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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 含有肯定值的不等式的解法【学习目标】1使同学把握axb c 与 ax b cc0型的不等式的解法2使同学能够利用数形结合,分类争论,方程与化归的思想解一些简洁的肯定值不等 式【学习障碍】1对肯定值的几何意义懂得不到位2对于 axb c 与 ax b cc0两种类型的不等式的解法辨论不清3同学对数轴的利用率不够高【学习策略】学习导引1预习课本 P14152本节课的重点是x a 与 x aa0； axb c 与 axb cc0型不等式的解法,难点是对肯定值几何意义的懂得关于本节的学问点有以下几个：1 一般地,不等式x aa0的解集是：x axa2不
2、等式 x aa0的解集是 xxa 或 x a3其推论为： axb cc 0的解为： caxbcaxb cc0的解为 ax bc 或 axb c学问拓宽1不等式 a x bba0的解法图 111可以利用肯定值在数轴上的意义直接得出axb 或 bx a| x | a也可以利用不等式组 | x | b 来解例 1解不等式 12x1 5思路一：这是一个双连不等式,利用肯定值在数轴上的意义可以得出 12x15 或52x11,从而求出不等式的解名师归纳总结 解：原不等式等价于12x15 或 52x 11,第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即
3、： 22x6 或 42x0解得： 1x3 或 2x0故原不等式的解集为x 2x0或 1x3|2 x1|1思路二：将原不等式转化为|2 x1|5进而求出与不等式解集的交集|2x1|5解：原不等式等价于|2x1|12x152x152x152x15即2x11或2x11不等式组的解为1x3不等式组的解为2x0故原不等式的解集为x 2x0或 1x3误区点评：在进行原不等式等价转化时,简洁发生以下失误在第一种解法中,将不等式转化为12x15 或 12x15,252x15x11在其次种解法中,将不等式转化为2x112含有两个或两个以上的肯定值号的不等式的解法例 2解不等式 x3 x 3 8思路一：这是一个含
4、有两个肯定值符号的不等式,为了使其转化为解不含肯定值符号的不等式,应进行分类争论解：令 x30,x 30,得 x 3 或 3x 3 x 3 x 3 8,解得： x43 x 3 x 3 x 3 8,解得：x 3 x 3 x 3 8,解得： x 4取的并集得原不等式的解为 x4 或 x 4点评：解这类肯定值符号里是一次式的不等式如：x a xb c 或 xa xb c, xa x b或 xa xb 常用“ 零点分段法”其一般步骤为：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1分别求出每个肯定值为零的根,称之为零点；2 将各零点
5、在数轴上标出来,它们将数轴分成如干段；3依次对各段上的x 进行争论,求出相应所得不等式的解集；4 取这些不等式解集的并集即得原不等式的解集思路二：利用函数的图象解题解：分别画出 y 1 x3 x3与 y28 的图象图 112y162xx3333xxx2由图象观看可知：要使 y1y2,只须 x 4 或 x4原不等式的解集为xx 4 或 x4思路三：利用肯定值的几何意义解题解： x3 x3 8图 113表示数轴上与 A 3,B3 两点距离之和大于 8 的点,而 AB 6,如图 112因此,要找与 A、B 距离之和为 8 的点,只须由点 B 右移 1 个单位,或点 A 左移一个单位,如图 113由图
6、象可得：原不等式的解集为xx 4 或 x4点评：对于形如xa xb c, xa xb c,或 xa xb的不等式,利用不等式的几何意义或者画出左右两边的图象去解不等式,更为直观,简捷名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3解关于 x 的肯定值不等式axb ca 0例 3解不等式 axb ca 0解：当 c0 时,解集为 R当 c0 时,得 ax bc 或 axb c,即：axcb 或 ax cba0 时,不等式的解集为cab或 xbcaxxa0 时,不等式的解集为xxbaccba或 xb当 c0 时,不等式的解集为xx
7、R 且 xa点评：在解含有字母的肯定值不等式时,要争论字母的取值范畴,考虑全面例 4解不等式 x1 2x思路一：对 2x 的取值分类争论11当 2x 0 时, x1 22x 2 得 2 x22当 2 x0 时,不等式恒成立x21不等式的解集为xx 2思路二：对 x1 的取值进行分类争论解：原不等式等价于：或x10xxx12x102x1 1得： x 2或1不等式的解集为xx2思路三：利用等价形式解：原不等式等价于1x 12x 或 x1x 2,得 x 2或1名师归纳总结 不等式解集为xx 2第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：对
8、于 x aa0 xa 或 x a可推广为： fx , gx是关于 x 的代数式就 fx gx fx gx 或 fx gxgx 可正也可负；同理：x aa0 也可推广到 fx ,gx障碍分析1如何懂得肯定值的几何意义？实数的肯定值,设 aR,就a a 0aa a 0其几何意义是：a表示数轴上的点到原点的距离例 5求不等式 x2 3 的解集思路：利用肯定值的几何意义求解x2的几何意义是x 在数轴上的对应点到2的对应点之间的距离图 114解： x2的几何意义是 x 在数轴上的对应点之间的距离,因而, x 2 3 的解集是数轴上到 2 的对应点的距离小于 3 的点所对应的数组成的集合即 x 1x5如图
9、 114点评：对于这类题,关键在于正确地揭示问题的背景,实施正确的转化,仍应留意端点是否能取到2 axb c 和 ax b cc0的解有何区分？类型化去肯定值后集合上解的意义区分 axbc axbcx axb cxaxbc,交集c axbaxb c 或 axbcx axb cxaxbc,并集c3利用数轴时应留意的几个问题：或” 端点值能取到,对应在数轴上,用“ ” 表示,反之亦然何时取“ ”,何时取“ ”.且的时候取交,或的时候取并,如：1x2 3 等价于 x2 3 且 x 21,最终两个不等式的解集应取交集而3x2 3 等价于 3x2 3 或 3x23,最终应取其并集思维拓展例 6如不等式
10、x4 3x a 的解集是空集,求 a的取值范畴思路一：直接进行分类争论名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：当 a0 时,不等式 x4 3x a 的解集是空集当 a0 先求不等式 x 4 3x a 有解时 a 的取值范畴令 x40,3x0,得 x4,x3当 x4 时, x4x3a,即： 2x7aa7, a 14x 2当 3x4 时,有 4x x3a,即 a1当 x 3 时,有 4x 3xa,即 72xa72aa3, a1综合 可知当 a1 时,原不等式有解从而当 为0a1时,原不等式的解集由两种情形可知不等式x4
11、3xa 的解集是空集, a 的取值范畴是 a1点评：对于 a 0 的情形下,解答不等式x4 3x a 解集为空集,求 a 的取值范畴比较困难,经常转化为求“ 不等式 x4 3x a 有解时 a 的取值范畴 ”这样就转化为我们熟识的问题,使难度大大降低,这是补集思想的一种表达思路二：利用图象来解,把x4 3x a 的解集为问题转化为y1 x4 3x的图象与y1 a 的图象无交点问题图 115解：令 y1 x4 3x就 y12xx77x44123xx3作出其函数的图象名师归纳总结 y 2 a 与 y12 x由图象观看可知当a1 时4的图象无交点第 6 页,共 10 页7x41x73x2x3- -
12、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即： x4 3x a 的解集为点评：这种把求解问题转化为图象的交点问题或转化成求x3 x2的最小值问题,表达了一种化复杂为简洁,化一般为特别的思想方法,这也是解决数学问题的一 般方法思路三：利用肯定值的几何意义,转化为求数轴上两点间的最小距离解：令 y x4 3x x4 x3图 116 就 y 表示数轴上 x 对应点与 4,3 对应点的距离之和 y 的最小值为 43 1ay 的解集为空集时,a 1探究学习 C 是否存在,设 Ax 2x13,Bx x2 1,满意以下条件的集合 如存在求出,不存在说明理由CA B Z；C 中有三个
13、元素； CB【同步达纲练习】一、挑选题1当 a0 时, axb 的解集为 b Axx ab BxxaCRD2不等式 2x 1 的解集是 Ax x3Bx x1 或 x3Cxx1Dx1x3名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3如不等式 2xb c 的解集是 x 4x 6,就 b、c 的值分别为 A 2,10 B 1,5 C 2,10 D1,5 4不等式 2x1 23x 的解集为3 A, 5 1, 3B,5311Cx x2或2x51 Dx 3 x 3二、填空题5不等式 x2 x3 7 的解集是 _6不等式 52x 5 20
14、 的解集是 _7如|x|32有意义,就x 的取值范畴是 _x2三、解答题8已知集合A x x1 c, c0, B x x3 4且 AB,求 c 的取值范畴9解关于 x 的不等式 ax1 2a参考答案【同步达纲练习】b名师归纳总结 一、 1A 提示：因 a0,所以 axb,除以 a 时要变号,所以xxa第 8 页,共 10 页2D 提示：因 2x 1 等价于 x2 1 所以 1x21,即 1 x33A 提示：由于 2x b cc2xb c,即：cbcbcbcb2 x2,所以26,2 4,解之： b 2,c10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4B 提示：
15、原不等式等价于3x22x1 23x即2x12x3 x3,2x132解之：x 53原不等式的解集为xx5二、 5xx 4 或 x3提示：不等式x2 x 3 7 的等价式为：x2x3, 723xxx2, 7xx3x37x232解之： x 4 或 x3,所以不等式的解集为：25 15xx 4 或 x36x5x4或2x0提示：原不等式等价于52x 520 或 202x 55,2515x0,所以原不等式的解集为 x5x25 或 215x0解之：5x 2或 222或x27xx2 或 x2 且 x 3 提示：由题|x|32 即xx3x2所以 x 的取值范畴： xx2 或 x2 且 x 3三、 8解： A x
16、 x1 cc0 x1c x1c, c0B x x3 4 xx 1 或 x 71 AB,c11c7解之： 0c2c02名师归纳总结 9解：当a0 时,原不等式可化为x1a1第 9 页,共 10 页22x 1 a1 或 x1 a122原不等式的解集为xxa2 或 xa当 a 0 时,原不等式化为02,冲突,此时不等式的解集为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2当 2a0 时,原不等式化为x1a12名师归纳总结 a10,原不等式的解集为1 0第 10 页,共 10 页22当 a 2 时,原不等式可化为x1 a1 a222a1x1a122原不等式的解集为x a x a2综上可知：当a2 时,原不等式的解集为：22 xx a2 或 x a ；22当 a 2 时,原不等式的解集为xaxa当 2a0时,原不等式的解集为- - - - - - -