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1、函数与方程思想在解题中的应用第 1 页 共 7 页函数与方程思想在解题中的应用【思想方法诠释】函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。1函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。2方程的思想方程的思
2、想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。3函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0 ，就是求函数y=f(x)的 零点，解不等式f(x)0(或 f(x)0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=
3、f(x)-g(x)与 x 轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a 属于函数f(x) 的值域，函名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 函数与方程思想在解题中的应用第 2 页 共 7 页数与方程的这种相互转化关系十分重要。4函数与方程思想解决的相关问题（1）函数 思想在解题中的应用主要表现在两个方面：借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；在问题研究中通过建立函数关系式
4、或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。【核心要点突破】要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例 1：若 a、b 是正数，且满足ab=a+b+3，求 ab 的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 函数与方程思想在解题中的应用第 3 页 共 7 页要点考向2：运用函数与方程思想解决方程问题例 2： 已知函数211( )2coscoscos2,
5、222xf xxx2( )cos(1cos )cos 3.g xxax或( )yf x与( )yg x的图象在(0,)内至少有一个公共点，试求a的取值范围。要点考向3：运用函数与方程思想解决不等式问题例 3： （1）已知且那么（）（2）设不等式对满足 m -2 ，2 的一切实数 m都成立，求x 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 函数与方程思想在解题中的应用第 4 页 共 7 页要点考向4：运用函数与方程思
6、想解决最优化问题例 4：图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2 是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形， 弧CmD是半圆， 凹槽的横截面的周长为4. 已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3, 设AB=2x,BC=y. （）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；（）求当x取何值时，凹槽的强度最大. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 函数与方程思想在解题中的应用第 5 页
7、 共 7 页【跟踪模拟训练】一、选择题1. 已知正数 x,y 满足 xy=x+9y+7 ，则 xy 的最小值为 ( ) (A)32 (B)43 (C)49 (D)60 2方程有解，则 m的最大值为（）(A)1 (B)0 (C)-1 (D)-2 3. 一个高为 h0， 满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h 时，鱼缸内剩余水的体积为 V,则函数 V=f(h) 的大致图象可能是（）4. 对任意 a -1,1 ，函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x 的取值范围是( ) (A)1x3 (B)x3 (C)1x2 (D
8、)x2 6已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值范围是（）.21,).(,0.(2,).12,)ABCD二、填空题7的定义域和值域都是1 ，k ，则 k= 8 已知数列中， 若数列的前30 项中最大项是， 最小项是， 则 m= ,n= 9. 设 f(x) ，g(x) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 当 x0,且 g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - -
9、- - - 函数与方程思想在解题中的应用第 6 页 共 7 页三、解答题10. 已知函数f(x)=ln(2x)和 g(x)=2ln(2x+m-2)，m R的图象在 x=2 处的切线互相平行. (1) 求 m的值； (2) 设 F(x)=g(x)-f(x).当 x1,4 时 ,F(x) 2tln4恒成立 , 求 t 的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 函数与方程思想在解题中的应用第 7 页 共 7 页习题答案1C 2A 3. A 4B 6 A 7 3 8 10、9 9 （- ,-3 ）（ 0，3）10. （1）6 (2) t1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -