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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列专题试题特点 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础；高考对本章的考 查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏；有关数列的试题经 常是综合题,常常把数列学问和指数函数、对数函数和不等式的学问综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起；探干脆问 题是高考的热点,常在数列解答题中显现；本章中仍包蕴着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类争论等重要思想,以及配 方法、换元法、待定系数法等基本数学方法；近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面 : （1
2、）数列本身的有关学问,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公 式及求和公式；（2）数列与其它学问的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何 的结合；（3）数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主；试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和 中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最 后一题难度较大；（文科考查以基础为主,有可能是压轴题）应计策略 1在把握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础 上,系统把握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解 题实践中的指导作用,敏捷地运用数列学问和方法解
3、决数学和实际生活中的 有关问题；2在解决综合题和探干脆问题实践中加深对基础学问、基本技能和基本数学思 想方法的熟悉,沟通各类学问的联系,形成更完整的学问网络,提高分析问 题和解决问题的才能,进一步培育阅读懂得和创新才能,综合运用数学思想 方法分析问题与解决问题的才能3善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高用函数的 思想、方程的思想争论数列问题的自觉性、培育主动探究的精神和科学理性 的思维方法名师归纳总结 课前导引 a 9a3a 9b7a3a96a36第 1 页,共 8 页 1. 如两个等差数列a n b n的前b 5b8b42 b2 bn 项和分别为S n、T n,对任意的
4、nN*S 1119.a 12a 1 111a6都有：S nT n2 n3 , 3就b 5a 9b 7b 8a 3b 44 nb 1b 1111412 b 6b 6T 11_.2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 已知数列a n的前 项和S n学习必备欢迎下载,满意an121,而S 1a 13,a 13,an222S na n2 n1, 求数列a n的通项a n.故a 121. 即：数列an2 是 解 S na n2 n1,2以1为首项,1为公比的等比数列S n1a n12 n1 1,22两式相减 得 ,:2 a n1a n2,an21 1 2 2n
5、11 n ,2即 2 a n1a n24,2 a n14a n2从而an21n .2名师归纳总结 数列an满意a11 且8an1a n,故 b n4确是公比为q2 的等比数列.第 2 页,共 8 页316an12 an50n1. 记b na n11b 142,故b n41n 2 ,33332b n12n4n1,n 1.33 1 求 、1b 2、b 3、b 4 的值；由b nan11得:a b n1b n1, 2 求数列b n的通项公式及数列2a b n n的前n项和S n.2 1 a 11, 故b 11112;故S na b 1 11 b 1 2a b 2a b n.nb 2b n2a27,故
6、b 27118;a 33,故1 1 3n 2 5n83482b 33114;a 413,故b 420.2312031 2 3n5n1.42 2 b 14b 342842 ,33333 1 由b nan11得:a n11,b 24242 ,b 14b 34b 242b n2333332故猜想:bn4是首项为2,公比q2 的代入递推关系8 an1 a n16 a n12a n50,33整理得b n4b n6130,即b n12b n等比数列.1b nb nan2 否就将a n2代入递推公式会4, 由a 11 有b 12,b 28,b 34,b 420.导致冲突,故a n152 ann1.33316
7、8 an2 由b n12 b n4,b n142 bn4,bn14an114333313b 1420,b n4是首项为2,23333168 an420 16an公比q2 的等比数列 故b n41n 2 ,6a n336a n3332 bn4an2182016an即b n12n4n1.336an3332b n14,b 14033- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由b nan11得a b nn1b n1,故2b2学习必备欢迎下载b n2b n1112b 1an21a n1121.168 an1222168 a nS na b 1 1a b 2a b n1
8、2b 16a n136a n33624a n168 a nbnn1 1 2 35n12n5n6a n36an3332016a n2b n1b n.126a n3b2b 120,b n1bn是公比qb 1b 2b 120,bn1b n是公比q3的等比数列,b n1b n1n 2 ,从而b n3b n1n 2 ,从而bn3的等比数列,b n1b nb n1b n1bn2 b2b 131 2 3n12n21 2 2b nbn1b n1bn2 b2b 112 3n12n21 2 212n2212n4n1.33312n2212n4n1.333名师归纳总结 1 同解法一.n 的首项由b nan11得a b
9、 n1b n1,故2 b 2b 12,b 3b 24b 4b 38,233,3S n228 , 4 23猜想b n1b n是首项为2,a b 1 1a b 2 2a b nn1 2b 1b 2333公比q2 的等比数列,b n1b n1n 2 ,n1 1 2 35n12n5n1.3b n又a n2,故a n152a n n1.168 a n1233因此b n1b na n11a n111221252a n12 an1168a n216n8a n6 a6310n8 an;6 an6 a 2 由1 知要分两种情形争论：33例 2 如公比为 的等比数列a3,4,.当c1 时 数列an是一个常数列,a
10、 11 且满意ana n12a n2n即an1nN*. 这时 数列nan的前当n 项和S n,123nn n 21.1 1 求 的值； 2 求数列na n 的前 项和S n.c1 2时数列an是一个公比为2 1 由题设 当n3 时,an2 c a n2,的等比数列,即an1n1nN*.an1ca n2,a na n12an21can2,2c22这时,数列nan的前n项和Sn1由题设条件可得an20,因此c2,121312n1n11222即2c2c10. 解得c1 或c1.1式两边同乘1,得:22第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1
11、 2S n121 2222n11 2n1学习必备欢迎下载n 1n nN*.11n22 11 2n 12n 21式减去2式 得:n11 2n1 1n3n2S n1411S n192n11222n 1 2整理得:d2a d 1, 例 3在等差数列a n 中 公差d0,a 2d0,da1,得annd,3,是a 1与a 4 的等比中项已知数列a a 3,a k 1,由已知得d,3d k d 1,k d 2,k d nn,是等比数列.a k 2,a k n成等比数列 求数列k n 的由d0,数列1,3,k1,k2,kn,也是通项k n.等比数列:k,首项为1,公比为q33,1 解析 依题设得a na 1
12、n1 ,由此得9.12 a 2 a a 4.a 1d2a a 13 等比数列kn的首项k19,公比qkn9qn13n1n1, 2, 3, 例 4 且 a 1 , a3已知an是公比为q的等比数列即得数列kn的通项kn3n1.,当n2时,SnbnSn1,a2成等差数列.n1n20,故S nb n. 1 求q的值；2 2 设bn是以2为首项,q为公差的如q1,就S n2nn n11等差数列,其前n项和为Sn,当n2时,比222较Sn与bn的大小,并说明理由.当nn29 .b nS n1 解析 1 由题设2a3a 1a2,即4 2 时2a q 12a1a q 1,a 10,2q2q10.,S nq1
13、 或1.1,就n1 n10 ,2 如 2 q4故对于nN,当2n9 时,S nb n;S n2nn n11n223n,当n10 时,S nb n;当n11 时,S nb n.2 1. 已知数列a n的通项a n2 3n1 解析 令t2n1,就t1,2, 22 ,3332n11,就以下表达正确选项 ,且t0,1,就ant t1,故最大3项为a10,又当n3 时, 2n14;A. 最大项为a1,最小项为a339名师归纳总结 B. 最大项为a1,最小项不存在a4a3当n4 时, 2n1.8;而4181,第 4 页,共 8 页32792272C. 最大项不存在1,最小项为n3 时,an最小D. 最大项
14、为a最小项为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.已知数列f x 3 x2bx学习必备欢迎下载na1 是偶函数 , 5 x c是奇函数 .正数数列名师归纳总结 满意a 11, f a na n1g a n1 ana n21 , 求 的通项公式 . 3x21第 5 页,共 8 页 解析 1 fx为偶函数,fxfx,b0,即fxgx为奇函数,gxgx,1 ,c0,即gx5x.fanan1gan1ana2n3anan1215an1ana2n3a21an1an2a20,nnan1an3an12an0,an1an0,3an12an0,即ann12,an是以a11
15、为首项,a3公比为2的等比数列.an2n1.33已知数列log2an1 nN*为等比数列,且a13,a39. 1 求数列an的通项公式; 2 证明a21a1a31a2an11an1. 解析 的公差为1 .设等差数列log2an1 d由a13,a39得:2log22dlog22log28,即d1.log2an1 1n1 n,即an2n1.an11an2n112n1n, 2 2111a2a1a3a2an1an1111112131n212n122222211n1.2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2设数列an学习必备欢迎下载Sn,已知的前n项和为名师归
16、纳总结 a11 ,a26,a311,且5n8Sn11第 6 页,共 8 页5n2SnAnB,n1 , 2,3,其中A、B为常数.; 1 求A和B的值; 2 证明数列an为等差数列 3 证明不等式5amnaman对任何正整数m、n都成立. 解析 1 由已知得S1a11 ,S2a1a27,S3a1a2a318,由5n8Sn15n2SnAnB知23S2127S1AABB,即AABB28S3S22248解得:A20,B8. 2 由 1 得：5n8Sn15n2Sn20n8 15n3Sn25n7Sn120n28 221得:5n3Sn2 10n1 Sn15n2Sn20 35n2Sn310n9Sn125n7S
17、n120 443得: 5n2Sn3 15n6Sn215n6Sn15n2Sn0an1Sn1Sn,5n2an3 10n4an25n2an105n20,an32an2an10an3an2an2an1,n1又a3a2a2a15数列an为等差数列. 3 由2可知：an15n1 5n4要证:5amnaman1 ,只要证: 5amn1aman2aman,amn5mn4,aman5m45n425mn20mn16,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故只要证: 55mn学习必备欢迎下载4125mn20 m n 16 2 a m a n ,即只要证 : 20 m 20 n
18、37 2 a m a n ,2 a m a n a m a n 5 m 5 n 85 m 5 n 8 15 m 15 n 2920 m 20 n 37故命题得证 . 例 3 假设某市 20XX 年新建住房面积 400 万平方米 , 其中有 250万平方米是中低价房 , 估计在今后的如干年内 , 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%, 另外 , 每年新建住房中 , 中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 , 那么, 到哪一年底1 该市历年所建中低价房的累计面积（以 20XX 年为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大
19、于 85%？ 解析 1 设中低价房面积形成数列 a n , 由题意可知 a n 是等差数列 , 其中a 1 250, d 50, 就n n 1 S n 250 n 502225 n 225 n ,令 25 n2225 n 4750,即 n29 n 190 0, 而 n 是正整数 ,n 10.到 2022 年底该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米 . 2 设新建住房面积形成数列 b n ,由题意可知 : b n 是等比数列 ,其中 b 1 400, q 1.08,就 b n 400 1.08n 1由题意可知 : a n 0.85 b nn 1有 250 n 1 50 4
20、00 1.08 0.85由运算器解得满意上述不等式的最小正整数2022n6.,当年建造的中低价房的到年底面积占该年建造住房面积的比例首次名师归纳总结 大于85%.na的首项a 15, 前 n 项和为S, 且S n12S nn5nN*第 7 页,共 8 页例 4已知数列 证明 : 数列 an1是等比数列 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 由已知 : S n12 S nn5n学习必备欢迎下载N*可得 : 当n2时, 有S n2 S n1n141 , 即a n12 a n1两式相减得 : S nS n12S nS na n112 a n1a 2a2a12a16又n1时, S 22S 115又a 15,a211, 从而12a 11N*an112an1n故数列 na1是等比数列. 名师归纳总结 y 1y 22fx 14x 1fx 224x 111x 1 4x 2 44第 8 页,共 8 页24 x 224 x 124x 22y14x 1x 2x 444 x 14x 24124 x 14x 2424 x 14x 242y214故点 P 的纵坐标是定值- - - - - - -