数的熟悉 1 、分数的意义（1 ）、把单位 “ 1”平均分成如干份,表示这样的
27、一份或几份的数叫做分数；（2 ）、把单位 “ 1”平均分成如干份,表示其中的一份的数是这个分数的分数单位；（3 ）、两个整数相除,它们的商可以用分数表示：即 a ba/bb 0【任何整数都可以看作是分母为 1 的分数；分数与除法是两个完全不同的概念,分数是一个数, 除法是 一种运算；】【在分数里,中间的横线叫做分数线；分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“ 1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子,表示取了这样的多少份；】2 、分数的读法和写法（1 ）、分数的读法：读分数时,先读分母再读“ 分之” 然后读分子,分子和分母依据整数的读法来读；（2 ）、分数的写法：先写分数线,再写分母,最终写分
28、子,依据整数的写法来写；2 、分数的分类（1 ）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数；真分数小于 1 ；（2 ）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数（一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数）,叫做带分数；假分数大于或等于 化；1 ；带分数也是假分数的另一种表示形式,相互之间可以互（3 ）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数；3 、分数的基本性质（1 ）、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外）,分数的大小不变；【商不变的规律：在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变；】（2 ）、最简分数：分子分母是互质数的分数,叫
29、做最简分数；（3 ）、分数的基本性质的应用：约分和通分 约分：分子和分母同除以它们的最大公因数,通常除到得出最简分数为止；通分：把分数的分母化成相同的数,即全部分母的最小公倍数；4 、倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数； 1 的倒数是 1 ,0 没有倒数；5 、分数的大小比较（1 ）分母相同的分数,分子大的分数比较大；（2 ）分子相同的数,分母小的分数大；（3 ）分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小；6 、分数与除法的关系（1 ）被除数 除数 = 被除数 / 除数（2 ）由于零不能作除数,所以分数的分母不能为零；（3 ）被除数相当于分子,除数相当于分母；（4 ）分数与除法是两
30、个完全不同的概念,分数是一个数,除法是一种运算；（二）百分数的熟悉1 、百分数的意义：（1 ）表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数 , 又叫百分率或百分比；通常用 % 来表示；（2 ）百分数是分母为 100 的分数,是分数的特例；【百分数与分数的区分和联系：百分数只能表示“ 率” ,不能用来表示详细的数,不能有单位；而分数既可以表示“ 率” ,即谁是谁的几分之几,又可以表示量的多少；】2 、百分数的读法和写法（1 ）百分数的读法：读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时依据整数的读法来读；（2 ）百分数的写法：百分数通常不写成分数形式,而在原先的分子后面加上百分号“ %”
31、来表示；3 、成数和折扣：（1 ）成数：工农业生产中常常用“ 成数” 来表示生产的情形,几成就是非常之几,也可以用百分数表 示；例如：“ 五成” 就是非常之五或百分之五十；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2 ）折扣：在进行商品的销售时,常常用到“ 打折扣” 出售,简洁说就是“ 打折” ；几折就是非常之 几,也可以用百分数表示；例如：“ 五折” 就是非常之五或百分之五十、“ 八五折” 就是非常之八点五 或百分之八十五；4 、税率和利率：（1 ）税率：应纳税额与各种收入之和的比率叫做税率；（2 ）利率：利息与本金的比
32、率叫做利率；（三）数的互化 1. 小数化成分数： 原先有几位小数, 就在 1 的后面写几个零作分母, 把原先的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分；2. 分数化成小数：用分母去除分子；能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数；【一个最简分数,假如分母中除了2 和 5 以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数；假如分母中含有 2 和 5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数；】改写成分母是 10 、100 、100 0 的单位,再约分小数 分数用分子除以分母3. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号；4. 百分数化成小数：把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位；小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号小数 百分数把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位5. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时,通常保留三位小数 ,再把小数化成百分数；6. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数；先化成小数,再把小数化成百分数分数 百分数先化成分母是 100（四）分数、小数、百分数的大小比较的分数,能约分的要约成最简分数分数、小数、百分数的混合比较：一般都化成小数的形式进行比较；【比较大小后,要依原数进行排列；】名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页