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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数综合题 等腰三角形一解答题（共30 小题）1, 3）,并经过点C（ 2,0）1（ 2022.新余模拟）如图,已知二次函数图象的顶点为（1）求该二次函数的解析式；（2）直线 y=3x 与该二次函数的图象交于点B（非原点）,求点 B 的坐标和 AOB 的面积；（3）点 Q 在 x 轴上运动,求出全部 AOQ 是等腰三角形的点 Q 的坐标22（ 2022 秋.怀宁县校级月考）如图,二次函数 y= x +mx+3 的图象与 y 轴交于点 A ,与 x轴的负半轴交于点 B,且 AOB 的面积为 6（1）求该二次函数的表达式；（2
2、）假如点 P 在 x 轴上,且 ABP 是等腰三角形,请直接写出点 P 的坐标3（ 2022.淮安）如图已知二次函数 y= x 2+bx+3 的图象与 x 轴的一个交点为 A（4,0）,与 y 轴交于点 B（1）求此二次函数关系式和点 B 的坐标；（2）在 x 轴的正半轴上是否存在点P使得 PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4（ 2022.曲靖模拟）如图,已知二次函数 y=ax 2 4x+c 的图象与坐标轴交于
3、点 A（ 1,0）和点 C（0,5）x 轴的另一个交点B 的坐标（1）求该二次函数的解析式和它与（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点 M 的坐标,使得 OPM 是等腰三角形P（2, 2）,连接 OP,找出 x 轴上全部点5（ 2022 秋.密云县期末）已知二次函数y=ax2 +bx+c 的图象分别经过点（0,3）（3,0）（2, 5）,（1）求这个二次函数的解析式；（2）如这个二次函数的图象与x 轴交于点 C、D（C 点在点 D 的左侧）,且点 A 是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使 ABC 是等腰三角形,求出点B 的坐标6（ 2022.海淀区二模）已知二次函数y=
4、ax2+bx+c 的图象分别经过点（0,3）,（3,0）,（2, 5）求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）如设这个二次函数图象与x 轴交于点 C,D（点 C 在点 D 的左侧）,且点 A 是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使 ACB 是等腰三角形,求出点B 的坐标7（ 2006.松江区二模）如图,已知二次函数y=x2+bx+c （c0）的图象经过点A （ 2,m）（m0）,与 y 轴交于点 B,AB x 轴,且 3AB=2OB （1）求 m 的值；（2）求二次函数的解析式；（3）假如二次函数的图象与x 轴交于 C、D 两点（点 C 在左恻）问
5、线段 BC 上是否存在点名师归纳总结 P,使 POC 为等腰三角形？假如存在,求出点P 的坐标；假如不存在,请说明理由第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x 轴交于 A、 B8（ 2022 秋.永新县校级月考）已知二次函数y=（ x 1）（x 4）的图象与两点（ A 在 B 的左边）,与 y 轴交于点 C（1）求出 A 、B、 C 三点的坐标；（2）求 ABC 的面积；（3）在 y 轴上是否存在点P,使 P、A 、C 能组成以 AC 为腰的等腰三角形？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,说明理由9（ 2022.德
6、宏州）如图,已知直线y=x 与抛物线交于 A、B 两点（1）求交点 A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y1,二次函数的函数值为y2如 y1 y2,求 x 的取值范畴；（3）在该抛物线上存在几个点,使得每个点与 少于 3 个满意条件的点 P 的坐标AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不10（2022.曲阜市模拟）设二次函数 y=ax 2+bx+c （a0）的图象与 x 轴的两个交点 A（x1,0）, B（x2, 0）,抛物线的顶点为 C,明显 ABC 为等腰三角形（1）当 ABC 为等腰直角三角形时,求 b2 4ac 的值；（2）当 ABC 为等边三角形时,求 b2 4ac
7、的值211（2022.赤峰）已知二次函数 y=ax +bx 3a 经过点 A（ 1,0）、C（0,3）,与 x 轴交于另一点 B,抛物线的顶点为 D（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB ,求证： BCD 是直角三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得 PDC 为等腰三角形？如存在,求出符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由xOy 中,二次函数y= x2+bx+c 的图象12（2022 秋.本溪期末）如图,在平面直角坐标系与 x
8、 轴相交于点 A（ 4,0）,与 y 轴相交于点 B（0, 4）,动点 C 是从点 A 动身,向 O 点运动,到达 0 点时停止运动,过点 C 作 ECx 轴,交直线 AB 于点 D,交抛物线于点 E（1）求二次函数的解析式；（2）连接 OE 交 AB 于 F 点,连接 AE,在动点 C 的运动过程中, 如 AOF 的面积是 AEF面积的 2 倍,求点 C 的坐标？（3）在动点 C 的运动过程中, DEF 能否为等腰三角形？如能,请直接写出点F 的坐标；如不能,请说明理由13（2022.临川区模拟）如图,已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过三点A （ 1, 0）,B（3,0）,C（0,
9、 3）,它的顶点为M ,且正比例函数y=kx 的图象与二次函数的图象相交于 D、E 两点（1）求该二次函数的解析式和顶点 M 的坐标；（2）如点 E 的坐标是（ 2, 3）,且二次函数的值小于正比例函数的值时,试依据函数图象求出符合条件的自变量 x 的取值范畴；（3）摸索究：抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PAC 为等腰三角形？假如存在,请直接写出点 P 的坐标；假如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14（2006.孝感）如图,已知二次函数学习必备x欢迎下载M ,与 yy=2 +bx+c 的图象
10、与 x 轴只有一个公共点轴的交点为 A ,过点 A 的直线 y=x+c 与 x 轴交于点 N,与这个二次函数的图象交于点 B（1）求点 A 、B 的坐标（用含 b、 c 的式子表示） ；（2）当 S BMN =4S AMN 时,求二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下,设点 P 为 x 轴上的一个动点,那么是否存在这样的点 P,使得以 P、A、M 为顶点的三角形为等腰三角形？如存在,请写出符合条件的全部点 P 的坐标； 如不存在,请说明理由15（2022.东营模拟）如图,已知二次函数y= x2+bx+c（c0）的图象与x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧）,与 y 轴交于点 C,
11、且 OB=OC=3 ,顶点为 M （1）求二次函数的解析式；（2）点 P为线段 BM 上的一个动点,过点P 作 x 轴的垂线 PQ,垂足为 Q,如 OQ=m ,四边形 ACPQ 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数解析式,并写出 m 的取值范畴；（3）探究：线段 BM 上是否存在点 N,使 NMC 为等腰三角形？假如存在,求出点 N 的坐标；假如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16（2022.徐州）如图,已知二次函数学习必备欢迎下载的图象与 y 轴交于点 A,与 x 轴交y=于 B、C 两点,
12、其对称轴与x 轴交于点 D,连接 AC ；（1）点 A 的坐标为,点 C 的坐标为（2）线段 AC 上是否存在点E,使得 EDC 为等腰三角形？如存在,求出全部符合条件的点 E 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）点 P为 x 轴上方的抛物线上的一个动点,连接 就 S 取何值时,相应的点 P 有且只有 2 个？PA、PC,如所得 PAC 的面积为 S,17（2022.呼伦贝尔）如图,已知二次函数 y=ax 2+bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A、C,与 y轴相交于点 B,A （）,且 AOB BOC （1）求 C 点坐标、 ABC 的度数及二次函数y=ax2+bx+3 的关系式；（2）在线
13、段 AC 上是否存在点 M （m,0）使得以线段 BM 为直径的圆与边 BC 交于 P 点（与点 B 不同）,且以点 P、 C、O 为顶点的三角形是等腰三角形？如存在,求出 m 的值；如不存在,请说明理由18（2022.廊坊一模）如图,二次函数y=ax2+x+c 的图象与x 轴交于点 A 、B 两点,且 A名师归纳总结 点坐标为（2,0）,与 y 轴交于点 C（0,3）第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B 的坐标为；求出满意条件的P 点坐标；（3）在 x 轴是否存
14、在一点P,使 ACP 是等腰三角形？如存在,如不存在,请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC 的面积最大？如存在,恳求出 Q 点坐标及面积的最大值；如不存在,请说明理由19（2022.景宁县模拟） 已知二次函数y= x2+4x+5 图象交 x 轴于点 A、B,交 y 轴于点 C,点 D 是该函数图象上一点,且点 D 的横坐标为 4,连 BD ,点 P 是 AB 上一动点（不与点 A重合）,过 P 作 PQAB 交射线 AD 于点 Q,以 PQ 为一边在 PQ 的右侧作正方形 PQMN 设点 P 的坐标为（ t,0）（1）求点 B,C, D 的坐标及射线 AD
15、 的解析式；（2）在 AB 上是否存在点 P,使 OCM 为等腰三角形？如存在,求正方形 PQMN 的边长；如不存在,请说明理由；（3）设正方形 PQMN 与 ABD 重叠部分面积为 s,求 s 与 t 的函数关系式20（2022.徐州）如图,二次函数 y= x 2+bx 的图象与 x 轴交于点 A（ 3,0）和点 B,以 AB 为边在 x 轴上方作正方形ABCD ,点 P 是 x 轴上一动点,连接DP,过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E（1）请直接写出点 D 的坐标：；（2）当点 P 在线段 AO （点 P 不与 A 、O 重合）上运动至何处时,线段 OE 的长有最大值,求出这个
16、最大值；（3）是否存在这样的点P,使 PED 是等腰三角形？如存在,恳求出点 P的坐标及此时 PED与正方形 ABCD 重叠部分的面积；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x 轴交与 A ,B 两21（2022.鞍山一模）如图,已知二次函数y=ax2+bx+8 （a0）的图象与点,与 y 轴交与点 C,已知点 A 的坐标为（2,0）,sinABC=,点 D 是抛物线的顶点,直线 DC 交 x 轴于点 E（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）在直线 CD 上是否存在一点Q
17、,使以 B,C,Q 为顶点的三角形是等腰三角形？如存在,请直接写出点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）点 P是直线 y=2x 4 上一点,过点 P 作直线 PM 垂直于直线 CD ,垂足为 M ,如MPO=75 ,求出点 P 的坐标22（2022.菏泽）如图,三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,点 A、 C 分别是一次函数 y=x+3 的图象与 y 轴、 x 轴的交点,点B 在二次函数的图象上,且该二次函数图象上存在一点D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形（1）试求 b,c 的值,并写出该二次函数表达式；（2）动点 P 从 A 到 D,同时动点Q 从 C 到 A 都以每
18、秒 1 个单位的速度运动,问：名师归纳总结 当 P 运动到何处时,有PQAC ？PDCQ 的面积是多少？第 8 页,共 13 页 当 P 运动到何处时,四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 23（2022.北塘区二模）已知二次函数学习必备欢迎下载y=mx2 5mx+1 （m 为常数, m 0）,设该函数图象与 y 轴交于点 A ,图象上一点（1）求点 A 、B 的坐标；B 与点 A 关于该函数图象的对称轴对称（2）点 O 为坐标原点,点M 为函数图象的对称轴上一动点,求当M 运动到何处时 MAO的周长最小；（3）如该函
19、数图象上存在点P 与点 A、B 构成一个等腰三角形,且 PAB 的面积为 10,求m 的值24（2022.黔东南州）如图,已知二次函数y1= x2+x+c 的图象与 x 轴的一个交点为A（4,0）,与 y 轴的交点为B,过 A、B 的直线为 y2=kx+b （1）求二次函数 y1 的解析式及点 B 的坐标；（2）由图象写出满意 y1 y2 的自变量 x 的取值范畴；（3）在两坐标轴上是否存在点P,使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？如存在,求出 P 的坐标；如不存在,说明理由25（2022.曲靖一模）如图,直线y=x+2 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,已知二次函数的图象
20、经过点 B、C 和点 A（ 1,0）（1）求 B、 C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）如抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D,就在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PCD是以 CD 为腰的等腰三角形？假如存在,直接写出P 点的坐标；假如不存在,请说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（4）点 E 是线段 BC 上的一个动点,过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F,当点 E 运动到什么位置时,四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标26（
21、2022.怀集县二模）如图, ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,点A、C 分别是一次函数 y=x+3 的图象与 y 轴、 x 轴的交点,点 B 在二次函数 y= x2+bx+c 的图象上,且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形（1）试求点 B、D 的坐标,并求出该二次函数的解析式；（2）P、Q 分别是线段 AD 、CA 上的动点,点 P 从 A 开头向 D 运动,同时点 Q 从 C 开头向 A 运动,它们运动的速度都是每秒 1 个单位,求： 当 P 运动到何处时, APQ 是直角三角形？ 当 P 运动到何处时,四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDC
22、Q 的面积是多少？227（2022.铜仁市）如图,关于 x 的二次函数 y=x +bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1,0）和点 B 与 y 轴交于点 C（0, 3）,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P,使 PBC 为等腰三角形？如存在恳求出点 P 的坐标）；（3）有一个点 M 从点 A 动身,以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动,另一个点 N从 点 D 与点 M 同时动身,以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点 M 到达点 B 时,点 M 、N 同时停止运动,问点 大面积M 、N 运动到何处时, MN
23、B 面积最大,试求出最名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 28（2022.丹东）如图,已知二次函数学习必备2+欢迎下载A（0, 4）,与 xy=axx+c 的图象与 y 轴交于点轴交于点 B、C,点 C 坐标为（ 8,0）,连接 AB 、AC （1）请直接写出二次函数y=ax2 +x+c 的表达式；（2）判定 ABC 的外形,并说明理由；（3）如点 N 在 x 轴上运动,当以点 出此时点 N 的坐标；A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写（4）如点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合）,过点
24、 N 作 NM AC ,交 AB 于点 M ,当 AMN 面积最大时,求此时点 N 的坐标29（2022.无锡）如图,直线x= 4 与 x 轴交于点 E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点 A,交直线 x= 4 于点 B,过 B 且平行于 x 轴的直线与抛物线交于点 C,直线 OC交直线 AB 于 D,且 AD ： BD=1： 3（1）求点 A 的坐标；（2）如 OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 30（2022.遵义）如图,二次函数y=学习必备欢迎下载x2+bx+
25、c 的图象与 x 轴交于 A（3,0）,B（ 1,0）,与 y 轴交于点 C如点 P,Q 同时从 A 点动身,都以每秒1 个单位长度的速度分别沿AB ,AC 边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；x 轴上是否存在点E,使得以 A,E,（2）当点 P 运动到 B 点时,点 Q 停止运动,这时,在Q 为顶点的三角形为等腰三角形？如存在,恳求出E 点坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 （3）当 P,Q 运动到 t 秒时, APQ 沿 PQ 翻折,点 A 恰好落在抛物线上D 点处,请判定第 12 页,共 13 页此时四边形APDQ 的外形,并求出D 点坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数综合题 等腰三角形参考答案名师归纳总结 一解答题（共30 小题）； 4； 5； 6；第 13 页,共 13 页1； 2； 37； 8； 9； 10；11；1213；14；15；16（0,4）；（8,0）；17；18（6,0）；19；20（-3,4）；2122；23；24；25；26；27；28；29；30；- - - - - - -