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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数综合题一解答题（共14 小题）x= 1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B 两点,其中点A 的坐1（ 2022.重庆）如图,对称轴为直线标为（3,0）（1）求点 B 的坐标；（2）已知 a=1,C 为抛物线与 y 轴的交点 如点 P 在抛物线上,且 S POC=4S BOC求点 P 的坐标； 设点 Q 是线段 AC 上的动点,作 QD x 轴交抛物线于点 D,求线段 QD 长度的最大值2（2022.重庆）如图,已知抛物线 y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5, 0）,另
2、一个交点为 A,且与 y 轴交于点 C（0,5）（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）如点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN y 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下, MN 取得最大值时,如点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点,以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1, ABN 的面积为 S2,且 S1=6S2,求点 P 的坐标名师归纳总结 第 1 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3（2022.昭通）如图精品资料欢迎下载y
3、=ax2 +bx+c （a0）上1,已知 A （3, 0）、B（4,4）、原点 O（0,0）在抛物线（1）求抛物线的解析式（2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D,求 m 的值及点 D 的坐标（3）如图 2,如点 N 在抛物线上,且NBO= ABO ,就在（ 2）的条件下,求出全部满意 POD NOB 的点 P的坐标（点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应）4（2022.张家界）如图,抛物线 y=ax 2+bx+c（a0）的图象过点 C（ 0,1）,顶点为 Q（2,3）,点 D 在 x 轴正半轴上,且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）
4、求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证： CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下,如点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问：在 P 点和 F 点移动过程中, PCF 的周长是否存在最小值？如存在,求出这个最小值；如不存在,请说明理由5（2022.枣庄）如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧, B 点的坐标为（ 3,0）,与 y 轴交于 C（0, 3）点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2
5、）连接 PO、PC,并把 POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POPC,那么是否存在点 P,使四边形 POPC 为菱形？如存在,恳求出此时点 P 的坐标；如不存在,请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积名师归纳总结 第 2 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6（2022.营口）如图,抛物线与精品资料欢迎下载y 轴交于点 C（0,3）,设抛物线的顶x 轴交于 A（1,0）、B（ 3, 0）两点,与点为 D（1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标（2）
6、试判定 BCD 的外形,并说明理由（3）探究坐标轴上是否存在点P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与 BCD 相像？如存在,请直接写出点P 的坐标；如不存在,请说明理由7（2022.雅安）如图,已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 3,0）,B（1, 0）,C（0,3）三点,其顶点为D,对称轴是直线 l,l 与 x 轴交于点 H（1）求该抛物线的解析式；（2）如点 P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求 PBC 周长的最小值；y 轴的直线交抛物线于点F,（3）如图（2）,如 E 是线段 AD 上的一个动点 （ E 与 A、D 不重合）,过 E 点作平行于交 x 轴于点 G,设点 E
7、的横坐标为m, ADF 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系式； S 是否存在最大值？如存在,求出最大值及此时点 E 的坐标；如不存在,请说明理由8（2022.新疆）如图,已知抛物线 y=ax 2+bx+3 与 x 轴交于 A 、B 两点,过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C,其中A 点的坐标是（ 1,0）,C 点坐标是（ 4,3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点D,使 BCD 的周长最小？如存在,求出点D 的坐标,如不存在,请说明理由；（3）如点 E 是（ 1）中抛物线上的一个动点,且位于直线AC 的下方,试求 ACE 的最大面积及E 点的坐标名师
8、归纳总结 第 3 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9（ 2022.湘西州）如图,已知抛物线y=x精品资料欢迎下载C,如已知 A 点的2+bx+4 与 x 轴相交于 A 、B 两点,与 y 轴相交于点坐标为 A（ 2,0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标,连接 AC 、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判定 AOC 与 COB 是否相像？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使 ACQ 为等腰三角形？如不存在,求出符合条件的Q 点坐标；如不存在,请说明理由10（2022.湘潭）如图
9、,在坐标系xOy 中, ABC 是等腰直角三角形,BAC=90 ,A（1,0）,B（0,2）,抛物线 y=x2+bx 2 的图象过 C 点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线 l当 l 移动到何处时,恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点 P 是抛物线上一动点,是否存在点 P,使四边形 PACB 为平行四边形？如存在,求出 P 点坐标；如不存在,说明理由11（2022.遂宁）如图,抛物线y=x2 +bx+c 与 x 轴交于点 A（2,0）,交 y 轴于点 B（0,）直线 y=kx过点 A 与 y 轴交于点 C,与抛物线的另一个交点是D的解析式；（1）求抛物线y=
10、x2+bx+c 与直线 y=kx（2）设点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与点 A、D 重合）,过点 P 作 y 轴的平行线, 交直线 AD 于点 M ,作 DE y 轴于点 E探究：是否存在这样的点P,使四边形 PMEC 是平行四边形？如存在恳求出点P 的坐标； 如不存在,请说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）在（ 2）的条件下,作精品资料欢迎下载x,求 l 与 x 的函数关系式,PNAD 于点 N,设 PMN 的周长为 l ,点 P 的横坐标为并求出 l 的最大值12（2022.曲靖）
11、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点,过 A、B 两点的抛2物线为 y= x +bx+c 点 D 为线段 AB 上一动点,过点 D 作 CDx 轴于点 C,交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式（2）当 DE=4 时,求四边形CAEB 的面积D 坐标；如不存在,说明理由（3）连接 BE,是否存在点D,使得 DBE 和 DAC 相像？如存在,求此点13（2022.黔西南州）如图,已知抛物线经过（1）求抛物线的函数解析式A（ 2,0）,B（ 3, 3）及原点 O,顶点为 C （2）设点 D 在抛物线上, 点 E 在抛物线的对称轴上,且以 AO 为边的
12、四边形 AODE 是平行四边形, 求点 D 的坐标（3）P 是抛物线上第一象限内的动点,过点 P 作 PM x 轴,垂足为 M ,是否存在点 P,使得以 P,M , A 为顶点的三角形与 BOC 相像？如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由14（2022.攀枝花）如图,抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A（3,0）,B（1.0）,C（0, 3）（1）求抛物线的解析式；（2）如点 P 为第三象限内抛物线上的一点,设 PAC 的面积为 S,求 S 的最大值并求出此时点P 的坐标；第 5 页,共 33 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
13、- （3）设抛物线的顶点为精品资料欢迎下载M ,使得 ADM 是直角三角形？如存在,请直D,DEx 轴于点 E,在 y 轴上是否存在点接写出点 M 的坐标；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载20XX 年 10 月陈永的中学数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共14 小题）x= 1 的抛物线 y=ax2 +bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B 两点,其中点A 的坐1（ 2022.重庆）如图,对称轴为直线标为（3,0）（1）求点 B 的坐标；（2）已知 a=1,C 为抛物线与
14、y 轴的交点 如点 P 在抛物线上,且 S POC=4S BOC求点 P 的坐标； 设点 Q 是线段 AC 上的动点,作 QD x 轴交抛物线于点 D,求线段 QD 长度的最大值考点 ： 二次函数综合题专题 ： 压轴题A 点的坐标为（3,0）,分析：（ 1）由抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x= 1,交 x 轴于 A 、B 两点,其中依据二次函数的对称性,即可求得B 点的坐标；（ 2） a=1 时,先由对称轴为直线 2 y=x +2x 3,得到 C 点坐标,然后设x= 1,求出 b 的值,再将 B（1,0）代入,求出二次函数的解析式为2P 点坐标为（ x,x +2x 3）,依据 S
15、POC=4S BOC列出关于 x 的方程,解答：解方程求出x 的值,进而得到点P 的坐标； 先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y= x 3,再设 Q 点坐标为（ x, x 3）,就 D 点坐标为（ x,x2+2x 3）,然后用含 x 的代数式表示 QD ,依据二次函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大值2解：（1）对称轴为直线 x= 1 的抛物线 y=ax +bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B 两点, A、B 两点关于直线x= 1 对称,点 A 的坐标为（3,0）,点 B 的坐标为（ 1, 0）；（ 2） a=1 时,抛物线y=x2+bx+c 的对称轴为直线x= 1,= 1,
16、解得 b=2将 B（1,0）代入 y=x2+2x+c,得 1+2+c=0,解得 c= 32 就二次函数的解析式为 y=x +2x 3,抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为（ 0, 3）,OC=3 设 P 点坐标为（ x,x2+2x 3）, S POC=4S BOC,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：精品资料欢迎下载线段长度问题 此3|x|=431, |x|=4,x=42当 x=4 时, x +2x 3=16+8 3=21；2当 x= 4 时, x +2x 3=16 8 3=5所以点 P 的坐标为（ 4, 21
17、）或（4,5）； 设直线 AC 的解析式为y=kx+t ,将 A （ 3,0）,C（ 0, 3）代入,得,解得,即直线 AC 的解析式为y= x 3设 Q 点坐标为（ x,x 3）（3x0）,就 D 点坐标为（ x,x2+2x 3）,QD= （ x 3） （ x2+2x 3）= x2 3x= （ x+）2 +,当 x=时, QD 有最大值此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式, 二次函数的性质以及三角形面积、题难度适中,解题的关键是运用方程思想与数形结合思想2（2022.重庆）如图,已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为B（5, 0）,另一个交点为A,且与 y 轴
18、交于点 C（0,5）（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）如点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN y 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下, MN 取得最大值时,如点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点,以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1, ABN 的面积为 S2,且 S1=6S2,求点 P 的坐标名师归纳总结 第 8 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载考点 ： 二次函数综合题专题 ： 压轴题分析：（ 1
19、）设直线 BC 的解析式为y=mx+n ,将 B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式；同理,将B（5,0）,C（0,5）两点 的坐标代入y=x2 +bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（ 2）MN 的长是直线BC 的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于MN 的长和 M 点横坐标的函数关系式,依据函数的性质即可求出MN 的最大值；（ 3）先求出 ABN 的面积 S2=5,就 S1=6S2=30再设平行四边形CBPQ 的边 BC 上的高为 BD ,依据平行四边形的面积公式得出 BD=3,过点 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与
20、点 P,交 x 轴于点 E,在直线DE 上截取 PQ=BC ,就四边形 CBPQ 为平行四边形证明 EBD 为等腰直角三角形,就 BE= BD=6 ,求出 E 的坐标为（ 1,0）,运用待定系数法求出直线 PQ 的解析式为 y= x 1,然后解方程组,即可求出点 P 的坐标解答：解：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n ,将 B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入,得,解得,y=x2+bx+c,所以直线 BC 的解析式为y= x+5；将 B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入得,解得,所以抛物线的解析式为y=x2 6x+5；（ 2）设 M （x, x2 6x+5）（1 x5）,就
21、N（x, x+5 ）, MN= （ x+5 ） （ x2 6x+5）= x2 +5x= （ x）2+,当 x=时, MN 有最大值；（ 3） MN 取得最大值时,x=2.5,x+5= 2.5+5=2.5 ,即 N（ 2.5,2.5）解方程 x2 6x+5=0 ,得 x=1 或 5, A（1,0）, B（5,0）, AB=5 1=4, ABN 的面积 S2=42.5=5,平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD ,就 BCBD BC=5, BC.BD=30 , BD=3过点 D 作直线 BC 的平行线, 交抛物线与点 P,交 x 轴于点
22、E,在直线 DE 上截取 PQ=BC ,就四边形 CBPQ为平行四边形 BCBD , OBC=45 , EBD=45 , EBD 为等腰直角三角形,BE=BD=6 , B（5,0）, E（ 1,0）,名师归纳总结 设直线 PQ 的解析式为y= x+t ,第 9 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载将 E（ 1, 0）代入,得 1+t=0,解得 t= 1 直线 PQ 的解析式为 y= x 1解方程组,得,点 P 的坐标为 P1（2, 3）（与点 D 重合）或 P2（3, 4）点评：此题是二次函数的综合题,其中涉及到运用待定
23、系数法求一次函数、二次函数的解析式,二次函数的性质,三角形的面积,平行四边形的判定和性质等学问点,综合性较强,考查同学运用方程组、数形结合的思想方法（2）中弄清线段 MN 长度的函数意义是关键,（ 3）中确定 P 与 Q 的位置是关键3（2022.昭通）如图 1,已知 A （3, 0）、B（4,4）、原点 O（0,0）在抛物线 y=ax 2+bx+c （a0）上（1）求抛物线的解析式（2）将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D,求 m 的值及点 D 的坐标（3）如图 2,如点 N 在抛物线上,且NBO= ABO ,就在（ 2）的条件下,求出全部满意 POD
24、NOB 的点 P的坐标（点 P、O、D 分别与点 N、O、B 对应）考点 ： 二次函数综合题专题 ： 压轴题分析：（ 1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；P1 的坐（ 2）第一求出直线OB 的解析式为y=x ,进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；（ 3）第一求出直线AB 的解析式,进而由 P1OD NOB ,得出 P1OD N1OB1,进而求出点标,再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：精品资料欢迎下载2 +bx+c （a0）上解：（1） A （3,0）
25、、B（4,4）、O（0,0）在抛物线y=ax,解得：,故抛物线的解析式为：y=x2 3x；（ 2）设直线 OB 的解析式为 y=k 1x（ k10）,由点 B（4, 4）得4=4 k 1,解得 k1=1直线 OB 的解析式为 y=x , AOB=45 B（4,4）,点 B 向下平移 m 个单位长度的点 B的坐标为（ 4,0）,故 m=4平移 m 个单位长度的直线为 y=x 4解方程组解得：,点 D 的坐标为（ 2, 2）（ 3）直线 OB 的解析式 y=x,且 A（3,0）点 A 关于直线 OB 的对称点 A的坐标为（ 0,3）设直线 AB 的解析式为y=k 2x+3,此直线过点B（4,4）
26、4k2+3=4 ,解得k2=y=x+3直线 AB 的解析式为 NBO= ABO ,点 N 在直线 AB 上,设点 N（n,n+3）,又点 N 在抛物线 y=x 2 3x 上,n+3=n2 3n解得 n1=,n2=4（不合题意,舍去） ,点 N 的坐标为（,）如图,将 NOB 沿 x 轴翻折,得到 N 1OB1,就 N 1 （,）, B1（4, 4） O、D、B 1 都在直线 y= x 上 P1OD NOB ,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 P1OD N1OB 1, P1 为 O N1 的中点
27、=,x 轴距离等于P1到 y 轴距离,点到y 轴距离等点 P1 的坐标为（,）将 P1OD 沿直线 y= x 翻折,可得另一个满意条件的点到于 P1 到 x 轴距离,此点坐标为： （,）综上所述,点 P 的坐标为（,）和（,）点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相像三角形的判定与性质等学问,利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键4（2022.张家界）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（ 0,1）,顶点为 Q（2,3）,点 D 在 x 轴正半轴上,且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 C
28、D 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证： CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下,如点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问：在 P 点和 F 点移动过程中, PCF 的周长是否存在最小值？如存在,求出这个最小值；如不存在,请说明理由考点 ： 二次函数综合题专题 ： 压轴题分析：（ 1）利用待定系数法求出直线解析式；（ 2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（ 3）关键是证明 CEQ 与 CDO 均为
29、等腰直角三角形；（ 4）如答图 所示,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点 C,连接 CC,交 OD于点 F,交 QE 于点 P,就 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知, PCF 的周长等于线段 CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时 PCF 的周长最小如答图 所示,利用勾股定理求出线段CC的长度,即 PCF 周长的最小值解答：解：（1） C（0,1）,OD=OC , D 点坐标为（ 1,0）设直线 CD 的解析式为 y=kx+b （k0）,将 C（0,1）,D（1,0）代入得：,解得： b=1,k= 1,直线 CD
30、的解析式为： y= x+12（ 2）设抛物线的解析式为 y=a（x 2）+3,将 C（0,1）代入得： 1=a（ 2）2+3,解得 a=2 2 y=（x 2）+3= x +2x+1 （ 3）证明：由题意可知,ECD=45 , OC=OD ,且 OCOD, OCD 为等腰直角三角形,ODC=45 , ECD= ODC, CE x 轴,就点 C、E 关于对称轴（直线 x=2 ）对称,点 E 的坐标为（ 4,1）如答图 所示,设对称轴（直线x=2 ）与 CE 交于点 F,就 F（2,1）, ME=CM=QM=2 , QME 与 QMC 均为等腰直角三角形,QEC=QCE=45又OCD 为等腰直角三角
31、形,ODC= OCD=45 , QEC=QCE= ODC= OCD=45 , CEQ CDO （ 4）存在如答图 所示,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点 C,连接 CC,交 OD 于点F,交 QE 于点 P,就 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知, PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点 F,在线段 QE 上取异于点P的任一点 P,连接 FC,FP,PC由轴对称的性质可知, PCF的周长 =FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C,C之间的折线段,由两点之间线段最短可知：FC+FP
32、+PCCC,即 PCF的周长大于 PCE 的周长）如答图 所示,连接 CE, C,C关于直线 QE 对称, QCE 为等腰直角三角形, QCE 为等腰直角三角形, CEC为等腰直角三角形,点 C的坐标为（ 4,5）； C,C关于 x 轴对称,点C的坐标为（1,0）过点 C作 CNy 轴于点 N,就 NC =4,NC=4+1+1=6 ,名师归纳总结 在 Rt CNC 中,由勾股定理得：CC=第 13 页,共 33 页综上所述,在P 点和 F 点移动过程中, PCF 的周长存在最小值,最小值为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载点评：此题是
33、中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相像三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要学问点,涉及考点较多,有一点的难度此题难点在于第（4）问,如何充分利用轴对称的性质确定 PCF 周长最小时的几何图形,是解答此题的关键5（2022.枣庄）如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧, B 点的坐标为（ 3,0）,与 y 轴交于 C（0, 3）点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、PC,并把 POC 沿 CO 翻折,得到四边形 POPC,那么是否
34、存在点 P,使四边形 POPC 为菱形？如存在,恳求出此时点 P 的坐标；如不存在,请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积名师归纳总结 第 14 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载考点 ： 二次函数综合题专题 ： 压轴题分析：（ 1）将 B、 C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（ 2）由于菱形的对角线相互垂直平分,如四边形 POPC 为菱形,那么 P 点必在 OC 的垂直平分线上,据此可求出 P 点的纵坐标,代入抛
35、物线的解析式中即可求出 P 点的坐标；（ 3）由于 ABC 的面积为定值,当四边形 ABPC 的面积最大时, BPC 的面积最大；过 P 作 y 轴的平行线,交直线 BC 于 Q,交 x 轴于 F,易求得直线 BC 的解析式,可设出 P 点的横坐标,然后依据抛物线和直线 BC 的解析式求出 Q、P 的纵坐标,即可得到 PQ 的长,以 PQ 为底, B 点横坐标的肯定值为高即可求得 BPC 的面积,由此可得到关于四边形ACPB 的面积与 P 点横坐标的函数关系式,依据函数的性质即可求解答：出四边形 ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标,解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得解得：；所以二次函数
36、的表达式为：y=x2 2x 3（ 3 分）（ 2）存在点 P,使四边形 POPC 为菱形；设 P 点坐标为（ x,x 2 2x 3）,PP交 CO 于 E 如四边形 POPC 是菱形,就有PC=PO；连接 PP,就 PECO 于 E, OE=EC= y=；（6 分） x2 2x 3=解得 x1=, x2=,（不合题意,舍去） P 点的坐标为（）（8 分）（ 3）过点 P 作 y 轴的平行线与BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F,设 P（x,x2 2x 3）,易得,直线BC 的解析式为y=x 3 就 Q 点的坐标为（ x, x 3）；S四边形 ABPC=S ABC+S BPQ+S CPQ=AB
37、 .OC+QP.BF+QP.OF =名师归纳总结 =（10 分）（12 分）第 15 页,共 33 页当时,四边形ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为,四边形 ABPC 的面积的最大值为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载点评：此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等学问,当所求图形不规章时通常要将其转换为其他规章图形面积的和差关系来求解6（2022.营口）如图,抛物线与x 轴交于 A（1,0）、B（ 3, 0）两点,与y 轴交于点 C（0,3）,设抛物线的顶点为 D（1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的
38、坐标（2）试判定 BCD 的外形,并说明理由（3）探究坐标轴上是否存在点P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与 BCD 相像？如存在,请直接写出点P 的坐标；如不存在,请说明理由考点 ： 二次函数综合题专题 ： 压轴题分析：解答：（ 1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（ 2）利用勾股定理求得 BCD 的三边的长,然后依据勾股定理的逆定理即可作出判定；（ 3）分 p 在 x 轴和 y 轴两种情形争论,舍出P 的坐标,依据相像三角形的对应边的比相等即可求解解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c y=ax2+bx+3 由抛物线与y 轴交于点 C（0,3）,可知 c=3即抛物线的解析
39、式为把点 A（1,0）、点 B（ 3,0）代入,得解得 a= 1,b= 2 抛物线的解析式为y= x2 2x+3 y= x2 2x+3= （ x+1 ）2+4 顶点 D 的坐标为（1,4）；（ 2） BCD 是直角三角形名师归纳总结 理由如下：解法一：过点D 分别作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为E、F第 16 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载在 Rt BOC 中, OB=3 ,OC=3 , BC2=OB 2+OC 2=18 在 Rt CDF 中, DF=1 ,CF=OF OC=4 3=1,2 2 2 CD =D
40、F +CF =2 在 Rt BDE 中, DE=4 ,BE=OB OE=3 1=2, BD2=DE 2+BE 2=20 2 2 2 BC +CD =BD BCD 为直角三角形解法二：过点 D 作 DFy 轴于点 F在 Rt BOC 中, OB=3 ,OC=3 OB=OC OCB=45 在 Rt CDF 中, DF=1,CF=OF OC=4 3=1 DF=CF DCF=45 BCD=180 DCF OCB=90 BCD 为直角三角形（ 3） BCD 的三边,= =,又 =,故当 P 是原点 O 时, ACP DBC ； 当 AC 是直角边时, 如 AC 与 CD 是对应边, 设 P 的坐标是 （0,a）,就 PC=3 a,=,即 =,解得： a= 9,就 P 的坐标是（ 0, 9）,三角形 ACP 不是直角三角形,就 ACP CBD 不成立； 当 AC 是直角边,如 AC 与 BC 是对应边时, 设 P 的坐标是（0,b）,就 PC=3 b,就 =,即 =,解得： b=,故 P 是（ 0,）时,就