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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一元一次方程提高试题讲练一 分类争论例1 a 取什么值时,方程aa 2x=4a 2 有唯独的解？无解？有很多多解？是正数解？解：当a 0 且 a 2 时,方程有唯独的解,x=44 , 只要 a 与 4 同号,aa当 a=0 时,原方程就是0x= 8,无解；x=当 a=2 时,原方程就是0x=0 有很多多解由可知当a 0 且 a 2 时,方程的解是即当 a0 且 a 2 时,方程的解是正数；例2 k 取什么整数值时,方程kx+1=k 2（x2）的解是整数？（ 1x）k=6 的解是负整数？解：化为最简方程（k2）
2、x=4 当 k+2 能整除 4,即 k+2= 1, 2, 4 时,方程的解是整数k=1, 3,0, 4,2, 6 时方程的解是整数；化为最简方程 kx=k 6,当 k 0 时 x= k 6 =16 ,k k只要 k 能整除 6, 即 k= 1, 2, 3, 6 时, x 就是整数当 k=1,2,3 时,方程的解是负整数5, 2, 1；例3 己知方程 ax 2=bx+1 2a 无解；问 a 和 b 应满意什么关系？解：原方程化为最简方程：a bx=b 方程无解,ab=0 且 b 0 a 和 b 应满意的关系是 a=b 0；例 4 a、b 取什么值时,方程（3x2）a+（2x3）b=8x 7 有很
3、多多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b8）x=2a+3b7,依据 0x0 时,方程有很多多解,可知3 a 2 b 8 0当 时,原方程有很多多解；2 a 3 b 7 0a 2解这个方程组得b 1答当 a=2 且 b=1 时,原方程有很多多解；例 5 解关于 x 的方程 mx-nm+n=0 解 把原方程化为细心整理归纳 精选学习资料 m 2x+mnx-mn-n2=0, 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -整理得 mm+nx
4、=nm+n 当 m+n 0,且 m=0时,方程无解；当 m+n=0时,方程的解为一切实数说明 含有字母系数的方程,肯定要留意字母的取值范畴解这类方程时,需要从方程有唯独解、无解、很多多个解三种情形进行争论例 6 解方程a+x-ba-b-x=a2-xb2+x-a2b2解 将原方程整理化简得a-b 2-x 2=a 2b 2+a 2x-b 2x-x 2-a 2b 2,即 a 2-b 2x=a-b 21 当 a 2-b 2 0 时,即 a b 时,方程有唯独解2 当 a 2-b 2=0 时,即 a=b 或 a=-b 时,如 a-b 0,即 a b,即 a=-b 时,方程无解；如a-b=0 ,即 a=b
5、,方程有很多多个解例 7 已知 m 2-1x2-m+1x+8=0 是关于 x 的一元一次方程,求代数式199m+xx-2m+m 的值解 由于 m 2-1x 2-m+1x+8=0 是关于 x 的一元一次方程,所以m 2-1=0 ,即 m= 11 当 m=1时,方程变为 -2x+8=0 ,因此 x=4,代数式的值为1991+44-2 1+1=1991 ；2 当 m=-1 时,原方程无解细心整理归纳 精选学习资料 所以所求代数式的值为1991 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -
6、 - - - - - - - - - - - -例 8 已知关于 x 的方程 a2x-1=3x-2无解,试求a 的值解 将原方程变形为2ax-a=3x-2 ,即 2a-3x=a-2由已知该方程无解,所以例 9 k 为何正数时,方程k 2x-k2=2kx-5k 的解是正数？解 按未知数x 整理方程得k2-2kx=k2-5k 要使方程的解为正数,需要k2-2kk2-5k 0看不等式的左端k 2-2kk 2-5k=k 2k-2k-5由于 k 20,所以只要 k5 或 k2 时上式大于零,所以当 k 2 或 k 5 时,原方程的解是正数,所以 k5 或 0k2 即为所求例 10 如 abc=1,解方程
7、解 由于 abc=1,所以原方程可变形为化简整理为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -化简整理为说明 像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化例 11 如 a,b,c 是正数,解方程解法 1 原方程两边乘以 abc,得到方程abx-a-b+bcx-b-c+acx-c-a=3abc移项、合并同类项得abx-a+b+c+bcx-a+b+c +acx-a+b+c=0,因
8、此有x-a+b+cab+bc+ac=0由于 a0,b0, c0,所以 ab+bc+ac 0,所以 x-a+b+c=0 ,即 x=a+b+c 为原方程的解解法 2 将原方程右边的3 移到左边变为 -3 ,再拆为三个“-1 ” ,并留意到 第 4 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -其余两项做类似处理设 m=a+b+c,就原方程变形为所以即 x-a+b+c=0 所以 x=a+b+c 为原方程的解说明 留意观看,
9、奇妙变形,是产生简洁美丽解法所不行缺少的基本功之一例 12 设 n 为自然数, x 表示不超过 x 的最大整数,解方程：分析 要解此方程,必需先去掉 ,由于 n 是自然数,所以 n 与n+1 , , nx 都是整数,所以 x 必是整数解 依据 分析 , x 必为整数,即x=x ,所以原方程化为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -合并同类项得故有所以 x=nn+1 为原方程的解例 13 已知关于 x
10、的方程且 a 为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数 a 的最小值解 由原方程可解得a 最小,所以 x 应取 x=160所以所以满意题设的自然数a 的最小值为2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -练 习1. 关于 x 的方程 ax=x+2 无解,那么 a_ 2. 在方程 aa 3x=a 中,当 a 取值为时,有唯独的解；当 a时无解；当 a时 , 有很多多解；当a时 , 解是负数；3.4.5.
11、6.7.8.k 取什么整数值时,以下等式中的x 是整数？x=4x=k61x=2k3x=3 k2kkk1k 取什么值时,方程xk=6x 的解是正数？是非负数？m取什么值时,方程3（m+x）=2m 1 的解是零？是正数？己知方程3x461a22的根是正数,那么a、b 应满意什么关系？m取什么整数值时,方程x1m12m的解是整数 . 33己知方程bx1 13ax有很多多解,求a、b 的值；22练习 参考答案1. 1 3 9 无解 无解 很多多个解2. a=1 3. a 3,a 0；a=3；a=0；a3 且 a 0 4. k= 1, 2, 4 2,0,3, 1,4, 2, 7, 5 3 k 2 5 1
12、, 3 4, 5,02（3）k 1 k 15. k0 8. 化为最简方程 mx=m+3, 当 m= 1, 3 时,有整数解9. 化为最简方程 3a bx=b+2 当3 ab0时方程无解,解得a23b20b2几种类型的一元一次方程的解法例 1. （2001 年湖南常德中考题）已知| 3x1|2,就 x（）. （A）1 （B）1 3（C）1 或1 3）. （D）无解xa|（例 2. （1996 年“ 期望杯” 赛题）如|x|a 就 |细心整理归纳 精选学习资料 （ A）0 或 2a（B） xa（C） ax（D）0 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - -
13、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3. （2001 年重庆市竞赛题）如| 2000x2000 | 202000. 就 x 等于（）. （A）20 或 21 （B） 20 或 21 （C） 19 或 21 （D）19 或 21 练 习|x1. （1997 年四川省中学数学竞赛题）方程|x5 |2x5的根是 _. x的 解 满 足2. （ 2000 年 山 东 省 初 中 数 学 竞 赛 题 ） 已 知 关 于 x 的 方 程mx22m1|10,就 x 的值是（）. 2（A）10 或2 5（B） 10 或2
14、 5（C） 10 或2 5（D） 10 或2 53. （2000 年重庆市中学数学竞赛题）方程| 5x6|6x5的解是 _. . 例 4. （“ 迎春杯” 竞赛题）解方程|x3|x1|x1练 习1. （2000 年“ 期望杯” 竞赛题）如 a 0,就 2000 a 11| a 等于（）. （A）2007 a （B） 2007a （C） 1989a（D）1989a2. （“ 江汉杯” 竞赛题）方程 | x 1| | x 99 | | x 2 | 1992 共有（）个解 . （A）4 （B）3 （C）2 a（D） 1 a1|8的整数的值的个数有 （）. 例 5.（第 11 届“ 期望杯” 竞赛题）
15、适合 | 27 | 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（A）5 （B）4 （C）3 （D）2 例 6. （1999 年武汉市竞赛题）如a0,b0就使 |xa|xb|ab 成立的的取值范畴是_. 练 习1.（1998 年“ 期望杯”竞赛题） 适合关系式 | 3 x 4 | | 3 x 2 | 6 的整数的值是 （）. （A）0 （B）1 （ C）2 （D）大于 2 的自然数2. （“ 祖冲之杯” 竞赛题）方程 成立的未知数的取值范畴是 _. 例 7. 解以下关于的方程：cxb cxa bx b ax ac0. . 例 8. 解关于 x 的方程：练 习解关于的方程. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -