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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本第 6 章 积分法一、不定积分的性质1 两个函数和的不定积分等于两个不定积分的和 ,即2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的外面来 ,即二、不定积分的基本积分法一 基本积分法1 第一类换元积分法 凑微分法 如 ,就 ,其中 是 的任一可微函数 ,而 是任意常数 . 2 其次换元积分法设 及 均连续 , 的反函数存在且连续 ,如 ,就 ,其中是任意常数 . 3 分部积分法二 可积函数类1 有理函数的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数 ,通常可记为 ,其中 都是 的多项式 .有理函数的积分可归结为多项式
2、与有理真分式的积分 .据代数学的学问 ,有理真分式总可分解为部分分式 .设有理真分式 ,其中可在实数范畴内因式分解成 , 其中 都是正整数 ,就有以下分解式 : , 其中 均为待定常数 . 名师归纳总结 有理真分式经分解为部分分式后,其积分实质上可归结为以下四种类型的积分: 第 1 页,共 5 页 , , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本其中每一个都可积出.因此有结论 :有理函数的原函数必定可由初等函数表出,或有理函数的积分必定可被积出 . 2 三角函数有理式的积分三角函数有理式是指.经万能代换可化为以作为积分变量的有理
3、函数的积分,有. 3 简洁无理函数的积分 经适当的变量代换 ,使之化为有理函数的积分 . 令 ,可把原积分化为 令 ,可把原积分化为 二、定积分的基本积分法1 公式法求得被积函数的一个原函数,利用牛顿 -莱布尼兹公式直接运算之. 2 定积分的第一类换元积分法凑微分法 . 3 定积分的其次类换元积分法 设 在 上连续 ,如代换 满意 在闭区间 或 上有连续导数 ; 当 或 时,必有 ; ,就 . 4 定积分的分部积分法名师归纳总结 设 在 上有连续导数,就第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本三、定积分的数
4、值运算法将区间分为等分 ,记1 矩形法 左矩形公式右矩形公式2 梯形法3 抛物线法 辛普森法 这里的 必需为偶数四、定积分中的常用命题和公式1 对称区间上连续奇函数的积分为零,即如是 上的连续奇函数,就. 2 对称区间上连续偶函数的积分为半个区间上积分的两倍, 即如是 上的连续偶函数,就. 3 如 是周期为的连续函数 ,就对于任意实数,均成立. 4 其中 为正整数 复习指导：第 6 章 积分法一、不定积分1.基本积分法名师归纳总结 1.第一类换元积分法凑微分法 ,而余下部分恰好是的函数,即 ,然后取变换 :第 3 页,共 5 页其特点是” 凑好了换”,把被积函数分出一部分写成- - - - -
5、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本令 .一般情形下可以考虑的积分类型有 : 等等2 其次类换元积分法.一般情形下可以考虑的积分类型有: 其包含的主要类型有三角代换与倒代换令令令如被积函数中含有无理函数. 的形式 ,就可先配方 ,然后挑选适当的三角代换.另外 ,倒代换常可消去被积函数分母中的积分变量因子3 分部积分法分部积分法主要用于被积函数为两类不同函数相乘的情形,常见的有以下的积分类型:如运算不定积分 ,而其中的被积函数当 =多项式 正弦 余弦 函数时 ,可取 =多项式 ; 当 =多项式 指数函数时 ,可取 =多项式 ; 当 =多项式 对
6、数函数时 ,可取 =对数函数 ; 当 =多项式 反三角函数时 ,可取 =反三角函数 . 2 可积函数类1 有理函数的积分有理函数积分的主要步骤在于将被积函数分解为部分分式.不过对于详细的有理函数积分,通常可用” 拆”,” 凑” 或” 加一项再减一项” 的方法. 2 三角函数有理式的积分万能代换可能会导致复杂的有理函数的积分.故对于三角函数有理式的积分,有时也采纳以下变换: 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本当 时,可令 ; 当 时,可令 ; 当 时,可令 . 二、定积分关于定积分的换元积分法 . 变量代换必需要满意定理的条件 .如对于定积分 ,作代换 ,由于 在 处不连续 ,故换元不成立 ;再如对于定积分 ,作代换 ,由于此代换不是单值的 ,故换元也不成立 .在利用换元积分法运算定积分时 ,有肯定的技巧 ,如下例 . 例 : 运算定积分 . 解 : 原式 = 利用变量代换 , . 原式 = . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页