《2022年2022年快速提高高考函数的解题技巧 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年快速提高高考函数的解题技巧 .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习好资料欢迎下载29设函数13( )ln122f xaxxx，其中在aR，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线垂直于y轴（）求a 的值；（）求函数( )f x极值30已知函数)1lg()(xxf.（1）若1)()21(0 xfxf，求x的取值范围； （6 分）（ 2）若)(xg是以2 为周期的偶函数，且当10 x时，有)()(xfxg，求函数)(xgy)2, 1(x的反函数 . （8 分）31 、 （本小题满分16 分）已知a，b是实数，函数,)(,)(23bxxxgaxxxf)(xf和)(xg是)(),(xgxf的导函数， 若0)()(xgxf在区间 I 上恒成立， 则称)(xf和
2、)(xg在区间 I 上单调性一致（1）设0a，若函数)(xf和)(xg在区间), 1上单调性一致, 求实数 b 的取值范围；（2）设,0a且ba，若函数)(xf和)(xg在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b| 的最大值。32若函数)(xfy在0 xx处取得极大值或极小值，则称0 x为函数)(xfy的极值点。已知ab，是实数， 1 和1是函数32( )f xxaxbx的两个极值点（1）求 a 和b的值；（2）设函数( )g x的导函数( )( )2gxf x，求( )g x的极值点；（3）设( )( )h xff xc，其中 22c，求函数( )yh x的零点个数33 （本小题满分1
3、4 分）设函数2( )ln(1)f xxbx, 其中0b.(I) 当12b时 , 判断函数( )f x在定义域上的单调性;(II)求函数( )fx的极值点 ;(III)证明对任意的正整数n, 不等式23111ln(1)nnn都成立 .34本小题满分14 分）（） 已知函数( )(1) (0)rf xrxxrx，其中 r 为有理数，且01r. 求( )f x 的最小值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢
4、迎下载（）试用（）的结果证明如下命题：设120,0aa，12,b b 为正有理数 . 若121bb，则12121 122bbaaa ba b ；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式1()xx.35已知 a0， bR，函数342fxaxbxab ( ) 证明：当 0 x1 时，( ) 函数 fx 的最大值为 |2a b| a；( ) fx |2a b| a0；( ) 若 1 fx 1 对 x0 ，1 恒成立，求ab 的取值范围36 （本题 15 分）设3( )3xf x，对任意实数t，记232( )3tgxt xt（I ）求函数(
5、)( )tyf xg x的单调区间；（II ）求证：（）当0 x时，( )f x g( )( )tf xgx对任意正实数t成立；（）有且仅有一个正实数0 x，使得00()()xtgxgx对任意正实数t成立参考答案29 ： （）1a（）极小值(1)3f【 解 析 】 ： （ ） 因13( )ln122f xaxxx， 故213( )22afxxx由于 曲 线( )yf x在点(1, (1)f处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即(1)0f，从而13022a，解得1a（）由（）知13( )ln1(0)22f xxxxx，2113( )22fxxx222321(31)(1)22xxxxxx令( )
6、0fx，解得1211,3xx（因213x不在定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载义 域 内 ， 舍 去 ） 当( 0,1)x时 ，()0fx故( )f x在(0,1)上 为 减 函 数 ； 当(1,)x时，( )0fx故( )f x在(1,)上为增函数，故( )f x在1x处取得极小值(1)3f【考点定位】 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定
7、等基础知识，考查运算求解能力30 （1）3132x；（2）xy103，2lg,0 x.【解析】解： （1）由01022xx，得11x.由1lg)1lg()22lg(0122xxxx得101122xx. 3 分因为01x，所以1010221xxx，3132x.由313211xx得3132x. 6 分（2）当x1,2时， 2-x0,1，因此)3lg()2()2()2()(xxfxgxgxgy. 10 分由单调性可得2lg,0y.因为yx103，所以所求反函数是xy103，2lg,0 x. 14 分【考点定位】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识，考查数形结合思想，要求熟练掌握指数函数、
8、对数函数、幂函数的图像与性质，属于中档题。31 （1）2b（2）max13ab【解析】 (1) 考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；（2）综合考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应用、化归及数形结合的思想，难题。（ 1 ） 因 为 函 数)(xf和)(xg在 区 间), 1上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ， 1,),( )( )0,xfx g x即 1,),x0,x2（3+a）(2x+b)0, 1,),0,ax2x+b即0, 1,),2;axbb2x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
9、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（ 2） 当ba时 ， 因 为 ，函数)(xf和)(xg在 区 间 （ b,a ） 上单 调 性 一 致， 所 以，( , ),( )( )0,xb afx gx即( , ),x0,xb a2（3+a）(2x+b)0,( , ),20baxb axb，2( , ),3,xb a ax23,bab设zab，考虑点 (b,a)的可行域，函数23yx的斜率为1 的切线的切点设为00(,)xy则0001161,612xxymax111()12
10、66z；当0ab时 ， 因 为 ， 函 数)(xf和)(xg在 区 间 （ a, b） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ，( , ),( )( )0,xa bfx gx即( , ),x0,xa b2（3+a）(2x+b)0,( , ),20bxa bxb，2( , ),3,xa b ax213,0,3aaamax1();3ba当0ab时 ， 因 为 ， 函 数)(xf和)(xg在 区 间 （ a, b） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ，( , ),( )( )0,xa bfx gx即( , ),(x0,xa b22x+b) （3+a）0,b而 x=0 时，x2（3+a）(2x+b)=
11、ab0,不符合题意，当0ab时，由题意：(,0 xa22x（3+a）2(,0),x0 xaaa23+a110,33aba综上可知，max13ab。32 （1）=3ab0，（2）( )g x的极值点是2（3）当=2c时，函数( )yh x有 5 个零点；当2c 时，函数( )yh x有 9 个零点。【解析】（1）求出)(xfy的导数，根据1 和1是函数)(xfy的两个极值点代入列方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -
12、学习好资料欢迎下载程组求解即可。（2）由（ 1）得，3( )3f xxx，求出( )gx，令( )=0g x，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分=2d和2d 讨论关于x的方程( )=fxd根的情况；再考虑函数( )yh x的零点解： （1）由32( )fxxaxbx，得2( )32f xxaxb。1 和1是函数32( )f xxaxbx的两个极值点， (1)32=0fab，( 1)32=0fab，解得=3ab0，。（2） 由（ 1）得，3( )3f xxx，23( )( )2=32=12g xf xxxxx，解得123=1=2xxx，。当2x时，( )0g x ；当21 x，=2x是( )g
13、x的极值点。当21 x时，( )0g x ， =1x不是( )g x的极值点。( )g x的极值点是2。（3）令( )=f xt，则( )( )h xf tc。先讨论关于x 的方程( )=f xd根的情况：2, 2d当=2d时，由（2 ）可知，( )=2f x的两个不同的根为I 和一 2 ，注意到( )f x是奇函数，( )=2f x的两个不同的根为一和2。当2d ，(1)= ( 2)=20fdfdd ，于是( )f x是单调增函数，从而( )(2)=2fx f。此时( )=f xd在2，无实根。 当1 2x，时( )0f x ，于是( )f x是单调增函数。又(1)0fd ，= ( )y f
14、 xd的图象不间断，( )=f xd在（ 1 , 2 ）内有唯一实根。同理，( )=f xd在（一 2 ，一 I ）内有唯一实根。 当1 1x，时，( )0f x ，(1)0fd ，= ( )y f xd的图象不间断，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载( )=f xd在（一 1，1 ）内有唯一实根。因此，当=2d时，( )=f xd有两个不同的根12xx，满足12=1=2xx，；当2d 时( )
15、=f xd有三个不同的根315xxx， ，满足2=3, 4, 5ix i，。现考虑函数( )yh x的零点：( i ）当=2c时，( )=f tc有两个根12tt，满足12=2tt1，。而1( )=f xt有三个不同的根，2( )=f xt有两个不同的根，故( )yh x有 5 个零点。( 11 ）当2c 时，( )=f tc有三个不同的根345ttt， ，满足2=3, 4, 5it i，。而=3,( ) 4, = 5if xti有三个不同的根，故( )yh x有 9 个零点。综上所述，当=2c时，函数( )yh x有 5 个零点；当2c 时，函数( )yh x有 9 个零点【考点定位】 本题
16、综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的应用，考查较全面系统， 要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解。本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大。33(I) ( )g x在1,2上递增， 在11,2上递减， 当12b时, 函数( )f x在定义域1,上单调递增。(II) 0b时，( )f x在1,上有唯一的极小值点21122bx；102b时，( )f x有一个极大值点11122bx和一个极小值点21122bx；12b时，函数( )f x在1,上无极值点。 (III) 证明
17、见解析【解析】解： (I) 函数2( )ln(1)f xxbx的定义域为1,.222( )211bxxbfxxxx，令2( )22g xxxb，则( )g x在1,2上递增，在11,2上递减，min11( )()22g xgb.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当12b时，min1( )02g xb，2( )220g xxxb在1,上恒成立 .( )0,fx即当12b时, 函数( )f x在定义
18、域1,上单调递增。（II ）分以下几种情形讨论：（1）由（ I ）知当12b时函数( )f x无极值点 .（2）当12b时，212()2( )1xfxx，11,2x时，( )0,fx1,2x时，( )0,fx12b时，函数( )f x在1,上无极值点。（3）当12b时，解( )0fx得两个不同解11122bx，21122bx.当0b时，111212bx，211212bx，121,1,xx此时( )f x在1,上有唯一的极小值点21122bx.当102b时，12,1,x x( )fx在121,xx都大于 0 ，( )fx在12(,)x x上小于 0 ，此时( )f x有一个极大值点11122bx
19、和一个极小值点21122bx.综上可知，0b时，( )f x在1,上有唯一的极小值点21122bx；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载102b时，( )f x有一个极大值点11122bx和一个极小值点21122bx；12b时，函数( )f x在1,上无极值点。（III） 当1b时，2( )ln(1).f xxx令332( )( )ln(1),h xxf xxxx则323(1)( )1xxh xx
20、在0,上恒正，( )h x在0,上单调递增，当0,x时，恒有( )(0)0h xh.即当0,x时，有32ln(1)0,xxx23ln(1)xxx，对任意正整数n，取1xn得23111ln(1)nnn34 （）函数( )f x 在1x处取得最小值(1)0f.（）见解析（） （） 中命题的推广形式为：设12,naaa 为非负实数，12,nbbb 为正有理数 . 若121nbbb，则12121 122nbbbnn na aaa ba ba b证明见解析【解析】本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归纳推理能力有较高要求。（）11( )(1)rrfxrrxrx，令( )
21、0fx，解得1x.当 01x时，( )0fx，所以( )f x 在 (0, 1)内是减函数；当1x时，( )0fx，所以( )f x 在 (1,) 内是增函数 .故函数( )f x 在1x处取得最小值(1)0f. （）由（）知，当(0,)x时，有( )(1)0f xf，即(1)rxrxr若1a ，2a 中有一个为0，则12121 122bbaaa ba b 成立；若1a ，2a 均不为 0，又121bb，可得211bb ，于是在中令12axa，1rb ，可得1111122()(1)baabbaa，即111121 121(1)bbaaa bab，亦即12121 122bbaaa ba b.综上，
22、对120,0aa，1b ，2b 为正有理数且121bb，总有12121 122bbaaa ba b . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（） （）中命题的推广形式为：设12,naaa 为非负实数，12,nbbb 为正有理数 . 若121nbbb，则12121 12 2nbbbnnna aaa ba ba b . 用数学归纳法证明如下：（1）当1n时，11b，有11aa ，成立 . （2）假设当
23、 nk 时，成立，即若12,ka aa 为非负实数，12,kb bb 为正有理数，且121kbbb，则12121 12 2kbbbkkka aaa ba ba b. 当1nk时，已知121,kka aaa为非负实数，121,kkb bbb为正有理数，且1211kkbbbb，此时101kb，即110kb，于是111212121121()kkkkbbbbbbbbkkkka aa aa aaa=12111111111121()kkkkkkbbbbbbbbkkaaaa.因121111111kkkkbbbbbb，由归纳假设可得1211111112kkkkbbbbbbkaaa1212111111kkkkk
24、bbbaaabbb1 12211kkka ba ba bb，从而112121kkbbbbkka aa a1111 122111kkbbkkkkaba ba bab. 又因11(1)1kkbb，由得1111 122111kkbbkkkka ba ba bab1 1221111(1)1kkkkkka ba ba bbabb1 12211kkkka ba ba bab，从而112121kkbbbbkka aa a1 12211kkkka ba ba bab.故当1nk时，成立 .由（ 1） （2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立. 说明： （）中如果推广形式中指出式对2n成立，则后续证明中不
25、需讨论1n的情况 .35( ) 见解析；( ) 1 3， 【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。( )( )2122fxaxb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当 b0 时，2122fxaxb 0 在 0 x1 上恒成立，此时 fx 的最大值为：1423fababab |2a b| a；当 b0 时，2122fxaxb 在 0 x1 上的正负性不能判断，此时
26、fx 的最大值为：max2max(0)1 max()332babafxffbaabab ba，（），()，|2a b| a；综上所述：函数fx 在 0 x1 上的最大值为 |2a b| a；( ) 要证 fx |2a b| a0，即证 g x fx |2a b| a亦即证 g x 在 0 x1 上的最大值小于( 或等于 )|2a b| a，342g xaxbxab ，令212206bgxaxbxa当 b0 时，2122gxaxb 0 在 0 x1 上恒成立，此时 g x 的最大值为：03gabab |2a b| a；当 b0 时，2122gxaxb 在 0 x1 上的正负性不能判断，maxma
27、x ()1 6bgxgga，（）4max2 36463662bbabbaabbababababa，|2a b| a；综上所述：函数g x 在 0 x1 上的最大值小于( 或等于 )|2a b| a即 fx |2a b| a0 在 0 x1 上恒成立( ) 由( ) 知：函数fx在 0 x1 上的最大值为 |2a b| a，且函数 fx 在 0 x1 上的最小值比(|2a b| a) 要大 1fx1 对 x0 ，1 恒成立，|2a b| a1取 b 为纵轴， a 为横轴名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
28、- - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载则可行域为：21baba和231baab，目标函数为zab作图如下：由图易得：当目标函数为za b 过 P(1，2) 时，有max3z，min1z所求 ab 的取值范围为：1 3， 36 （I ）函数的单调递增区间是(2)，(2)，单调递减区间是( 2 2)，（II ）证明见解析【解析】（I ）解：316433xyx由240yx，得2x因为当(2)x，时，y0，当( 2 2)x，时，0y，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
29、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当(2)x，时，0y，故所求函数的单调递增区间是(2)，(2)，单调递减区间是( 2 2)，（II ）证明：（i ）方法一：令2332( )( )( )(0)33txh xf xgxt xt x，则223( )h xxt，当0t时，由( )0h x，得13xt，当13()xx ，时，( )0h x，所以( )h x在(0)，内的最小值是13()0h t故当0 x时，( )( )tfxgx对任意正实数t成立方法二：对任意固定的0 x，令232( )( )(0
30、)3th tgxt xt t，则11332( )()3h ttxt，由( )0h t，得3tx当30tx时，( )0h t当3tx时，( )0h t，所以当3tx时，( )h t取得最大值331()3h xx因此当0 x时，( )( )f xg x对任意正实数t成立（ii ）方法一：8(2)(2)3tfg由（ i ）得，(2)(2)ttgg对任意正实数t成立即存在正实数02x，使得(2)(2)xtgg对任意正实数t成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13
31、 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载下面证明0 x的唯一性：当02x，00 x，8t时，300()3xf x，0016()43xgxx，由（ i ）得，30016433xx，再取30tx，得30300()3xxgx，所以303000016()4()33xxxgxxgx，即02x时，不满足00()()xtgxgx对任意0t都成立故有且仅有一个正实数02x，使得00()0()xtgxgx对任意正实数t成立方法二：对任意00 x，0016()43xgxx，因为0()tg x关于t的最大值是3013x，所以要使00()()xtgxgx对任意正实数成立的充分必要条件是：300161433xx，即200(2) (4)0 xx，又因为00 x，不等式成立的充分必要条件是02x，所以有且仅有一个正实数02x，使得00()()xtgxg x对任意正实数t成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -