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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三节学习必备欢迎下载二元一次不等式组与简洁的线性规划问题备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1.会从实际情境中抽象出1. 考查形式：挑选题或填空题二元一次不等式组2.命题角度：2.明白二元一次不等式的1求目标函数的最大值或最小值,或以最值为载体求其参数的几何意义,能用平面区域 值 范畴 ,如 20XX 年广东 T5,新课标全国 T14,山东 T5 等表示二元一次不等式组2利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案,如 20XX 年3.会从实际情境中抽象出 江西 T8 等一些简洁的二元线性规划3将线性规划问题与其他学问相结合,如向量、不等式、导
2、数问题,并能加以解决. 等相结合命题,如20XX 年陕西 T14,福建 T9 等. 归纳 学问整合 1二元一次不等式表示的平面区域1一般地, 在平面直角坐标系中,二元一次不等式AxBy C0 表示直线 Ax ByC0 某一侧的全部点组成的平面区域半平面 不包括边界直线不等式 AxByC0 所表示的平面区域 半平面 包括边界直线2对于直线 AxByC0 同一侧的全部点x,y,使得 AxByC 的值符号相同,也就是位于同一半平面的点,其坐标适合 AxByC0；而位于另一个半平面内的点,其坐标适合 AxByC0. 3可在直线 AxByC0 的某一侧任取一点,一般取特殊点 的符号来判定 AxByC0或
3、 AxByC0所表示的区域x0,y0,从 Ax0By0C4由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分2线性规划中的基本概念名师归纳总结 名称意义第 1 页,共 20 页约束条件由变量 x,y 组成的不等式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载线性约束条件 由 x,y 的一次不等式 或方程 组成的不等式 组 目标函数 关于 x,y 的函数解析式,如 z2x 3y 等线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式可行解 满意线性约束条件的解 x,y 可行域 全部可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或
4、最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题探究 1.点 P1x1,y1和 P2x2,y2位于直线 AxByC0 的两侧的充要条件是什么？提示： Ax1By1CAx 2By2C0. 2可行解与最优解有何关系？最优解是否唯独？提示： 最优解必定是可行解,但可行解不肯定是最优解,最优解不肯定唯独自测 牛刀小试 1教材习题改编 不等式 x2y60,代入 x 2y2 得 10,即点 1,1在 x2y2 0 的内部,在元一次不等式组为xy10,x2y20.xy10 的内部,故所求二4以下各点中,与点 1,2位于直线 xy1 0 的同一侧的是 A0,0 B1,1 C1,3
5、 D2, 3 解析： 选 C 当 x1,y2 时, x y112120,当 x 1, y3 时, xy1 13110,故1,3与1,2位于直线 xy10 的同侧名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载xy 1,52022 广东高考 已知变量x,y 满意约束条件xy 1,就 zx2y 的最小值为x10, B1 A3 C 5 D 6 xy1,解析： 选 C变量 x,y 满意的不等式组xy1,表示的平面区域如下列图,作辅x10助线 l0：x2y 0,并平移到过点A1, 2时, zx2y 达到最小,最小值为5.
6、 二元一次不等式组表示的平面区域x y30,例 12022 福建高考 如直线 y2x 上存在点 x,y满意约束条件x 2y30,就x m,实数 m 的最大值为 B1 D2 A 1 3 C. 2自主解答 如下列图：约束条件xy3 0,x2y30,表示的可行域如阴影部分所示当直xm名师归纳总结 线 x m 从如下列图的实线位置运动到过A 点的位置时,m 取最大值解方程组第 4 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x y30,学习必备欢迎下载1. 得 A 点坐标为 1,2,故 m 的最大值是y 2x,答案 B 二元一次不等式表示的平面区域的画法
7、在平面直角坐标系中,设有直线AxByC 0B 不为 0及点 Px0,y0,就1如 B0,Ax0By0C0,就点 P 在直线的上方, 此时不等式 AxByC0 表示直线Ax ByC0 的上方的区域2如 B0,Ax0By0C0,就点 P 在直线的下方, 此时不等式 AxByC0,就截距z b取最大值时, z 也取最大值；截距z b取最小值时, z 也取最小值m第 10 页,共 20 页2如 b0,2x1,x0,D 是由 x 轴和曲线yfx及该曲线在点 1,0处的切线所围成的封闭区域,就zx 2y在 D 上的最大值为 _解析： 当 x0 时,求导得 fx1 x,所以曲线在点 1,0处的切线的斜率 k
8、 1,切线方程为 y x1,画图可知区域 D 为三角形, 三个顶点的坐标分别为1 2,0 ,0,1,1,0,平移直线 x2y0,可知在点 0, 1处 z 取得最大值 2. 答案： 2 一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 x0,1不等式组x3y4,所表示的平面区域的面积等于 3xy4A.3 2B.2 3D.3 4C.4 3解析： 选 C平面区域如图解x3y4,3xy4,得 A1,1,名师归纳总结 易得 B0,4,C 0,4 3,第 13 页,共 20 页|BC|44 38 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S ABC128
9、3 14 3. 学习必备欢迎下载|x|y|,2在平面直角坐标系 xOy 中,满意不等式组 的点 x,y的集合用阴影表示为|x|1以下图中的 解析：选 C |x|y|把平面分成四部分,|x|y|表示含 y 轴的两个区域； |x|0,就y x的取值范畴是 y2,名师归纳总结 A0,2 B0,2 第 14 页,共 20 页C2, D2, 解析： 选 D画出线性约束条件的可行域如图 y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由xy10,得 A1,2,学习必备欢迎下载y2,故 kkOA2. y x2. xy10,5
10、2022 辽宁高考 设变量 x,y 满意 0xy20,0y15,就 2x3y 的最大值为 A20 B35 C45 D55 解析：选 D 作出不等式组对应的平面区域 如下列图 ,平移直线 y2 3x,易知直线经过可行域上的点 A5,15时, 2x3y 取得最大值 55. 62022 衡水模拟 点 P2,t在不等式组xy40,表示的平面区域内,就点 P2,xy30,t到直线 3x4y100 距离的最大值为 A2 B4 C6 D8 解析： 选 B画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示结合图形可知,点 A 到直线 3x4y100 的距离最大由x 2 |3 24 110|得 A 点坐标为 2,1,故
11、所求最大距离为 dmax4. x y30 3 24 2二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 7已知点 3, 1和点 4, 6在直线 3x2ya0 的两侧,就 a 的取值范畴为_解析： 依据题意知 92a 1212a0,即a7a240,解得 7a24. 答案： 7,24 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x4y30,82022 濮阳模拟 已知点 A2,0,点 P 的坐标 x,y满意3x 5y25,就|OP | cosx10,AOP O 为坐标原点 的最大值是 _解析： |O
12、P | cosAOP 即为 OP 在 OA 上的投影,即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值由x4y30,可得交点的坐标为5,2,此时3x 5y25,|OP | cosAOP 取值最大,|OP | cosAOP 的最大值为 5. 答案： 5 9某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品 5件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为 _元解析： 设租赁甲设备
13、x 台,乙设备 y 台,5x6y 50,10x20y140,就xN *,yN *,设租赁费用为 w,w200x300y. 约束条件构成的平面区域如图：解5x6y50,10x20y140,得 A4,5w min200 4300 52 300. 答案： 2 300 名师归纳总结 三、解答题 本大题共 3 小题,每道题12 分,共 36 分 第 16 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载xy50,102022 合肥模拟 画出不等式组xy0,表示的平面区域, 并回答以下问题：x3 1指出 x,y 的取值范畴；2平面区域内有多少个
14、整点？解： 1不等式 x y50 表示直线 xy50 上及其右下方的 点的集合, xy0 表示直线 xy0 上及其右上方的点的集合,x3 表示直线 x3 上及其左方的点的集合xy5 0,所以,不等式组xy0,表示的平面区域如下列图x3结合图中可行域得 x5 2, 3 ,y3,8xyx5,2由图形及不等式组知5 2x3,且 xZ,当 x3 时, 3y8,有 12 个整点；当 x2 时, 2y7,有 10 个整点；当 x1 时, 1y6,有 8 个整点；当 x0 时, 0y5,有 6 个整点；当 x 1 时, 1y4,有 4 个整点；当 x 2 时, 2y3,有 2 个整点；平面区域内的整点共有2
15、468101242个11设 x,y 满意约束条件xy50,求 zx12y 2 的最大值xy0,x3,xy50,解： 作出不等式组xy0,表示的平面区域,如图中x3名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载阴影部分所示x 12y2 可看作点 x,y到点 P 1,0的距离的平方,由图象可知可行域内的点A 到点 P1,0的距离最大解方程组zx1x 3,x y50,得 A 点的坐标为 3,8,代入2y 2,得 zmax3128 280. xy 1,122022 黄山模拟 如 x,y 满意约束条件 xy 1,2x
16、 y2,1求目标函数z1 2xy1 2的最值a 的取值范畴2如目标函数z ax2y 仅在点 1,0处取得最小值,求解： 1作出可行域如图,可求得 平移初始直线1 2xy1 20,过 取最大值 1. A3,4,B0,1,C1,0A3,4取最小值 2,过 C1,0z 的最大值为 1,最小值为 2. 2直线 ax2yz 仅在点 1,0处取得最小值,由图象可知1a 22,解得 4a1,在约束条件ymx,下,目标函数zxmy 的最大值小于2,就 m 的xy1取值范畴为 B12, A1,12 C1,3 D3, yx,解析： 选 Am1,由ymx,画出可行域,如下列图xy1,名师归纳总结 对于目标函数zxmy,即ymx得第 19 页,共 20 页y1 mxm,平移直线 y 1 mx 到 B 处 z 取值最大,就由xy1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B1,m1m m1,zmax学习必备欢迎下载21m 2. m 1 m1名师归纳总结 解得 12m1,1m12. - - - - - - -