《2022年三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三角恒等变换【考纲说明】1、 把握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,明白它们的内在联系 . 2、 能运用上述公式进行简洁的三角函数化简、求值和恒等式证明 . 3、 本部分在高考中约占 5-10 分 . 【趣味链接】1、 cos 有的时候蛮无聊的,把人家好好的 和 硬是弄得分居,结果上去调停的仍是她；sin 也会做差不多的事,但他比较懒 ,不变号 . 2、 tan 很孤寂很孤寂,于是数学家看不下去了,制造了 cot 陪陪他 .【学问梳理】1、两角和与差的三角函数sinsincosc
2、ossin；coscoscossinsin；三角公式的逆用等； （2）tantantan；1tantan2、二倍角公式sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan212 tan2；tan3、半角公式sin21cosc o s 21c o s22tan21cos（tan21sin1cos）1coscossin4、三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦,异名化同名,异角化同角；化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数；（1）降幂公式sincos1sin22；sin
3、2x11cos2；cos21bcos2. aab2. 2222sin21cos22cos2cos2sina2,cos（2）帮助角公式b2xab2sin,其中asinxbcos2积化和差公式：sincos1sinsincossin1sinsin 第 1 页,共 11 页 22coscos1coscossinsin1 2coscos2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -和差化积公式：sinsin2sin2cos2sinsin2
4、cos22sin22coscos2cos2cos2coscos2sinsin5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特别角,要观看所给角与特别角间的关系,利用三角变换消去非特别角,转化为求特别角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“ 变角”,如 , 2 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要留意角的范畴的争论；（3）给值求角：实质上转化为“ 给值求值” 问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范畴及函数的单调性求得角；6、三角恒等式的证明（1）三角恒等式的证明思路是依据等式两端的特点,通过三角恒等变换
5、,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化“ 异” 为“ 同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观看,发觉已知条件和待证等式间的关系,采纳代入法、消参法或分析法进行证明；【经典例题】【例 1】 求证sinsin1tan2cossin1tan2右边sin22 costan2【解析】左边sincoscossinsincossin22 cossin2cos212 cossin22 cossin2sin22 cossin22 costan2原式成立 .【例 2】 已知： sin sin2 ,求证： tan 1mtan .1m【解析】由sin m sin2 sin m sin sin cos cos
6、 sin msin cos cos sin 1 m sin cos 1 m cos sin 原式的值为3 第 2 页,共 11 页 tan 1mtan 1m【例 3】求 tan70 tan50 3 tan50 tan70 的值 .【解析】原式tan70 50 1 tan70 tan50 3 tan50 tan70 3 1 tan70 tan50 3 tan50 tan70 3 3 tan70 tan50 3 tan50 tan70 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -
7、 - - - - - - - - - - - -【例 4】如 A、B、 C是 ABC的内角, cosB1 2, sinC3 5, 求 cosA 的值 . 【解析】 cosB 1 2, sinB 3, 又 sinC 3 5, cosC 4, , 3 3 104. . 25如 cosC4 5, 就角 C是钝角 , 角 B为锐角 , C为锐角 , 而 sin C3 5sinB 3, 于是 sin C C, B C , 冲突 , cosC 4 5, cosC 4 5, ABC故： cos A cosB C cos B cos Csin B sin C【例 5】已知4,3,0,4,且 cos43,sin
8、512 13,求 cos4540【解析】由已知4,3,得3,442,444,25又 cos43,sin44； 由0,4,得455又 sin5sin4sin412sin412,cos44131313由44,得 coscos44cos4cos4sin4sin45312433. 13 513565 第 3 页,共 11 页 【例 6】 化简：1sincos2sin2cos2,其中2. 2cos【解析】原式22 cos22sin2cos2sin2cos242 cos2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结
9、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin22cos22cos2cos2 cos2cos2cos22sinxcosxcos2,22, cos20原式cos2coscos2【例 7】求证：1 22cossinc xosx1tanxxsin2x1tanx2 cosxsin2x【解析】右边1sinxcosxsinxcosxcosxsinx2sinxcos xsin x1cosxsinxsinxcosxcos2xsin2xcos x12sinxcosx左边原命题成立cos2xsin2x,4. 【例 8】平面直角坐标
10、系内有点P1,cosx,Qx cos,1,x42cosxx1（1）求向量 OP 与 OQ 的夹角 的余弦；（2）求 cos的最值；OPOQ【解析】（ 1） OPOQ2cosx,| OP OQ |12 cosxcos2 cos（2） cosfx 12cosxxcosx21x| OPO Q |2 cos3 2cosx4,4,cosx2,1又 2cosx1x2cos22 2 3f x 1,即2 2 3cos1cosmi n22,cosmax1 . 3【课堂练习】1、（2007 全国） 是第四象限角,cos 12 ,就 sin =（13） 第 4 页,共 11 页 A.5 B. - 135 C. 13
11、5 D.- 125122、（2022 北京）对任意的锐角 , ,以下不等关系中正确选项（ A.sin + sin +sin B.sin + cos +cos C.cos + sin sin D.cos + cos cos 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、（2022 北京）如角满意条件 sin20,cos sin0,就在（） A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限,sin20,就 |AB| 的值是（）
12、4、（2022 福建）已知2, ,sin=3 , 就 tan 54 等于（）A.1 B.7 C. 71 D. 77 5、2022 海南理 3sin 700=（）22 cos 100 A. 1 B. 2 C. 2 D. 32226、（2022 重庆）cos12sin12cos12sin12（）A3 B1 C1 D 232227、2022 安徽 如 fsinx2cos2x ,就 fcosx（）A.2 sin2x B.2 sin2x C.2cos2x D.2cos2x 8、（2022 北京）在平面直角坐标系中,已知两点A cos80,sin80,B cos20A1 B 22 C3 D1 2 倍,就顶
13、角 A 的正切值是（22）9、（2022 辽宁）已知等腰ABC的腰为底的33151528710、2007 海南 如cos22,就 cossin的值为（）sin24711 2722211、（2022 湖北） tan2022 的值为 . 12、（2022 北京文）如角 的终边经过点P1,-2,就 tan 2 的值为. 第 5 页,共 11 页 13、（2022 重庆）已知,均为锐角,且cossin,就tan . 14、（2007 浙江理）已知sincos1,且23,就 cos2的值是 _ 5415、（2022 北京）已知 tan2=2,求：（ I ） tan4的值；（ II ）6sin 3sinc
14、os的值2cos16、（2022 全国）已知 为其次象限角,且 sin =15,求sinsin41的值 . 42cos 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -17、（2022 福建）已知2x0,sinxcosx1. 5（）求sinxcosx的值；（）求xsin2x2sin2x的值 . . 1tanx18、（2022 全国）已知cos43,23求cos24的值 . 5219、2022 四川 求函数y74sinxcos2 4c
15、osx4 4cosx 的最大值与最小值20、（2022 四川）已知cos1,cos13,且02, 714 求tan2的值 .（）求. 【课后作业】1、sino 15o cos 15 o的值为（cos 15）32,A2 第 6 页,共 11 页 sino 15A. 3 3B. 246C. 246D. 2、1 2cos3sin可化为（）32A. sin6B. sin3 C. sin6D. sin3、如、0,2,且 tan4,tan1,就的值是（）37A. 3B. 4C. 6D. 8D. T4、函数 y8sinxcosc xos2x的周期为 T,最大值为A,就（）A. T,A4 B. T2,A4 C
16、. T,A25、已知1 cos11,就 sin2的值为（）sinA. 21B. 12C. 2 22D. 22 26、已知 tan1,就 cos21sin2（）32细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A. 6B. 4C. 4 5D. 6 5557、设 f tan x tan 2 x,就 f 2 （）A. 4 B. 4 C. 2 D. 45 3 38、2 sin 2 2 cos 4 的值是（）A. sin2 B. cos2 C
17、. 3 cos 2 D. 3 cos 29、在 ABC中,如 2 cos B sin A sin C ,就 ABC的外形肯定是（）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形10、要使斜边肯定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 正弦值为1 的锐角311、已知向量 OB 2,0,向量 OC 2,2,向量 CA 2 cos,2 sin,就向量 OA与OB的夹角范围为（）A. 0,B. ,5 C. 5,D. ,54 4 12 12 2 12 1212、已知： 3 cos 2 5 cos 0,就 tan tan 的值为（）A
18、. 4 B. 4 C. 4 D. 1 13、已知 sin cos 1,就 cos4 _. 314、函数 y 2 sin x cos x 2 sin 2 x 1 的最小正周期为 _. 15、已知,且、满意关系式 3 tan tan a 2 tan 3 tan 0,就 tan _. 616、已知 f x 1 x；如,就 f cos f c os 可化简为 _. 1 x 217、求值： tan 70 o cos 10 o 3 tan 20 o 1 18、已知函数 fx sin 2 x 3 sinc x os x 12（1）求函数 f x 的最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值
19、时自变量 x 的集合；（3）求函数的单调区间,并指出在每一个区间上函数的单调性 . 219、如已知 cos x 3,17x 7,求sin 2 x 2 sin x 的值 . 4 5 12 4 1 tan x细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -20、已知 、 为锐角,且 3sin22sin21,3sin22sin20. 求证：22【参考答案】【课堂练习】1、B 2、D 3 、 B 4 、A 5 、C
20、6 、D 7 、D 8 、D 9 、D 10 、C1 cosx= 7 5 第 8 页,共 11 页 11、3 12 、 4 3 3 13 、1 14、72515、解：（ I ）由于 tan22,所以tan12tan22224,1432 tan所以（ I ）tan4tantan4tan1411.341tan1tan7tan 413（II ）6sincos=6tan16-41733sin2cos3tan23426316、解：sinsincos4122sincos42sincos.2222sincos2coscossincos当为其次象限角,且sin15时cos1,sincos0,44所以sinsi
21、n41=422.2coscos 217、解： 由sinxcosx1, 得sinxcos 2 152, 得 2sinxcosx=24, 525 sinx-cosxx2=1-2sinxcosx=49, 又2x0, sinx0, sinx 25 sin2x2sin2x2sinxcosx2sin2x2sinxcosxsinxcosx247255241tanx1sin cosxsinxcosx 175x5细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
22、 - -18、解：cos 24cos2cos4sin2sin42cos2sin2.2347,cos40,由此知3247,61 1266444sin41cos241324.55从而cos2sin222sin4cos4243245525sin2cos2212cos2412327.525cos242247312225255019、解：y74sinxcosx4cos2x4cos4x72sin 2x4cos2x12 cosx72sin 2x4cos2xsin2x72sin 2x2 sin 2x1 sin 2x2由于函数zu126在11, 中的最大值为zmax1 12610；最小值为zmin故当 sin
23、2x1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2x1时 y 取得最小值 620、解：（）由cos1,02,得sin12 cos1124 3777tansin4 374 3,于是tan 212 tan2124 328 3cos71tan474 3（）由 02,得 02又cos13,sin1cos211323 3141414由得： coscoscoscossinsin1134 33 31；所以3.7147142【课后作业】 1 、D 2 、A 3、 B 4 、D 5 、C 6 、D 7 、D 8 、C 9 、A 10 、B 11 、D 12 、C 第 9 页,共 11 页 - - - - - -
24、- - - 13 、47 14 、 15、3 1a16、281sin细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 17 、解：原式sin70ocos 10o3sin20o13 cos10ocos10osin 70ocos 70ocos 20ocos70oo o o o3 cos10 o2sin10 cos10 cos20ocos10 o 3sin 202sin10 cos20osin 20 cos30 o cos20 osin 30 o sin 20 o 30 oo
25、o 1sin10 sin10 18 、解： fx 1 cos 2 x 3sin 2 x 1 3sin 2 x 1cos2 x 1 sin 2 x 12 2 2 2 2 6（1） T 2 2（2）当 2 x 2 k k Z2 6 2即 x x x k,k Z 时, f x max 23当 2 x 2 k k Z；即 x x x k,k Z 时, f x min 06 2 6（3）当 2 k 2 x 2 k kZ；即 k x k k Z 时, f x 单调递增；2 6 2 6 3当 2 k 2 x 2 k 3 kZ；即 k x k 5k Z 时, f x 单调递减；2 6 2 3 6故 f x 的
26、单调递增区间为 k,k k Z；单调递减区间为 k,k 5 k Z6 3 3 6 19 、 cos 3,17 x 73 x 2,就 sin x 44 5 12 4 5 4 4 5从而 cos x cos x cos x cos sin x sin 3 2 4 2 24 4 4 4 4 4 5 2 5 2 10sin x 1 cos 2 x 7 2,tan x 71027 2 2 7 22 sin x cos x 2 sin 2x 210 10 210 28故原式1 tan x 1 7 75 20 、由已知 3 sin 2 2 sin 2 1 3sin 2 2sin 2 02 2 33sin 1 2sin cos 2 sin 2 sin 2 3sin cos22cos 2 cos cos2 sin sin 2 cos3sin sin3sin cos 0细心整理归纳 精选学习资料 第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 、 为锐角, 023222细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - -