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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -万有引力定律及其应用学问网络 : 万有引力定律天体运动地球卫星一、万有引力定律：（ 1687 年）G 为万有引力恒量（1798 年由英国物理学家卡文FGm 1m 2r2适用于两个质点或匀称球体；r 为两质点或球心间的距离；迪许利用扭秤装置测出）G6.671011Nm2/kg2二、万有引力定律的应用1解题的相关学问：（1）在高考试题中,应用万有引力定律解题的学问常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即GMmmv2m42rm2r；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力,即r2r2T2Gm
2、M mg 从而得出 GMR2g；2, v=r；R2（2）圆周运动的有关公式：T争论：2由 GMm2 mv2 可得：v GMr 越大, v 越小；r r r由 G Mmr2 m2r 可得：GMr3 r 越大, 越小；2由 G Mm2 m 2 r 可得：T 2 r3GM r 越大, T 越大；r T由 G Mm2 ma 向 可得：a向 GM2 r 越大, a向越小；r r点评： 需要说明的是, 万有引力定律中两个物体的距离,对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特殊说明的天体,都可认为是匀称球体,就指的是两个球心的距离；人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动；2常见题型万有
3、引力定律的应用主要涉及几个方面：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 1）测天体的质量及密度：（万有引力全部供应向心力）中子由GMmm22r得M42r3r2TGT2又M4 R 33得3r33GT2R【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果,它的密度很大；现有一中子星,观测到它的自转周期为T=1s；问该中子星的最小密度应是多少才能维护该星的稳固,不致因自转而瓦解；运算时星体可视为匀称球30体；
4、引力常数 G=6.671011m3 /kg.s2 解析： 设想中子星赤道处一小块物质,只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时,星才不会瓦解；设中子星的密度为,质量为M ,半径为R,自转角速度为/m,位于赤道处的小物块质量为m,就有GMmm2R2M4 R 331.271014kg3；R2T32,代入数据解得：由以上各式得GT点评： 在应用万有引力定律解题时,力定律解题惯用的一种方法；常常需要像此题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引（ 2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度：G Mm2 mg 0 g 0 GM2R RGMm
5、GM轨道重力加速度：2 mg h g h 2R h R h【例 2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动,已知行星表面的重力加速度为 g0,行星的质量 M 与卫星的质量 m之比 M/m= 81,行星的半径 R0 与卫星的半径 R 之比 R0/R3.6,行星与卫星之间的距离 r 与行星的半径 R0之比 r/R060；设卫星表面的重力加速度为 g,就在卫星表面有 GMmr 2 mg 经过运算得出： 卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的 1/3600；上述结果是否正确？如正确,列式证明；如有错误,求出正确结果；解析： 题中所列关于g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度,而是卫星绕行星做匀速圆周运动的
6、向心加速度；正确的解法是细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -卫星表面Gm g R 2行星表面GM=g0即R 0 R2m=gR 02Mg0即 g =0.16g0；（ 3）人造卫星、宇宙速度：人造卫星分类（略）：其中重点明白同步卫星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区分）【例 3】我国自行研制的“ 风云一号” 、“ 风云二号” 气象卫星运行的轨道是不同的；“ 一号” 是极地圆形轨道卫星；其
7、轨道平面与赤道平面垂直,周期是 12h；“ 二号” 是地球同步卫星；两颗卫星相比 号离地面较高；号观看范畴较大；号运行速度较大；如某天上午 8 点“ 风云一号” 正好通过某城市的上空,那么下一次它通过该城市上空的时刻将是；解析： 依据周期公式 T= 2 GM r 3知,高度越大,周期越大,就“ 风云二号”气象卫星离地面较高；依据运行轨道的特点知,“ 风云一号”观看范畴较大；依据运行速度公式 V= GM 知,高度越小,速度越大,就“ 风 r云一号”运行速度较大,由于“ 风云一号” 卫星的周期是 12h,每天能对同一地区进行两次观测,在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度的地方时时间保持不变；就下一次
8、它通过该城市上空的时刻将是其次天上午 8 点；【例 4】可发射一颗人造卫星,使其圆轨道满意以下条件（）A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆 ,且卫星相对地面是运动的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆 ,且卫星相对地面是静止的解析： 卫星绕地球运动的向心力由万有引力供应 表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆,故 道也不行能与任一条经度线是共面的同心圆,故,且万有引力始终指向地心,因此卫星的轨道不行能与地球 A 是错误的；由于地球在不停的自转,即使是极地卫星的轨 B 是错误的；赤道上的卫星除通信卫星采纳
9、地球静止轨道外,其它卫星相对地球表面都是运动的,故 C、D 是正确的；【例 5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高度为 h,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情形下全都拍照下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄像机至少应拍照地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为 R,地面处的重力加速度为 g,地球自转的周期为 T；解析： 假如周期是 12 小时,每天能对同一地区进行两次观测；假如周期是 6 小时,每天能对同一纬度的地方进行四次观测；假如周期是 24 小时,每天能对同一纬度的地方进行 n n 次观测；2设上星运行周期为 T1,就有 G Mm2 m 4
10、h2 R h R T 1细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -物体处在地面上时有GMm0m 0g解得：T 12 hR 3R2Rg在一天内卫星绕地球转过的圈数为T ,即在日照条件下有 T 1T 次经过赤道上空,1T所以每次摄像机拍照的赤道弧长为S2R2RT 1,将 T 1结果代入得S42hR 3TTTgT 1【例 6】在地球（看作质量匀称分布的球体）上空有很多同步卫星,下面说法中正确选项（）A 它们的
11、质量可能不同 B它们的速度可能不同C它们的向心加速度可能不同D它们离地心的距离可能不同解析： 同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引力供应；设地球的质量为 M,同步卫星的质量为m,地球半径为R,同步卫星距离地面的高度为h,由 F引=F向, GmM2=m42T2Rh（R+h）得： h=3GMT2-R,可见同步卫星离地心的距离是肯定的；42由 GmM2=mv2h得： v=GM,所以同步卫星的速度相同；Rh RRhA；由 GmM2=ma 得： a= GRM2即同步卫星的向心加速度相同；Rh h 由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外,其它物理量值都应是固定的
12、；所以正确选项为点评：需要特殊提出的是：地球同步卫星的有关学问必需引起高度重视,由于在高考试题中多次显现；所谓地球同步卫星,是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星；其运行轨道与赤道平面重合；【例 7】地球同步卫星到地心的距离r 可由r3a2b2c求出,已知式中a 的单位是m,b 的单位是s,c 的42单位是 m/s 2,就：Aa 是地球半径, b 是地球自转的周期,C 是地球表面处的重力加速度；Ba 是地球半径； b 是同步卫星绕地心运动的周期,C 是同步卫星的加速度；Ca 是赤道周长, b 是地球自转周期,C 是同步卫星的加速度Da 是地球半径, b 是同步卫星绕地心运动的周期,C
13、 是地球表面处的重力加速度；解析： 由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式,再将其与题给表达式中各项对比,以明确式中各项的物理意义；AD 正确； 第 4 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【例 8】我国自制新型“ 长征” 运载火箭,将模拟载人航天试验飞船“ 神舟三号” 送入预定轨道,飞船绕地球漫游太空 t7 天后又顺当返回地面；飞船在运动过程中进行了预定的空间科学试验,获得圆满胜利；设飞船轨道离
14、地高度为 h,地球半径为 R,地面重力加速度为 g.就“ 神舟三号” 飞船绕地球正常运转多少圈.用给定字母表示 如 h600 km,R6400 km,就圈数为多少 .解析： （1）在轨道上 GmMm v 2 R h 2 R hv= 2 R h T在地球表面：GmM2 =mg R联立式得：T= 2 R h R hR g故 n= t tR gT 2 R h R h代人数据得：n=105 圈（ 4）双星问题：【例 9】两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动；现测得两星中心距离为 R,其运动周期为 T,求两星的总质量；解析： 设两星质量分别为 M 1 和
15、 M 2,都绕连线上 O 点作周期为 T 的圆周运动,星球 1 和星球 2 到 O 的距离分别为 l1 和 l2；由万有引力定律和牛顿其次定律及几何条件可得 M1：G MR 1 M2 2M 1（2T）2 l 1M 24GT 2 R2 2 l 1对 M 2：G M 1 M 2 M 2（2）2 l2M 14 2 R 2 l 2R 2 T GT 2两式相加得 M 1M 24 2 R 2（l 1l2）4 2 R 3；GT 2 GT 2（5）有关航天问题的分析：【例 10】无人飞船“ 神州二号” 曾在离地高度为 H3. 4 105m 的圆轨道上运行了 47 小时；求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半
16、径 R=6.37 10 6m,重力加速度 g9.8m/s 2）解析： 用 r 表示飞船圆轨道半径 r=H+ R=6. 71 10 6m ；M 表示地球质量, m 表示飞船质量,表示飞船绕地球运行的角速度,G 表示万有引力常数；由万有引力定细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -律和牛顿定律得GMmm2rr2利用 GMg 得gR22 由于2,T 表示周期；解得R2r3TT2rr ,又 n= gt 代入数
17、值解得绕行圈数为 Tn=31；R【例 11】2003 年 10 月 16 日北京时间6 时 34 分,中国首位航天员杨利伟乘坐“ 神舟” 五号飞船在内蒙古中部地区胜利着陆,中国首次载人航天飞行任务获得圆满胜利；中国由此成为世界上继俄、美之后第三个有才能将航天员送上太空的国家；据报道,中国首位航天员杨利伟乘坐的“ 神舟” 五号载人飞船,于北京时间十月十五日九时,在酒泉卫星发射中心用“ 长征二号F” 型运载火箭发射升空；此后,飞船依据预定轨道环绕地球十四圈,在太空飞行约二十一小时,如其运动可近似认为是匀速圆周运动,飞船距地面高度约为 340 千米, 已知万有引力常量为 G=6.67 1011牛 米
18、 2/千克 2,地球半径约为 6400 千米,且地球可视为匀称球体,就试依据以上条件估算地球的密度；（结果保留 1 位有效数学）解析： 设地球半么为 R,地球质量为 M,地球密度为 ；飞船距地面高度为 h,运行周期为 T,飞船质量为m；据题意题Tt213600s=5400s 2m Rh 103kg/m3n14飞船沿轨道运行时有F 引F 向 即GmM24Rh T2而MV4 R 33由式得：3R2h3GTR310336代入数据解得3.3 1464001033406 . 6710112 540064001033（ 6）天体问题为背景的信息赐予题近两年, 以天体问题为背景的信息赐予题在全国各类高考试卷
19、中频频显现,不仅考查同学对学问的把握,而且考查考生从材料、信息中猎取有用信息以及综合才能；这类题目一般由两部分组成：信息赐予部分和问题部分；信息赐予部分是向同学供应解题信息,包括文字表达、数据等,内容是物理学争论的概念、定律、规律等,问题部分是环绕信息赐予部分来绽开,考查同学能否从信息赐予部分获得有用信息,以及能否迁移到回答的问题中来；从题目中提炼有效信息是解决此类问题的关键所在；【例 12】 地球质量为 M,半径为 R,自转角速度为；万有引力恒量为 G,假如规定物体在离地球无穷远处势能为 0,就质量为 m 的物体离地心距离为 r 时,具有的万有引力势能可表示为 E p G Mm；国际空间站r
20、细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -是迄今世界上最大的航天工程,它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个庞大人造天体,可供宇航员在其上居住和科学试验； 设空间站离地面高度为 h,假如杂该空间站上直接发射一颗质量为 m 的小卫星, 使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行,由该卫星在离开空间站时必需具有多大的动能？就E解析： 由GMmmv2得,卫星在空间站上动能为E k1mv2rG2Mmhkxr2
21、r2R卫星在空间站上的引力势能为EPGMm3MGRh机械能为E1EkEpG2 MmhR同步卫星在轨道上正常运行时有GMmm2r故其轨道半径r22由上式可得同步卫星的机械能E 2GMm13 mG2M22E2 设离开航天飞机时卫星的动能为E2 r2卫星运动过程中机械能守恒,故离开航天飞机的卫星的机械能应为kxE2Ep13 mG2M22GMm2RhMaxPlanck 学会的一个争论组宣布了他【例 13】 1997 年 8 月 26 日在日本举办的国际学术大会上,德国们的争论成果：银河系的中心可能存在大黑洞,他们的依据是用口径为3.5m 的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心邻近的星体进行近六年的观测所
22、得的数据；他们发觉,距离银河系中约60 亿千米的星体正以2000km/s的速度环绕银河系中心旋转；依据上面数据,试在经典力学的范畴内（见提示2）通过运算确认,假如银河系中心的确存在黑洞的话,其最大半径是多少？（引力常数是 G6.67 1020km 3 kg 1s2）解析： 表面上的全部物质,即使速度等于光速 c 也逃脱不了其引力的作用；此题的题源背景是银河系中心的黑洞,而题目的“ 提示” 内容就给出了此题的基本原理：括光在内的全部物质都逃脱不了其引力的作用” ,（1）它是一个“ 密度极大的天体” ,表面引力强到“ 包 2）运算采纳“ 拉普拉斯黑洞模型” ；这些描画当代前沿科学的词汇令人耳目一新
23、,让人感到高深莫测；但是反复揣摩提示就会看到,这些词句恰恰是此题的“ 眼” ,我们据此可建立起“ 天体环绕运动模型” ,且可用光速c 作为“ 第一宇宙速度” 来进行运算；设位于银河系中心的黑洞质量为M,绕其旋转的星体质量为m,星体做匀速圆周运动,就有： GMm=mv2r2r依据拉普拉斯黑洞模型有：GMm=mc2 第 7 页,共 10 页 R2R联立上述两式并代入相关数据可得：R2.67 105km 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -
24、 - - -三、针对训练1利用以下哪组数据,可以运算出地球质量：（）A 已知地球半径和地面重力加速度 B已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期 C已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量 D已知同步卫星离地面高度和地球自转周期2“ 探路者” 号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中,发觉 测得两颗卫星的周期相等,以下判定错误选项A、B 两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星,并A 天体 A、B 表面的重力加速度与它们的半径成正比 B两颗卫星的线速度肯定相等 C天体 A、B 的质量可能相等 D天体 A、B 的密度肯定相等3已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s,就高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度
25、为A 22 km/s B4 km/s C 4D8 km/s 2km/s 4探测器探测到土星外层上有一个环.为了判定它是土星的一部分仍是土星的卫星群,可以测量环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离 R 之间的关系来确定 A 如 vR,就该环是土星的一部分 B如 v 2R,就该环是土星的卫星群 C如 v1/R,就该环是土星的一部分 D如 v 21/R,就该环是土星的卫星群 52002 年 12 月 30 日凌晨,我国的“ 神舟” 四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空,按预定方案在太空飞行了 6 天零 18 个小时,环绕地球108 圈后,在内蒙古中部地区精确着陆,圆满完成了空间科学和技术试验任
26、务,为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.如地球的质量、 半径和引力常量G 均已知, 依据以上数据可估算出“ 神舟” 四号飞船的A. 离地高度 B.环绕速度C.发射速度 D.所受的向心力6航天技术的不断进展,为人类探究宇宙制造了条件.1998 年 1 月发射的“ 月球勘探者号” 空间探测器,运用最新科技手段对月球进行近距离勘探,在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果 .探测器在一些环形山中心发觉了质量密集区,当飞越这些重力反常区域时细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师
27、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 探测器受到的月球对它的万有引力将变大B探测器运行的轨道半径将变大C探测器飞行的速率将变大D探测器飞行的速率将变小7（ 1998 年全国卷）宇航员站在某一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一小球；经过时间 t,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为 L；如抛出时的初速度增大到 2 倍,就抛出点与落地点之间的距离为 3 L；已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为 R,万有引力常数为 G；求该星球的质量 M；8我国自制新型“ 长征” 运载火箭,将模拟载人航天试验飞船“ 神舟三号” 送入预定轨道,飞船绕
28、地球遨游太空 t7 天后又顺当返回地面 .飞船在运动过程中进行了预定的空间科学试验,获得圆满胜利；（ 1）设飞船轨道离地高度为 h,地球半径为 R,地面重力加速度为 g.就“ 神舟三号” 飞船绕地球正常运转多少圈 .用给定字母表示 .（ 2）如 h600 km,R6400 km,就圈数为多少 . 9（ 2004 年全国理综第 23 题, 16 分）在士气号火星探测器着陆的最终阶段,着陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳才停下来；假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时高度为 h,速度方向是水平的,速度大小为 v0,求它其次次落到火星表面时速度的大小,运算时不计火星大气阻力；已知火星的一
29、个卫星的圆轨道的半径为 r,周期为 T；火星可视为半径为 r0 的匀称球体；参考答案：1A B 2B 3C 4AD 5AB 6AC 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 7解析：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,就有x2 +y2 =L2（1）由平抛运动的规律得知,起初速度增大到2 倍,其水平射程也增大到2x,可得2x2 +h2 =3 L2（2）由以上两式解得h=L（3）3设该星球上的重力加速度为g,由平抛运动的规律得h=1gt2（4）2由万有引力定律与牛顿其次定律得GMmmg（式中 m 为小球的质量）（5）R2联立以上各式得：M23 LR2；3 Gt2细心整
30、理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -点评： 明显,在此题的求解过程中,必需将自己置身于该星球上,其实最简洁的方法是把地球当作该星球是很简洁身临其境的了；8解：（ 1）在轨道上GmM2mv2hm 表示火星的卫星的质量,m表示火星表Rh Rv=2RhT在地球表面：GmM=mg R2联立式得：T=2RhRghR故 n=t2tRhRghTRM 表示火星的质量,（ 2）代人数据得：n=105 圈9以 g表示火星表面邻近的重力加速度,面出某一物体的质量,由万有引力定律和牛顿其次
31、定律,有GMmmgv0,有r2 0GMmm 22rr2T设 v 表示着陆器其次次落到火星表面时的速度,它的竖直重量为v1,水平重量仍为v22gh1v2 v 12 v 0由以上各式解得v82hr3v22r2 00T教学后记万有引力的内容,应当说比较简洁,就是一个万有引力公式结合向心力公式,关键是要会推导公式记忆公式,近年来有关天体运动卫星发射等问题高考中几乎每年显现,特殊是环绕“ 神州飞舟” 更是显现各类实际应用的题目,复习中应留意培育同学应用物理学问解决实际问题的才能；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -