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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点初高中函数学问点总结大全正比例函数 形如 y=kx （k 为常数, k0）形式, y 是 x 的正比例函数；1.定义域 :R实数集 2.值域:R实数集 3.奇偶性 :奇函数 4.单调性 : 当 k0 时,图像位于第一、三象限, y 随 x 的增大而增大 单调递增 ; 当 k0 时,图像位于其次、 四象限,y 随 x 的增大而减小 单调递减 ；一次函数 一、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 就此时称 y 是 x 的一次函 数；特殊地,当 b=0 时,y 是 x 的正比例函数；即： y=kx （
2、k 为常数, k0）一次函数与正比例函数的识别 方法：如 y=kx+bk,b 是常数, k0,那么 y 叫做 x 的一次函数,特别的,当 b=0 时,一次函数就成为y=kxk 是常数, k0,这时,y 叫做 x 的正比例函数,当 k=0 时,一次函数就成为如 y=b,这时, y 叫做常函数；A 与 B 成正比例 A=kBk 0 二、一次函数的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例, 比值为 k,即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b 取任何实数
3、）2.当 x=0 时,b 为函数在 y 轴上的截距；三、一次函数的图像及性质：1作法与图形：通过如下 3 个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线,可以做出一次函数的图像一条直线；因此,作一次函数的图像只需知道2 点,并连成直线即可；（通常找函数图像与x轴和 y 轴的交点）2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满意等式： y=kx+b ；（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是 （0,b,与 x 轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像总是过原点；3k,b 与函数图像所在象限：当 k0 时,直线必通过一、三象限,当 k0 时,直线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而增大；y 随
4、 x 的增大而减小；当 b0 时,直线必通过一、二象限；当 b=0 时,直线通过原点 当 b0 时,直线必通过三、四象限；特殊地,当 b=0 时,直线通过原点 的图像；O（0,0）表示的是正比例函数名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点这时,当 k0 时,直线只通过一、三象限；当 二、四象限；四、确定一次函数的表达式：k0 时,直线只通过已知点 A（x1,y1）；B（x2,y2）,请确定过点 A、B 的一次函数的 表达式；（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为 y=kx+b ；（2）由于在一次函数
5、上的任意一点P（x,y）,都满意等式 y=kx+b ；所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程,得到 k,b 的值；（4）最终得到一次函数的表达式；五、一次函数在生活中的应用：1.当时间 t 肯定,距离 s 是速度 v 的一次函数； s=vt；2.当水池抽水速度 f 肯定,水池中水量 设水池中原有水量 S；g=S-ft ；六、常用公式：g 是抽水时间 t 的一次函数；1.求函数图像的 k 值：（ y1-y2/x 1-x2 2.求与 x 轴平行线段的中点： |x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点： |y1-y2|/2 4.关于点的距
6、离的问题方法：点到 x 轴的距离用纵坐标的肯定值表示,坐标的肯定值表示；点到 y 轴的距离用横名师归纳总结 任意两点A x A,yA,B xB,yB的距离为xAx B2y AyB2；第 3 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如 ABx 轴,就A x A名师总结B优秀学问点xAx B；,0,B x,0的距离为如 ABy 轴,就A 0,yA,B0,y B的距离为2yAy ；点A xA,yA到原点之间的距离为x A2y A点的坐标方法： x 轴上的点纵坐标为0,y 轴上的点横坐标为0；如两个点关于 x 轴对称,就他们的横坐标相同, 纵坐标互为
7、相 反数；如两个点关于 y 轴对称,就它们的纵坐标相同, 横坐标互为相 反数；如两个点关于原点对称, 就它们的横坐标互为相反数, 纵坐标 也互为相反数；一次函数 y=kx+b （k0）中 k、b 的意义：k称为斜率 表示直线 y=kx+b （k0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线 y=kx+b（k0）与 y 轴交点的,也表示直线在 y 轴上的；同一平面内,不重合的两直线0）的位置关系：y=k 1x+b 1（k10）与 y=k2x+b 2（k2当时,两直线平行；当时,两直线垂直；y 轴上同一点；当时,两直线相交；当时,两直线交于特殊直线方程：名师归纳总结 X 轴 : 直线Y 轴 : 直线第 4
8、 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点与 X 轴平行的直线 一、 三象限角平分线待定系数法求解析式 方法：依据两个独立的条件确定 y=kx+b （k0）的解析式；与 Y 轴平行的直线 二、四象限角平分线k,b 的值,即可求解出一次函数 已知是直线或一次函数可以设 y=kx+b （k0）； 如点在直线上,就可以将点的坐标代入解析式构建方程；平移方法：直线 y=kx+b 与 y 轴交点为（ 0,b）,直线平移就直线上的点（0,b）也会同样的平移,平移不转变斜率 解析式求出 b 即可；k,就将平移后的点代入直线 y=kx+b
9、 向左平移 2 向上平移 3 y=kx+2+b+3; （“ 左加右 减,上加下减”）；交点问题及直线围成的面积问题 方法：两直线交点坐标必满意两直线解析式,析式求方程组的解；求交点就是联立两直线解复杂图形“ 外补内割” 即：往外补成规章图形,或分割成规章图形（三角形）；往往挑选坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高；二次函数 I.定义与定义表达式名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a,b,c 为常数,a0,且 a 打
10、算函数的开口方向, a0时,开口方向向上, a0 时,y=ax-h2 的图象可由抛物线 单位得到,y=ax2 向右平行移动 h 个当 h0,k0 时,将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位,再向上移动k 个单位,就可以得到y=ax-h2 +k 的图象；当 h0,k0 时,将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=ax-h2+k 的图象；当 h0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k 个单位可得到 y=ax-h2+k 的图象；当 h0,k0 时,开口向上,当 a0 ,当 x -b/2a 时,y 随 x 的增 大而减小；当 x -b/2a
11、时,y 随 x 的增大而增大如 a0 ,图像与 x 轴交于两点 Ax.,0和 Bx.,0,其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 a0的两根这两点间的距离 AB=|x .-x.| 当=0图像与 x 轴只有一个交点；当0 时,图像落在 x 轴的上方, x 为任何实数时,都有 y0；当 a0 时,图像落在 x 轴的下方, x 为任何实数时,都有 y0a0时,开口方向向上, a0 时 当 b2-4ac=0 时 x1=x2=-b/2a 一般式折叠y=ax2+bx+ca,b,c 为常数 ,a0 顶点式折叠x 是自变量,y 是 x 的二次函数；抛物线的顶点 Ph,k :y=ax-h2+k
12、a,h,k 为常数 ,a0 交点式折叠仅限于与 x 轴有交点Ax 1,0 和 Bx2,0 的抛物线:y=ax-x 1x-x2a,x 1,x2 为常数 ,a0 3 种形式的转化一般式和顶点式 对于二次函数 y=ax2+bx+c,其顶点坐标为 -b/2a,4ac-b2/4a,即名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点h=-b/2a=x 1+x2/2 k=4ac-b2/4a 一般式和交点式 x1,x2=-b b2-4ac/2a即一元二次方程求根公式 抛物线的性质折叠1.抛物线是轴对称图形；对称轴为直线 x
13、 = -b/2a；对称轴与抛物线唯独的交点为抛物线的顶点 P；特殊地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是y 轴即直线 x=0 2.抛物线有一个顶点 P,坐标为 P -b/2a ,4ac-b2/4a 当-b/2a=0 ,即 b=0时, P 在 y 轴上;当 = b2-4ac=0 时,P 在 x 轴上；3.二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小；当 a0 时,抛物线开口向上 ;当 a0 ,对称轴在 y 轴左; b0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点；= b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点；= b2-4ac0 时,函数在 x= -b/2a 处取得最小值 f-b/2a= 4ac-
14、b2/4a; 在x|x-b/2a 上是增函数 ;抛物线的开口向 上;函数的值域是 y|y4ac-b2/4a 相反不变当 b=0 时,抛物线的对称轴是 变形为 y=ax2+ca 0 7.定义域 :R 值域:对应解析式,且只争论y 轴,这时,函数是偶函数,解析式a 大于 0 的情形, a 小于 0 的情形请读者自行推断 4ac-b2/4a ,正无穷 ;k,正无穷 8.奇偶性 :非奇非偶 当且仅当 b=0 时,函数解析式为 fx=ax2+c, 此 时为偶函数 周期性 :无 解析式 : y=ax2+bx+c 一般式 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 23 页精选学习资料 - -
15、 - - - - - - - 名师总结 优秀学问点a0,a、b、c 为常数；a0,就抛物线开口朝上 ;a0,图象与 x 轴交于两点 :-b+ /2a ,0和-b- /2a,0; =0,图象与 x 轴交于一点 :-b/2a ,0; 1 6 70a1,且 n N*负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是n0,记作n0a0；0 a a当 n 是奇数时,nana,当 n 是偶数时,an|a| a0 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：amnama,0m ,nN* n1 am1n1m a0 ,m ,nN* n1nnmaan0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（
16、1）a ararsa0,r,s,R；r a sarss（2）a0,r,sR ；abrara（3）a0,rsR （二）指数函数及其性质名师归纳总结 1、指数函数的概念：一般地,函数yaxa0 ,且a1 叫做指数函数,第 18 页,共 23 页其中 x 是自变量,函数的定义域为R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2、指数函数的图像和性质a1 60a1 666554433221111-40-22 4-40-22 4-1-1定义域 R 定义域 R 值域 y0 值域 y0 在 R 上单调递
17、增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图像都过定点（ 0,1）函数图像都过定点（ 0,1）留意：利用函数的单调性,结合图像仍可以看出：（1）在a,b上,fx1axa0 且a1 值域是fa,fb 或fb,fa；x；fx取遍全部正数当且仅当xR；（2）如x0,就ffxaxa0 且a1 ,总有f1 a；（3）对于指数函数指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的争论就可以知道,要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域, 就只有使得不同大小影响 函数图形的情形；可以看到：（1） 指数函数的定义域为全部实数的集合,这里的前提是 a 大于 0,对于 a 不大于 0 的情形,就必定使得函数的定义
18、域不存在连续的区间,因此我们不予考虑；名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（2） 指数函数的值域为大于 0 的实数集合；（3） 函数图形都是下凹的；（4） a 大于 1,就指数函数单调递增； a 小于 1 大于 0,就为单调递减的；（5） 可以看到一个明显的规律,就是当a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于 0）,函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置； 其中水平直线 y=1 是从递减到递
19、增的一个过渡位置；（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于（7） 函数总是通过（ 0,1）这点；（8） 明显指数函数无界；函数奇偶性注图：（ 1）为奇函数（ 2）为偶函数 1定义 一般地,对于函数 fx （1）假如对于函数定义域内的任意一个 函数 fx就叫做奇函数；X 轴,永不相交；x,都有 f-x= fx,那么（2）假如对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f-x=fx ,那么函数 fx就叫做偶函数；（3）假如对于函数定义域内的任意一个x,f-x=-fx 与 f-x=fx同时成立,那么函数 fx既是奇函数又是偶函数, 称为既奇又偶函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共
20、 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（4）假如对于函数定义域内的任意一个x,f-x=-fx 与 f-x=fx 都不能成立,那么函数 fx既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数；说明：奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言奇、偶函数的定义域肯定关于原点对称,假如一个函数的定义域不关于原点对称,就这个函数肯定不是奇（或偶）函数；（分析：判定函数的奇偶性, 第一是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格依据奇、偶性的定义经过化简、整理、再与 fx 比较得出 结论）判定或证明函数是否具有奇偶性的依据是定义 2奇偶函数图像的特点：y 定理 奇函数的图像
21、关于原点成中心对称图表,偶函数的图像关于 轴或轴对称图形；fx为奇函数的图像关于原点对称 点（x, y）（-x,-y ）奇函数在某一区间上单调递增,就在它的对称区间上也是单调递增；偶函数 在某一区间上单调递增,就在它的对称区间上单调递减；名师归纳总结 3. 奇偶函数运算. 第 21 页,共 23 页1 两个偶函数相加所得的和为偶函数. 2 两个奇函数相加所得的和为奇函数. 3 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点4 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . 5 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 . 6 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 . 函数定义域（高中函数定义） 设 A,B 是两个非空的数集, 假如按某个确定的 对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确 定的数 f