2022年2022年六大基本初等函数图像与性质 .pdf

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1、word 格式文档专业整理六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数) y =C (其中 C 为常数);常数函数(Cy)0C0C平行于 x 轴的直线y 轴本身定义域 R定义域 R二、幂函数xy,x是自变量,是常数;1. 幂函数的图像 :2. 幂函数的性质 ;性质函数xy2xy3xy21xy1xy定义域R R R 0,+ ) x|x 0 值域R 0,+ ) R 0,+ ) y|y 0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增0,+ ) 增增增(0,+ ) 减(- ,0 减(- ,0) 减公共点(1,1 )x y O xy2xy3xy1xy21xyO 0yx CyO x y y 名师资料总结 -

2、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理1)当为正整数时,函数的定义域为区间为),(x,他们的图形都经过原点,并当1 时在原点处与x 轴相切。且为奇数时,图形关于原点对称;为偶数时图形关于y 轴对称;2)当为负整数时。函数的定义域为除去x=0 的所有实数;3)当为正有理数nm时, n 为偶数时函数的定义域为(0, + ), n 为奇数时函数的定义域为(-,+ ),函数的图形均经过原点和(1 ,1 );4)如果

3、 mn图形于 x 轴相切,如果mn,图形于 y 轴相切,且m为偶数时,还跟y 轴对称; m ,n 均为奇数时,跟原点对称;5)当为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除 x=0 以外的一切实数。三、指数函数xay(x是自变量 ,a是常数且0a,1a),定义域是 R ; 无界函数 1. 指数函数的图象:2. 指数函数的性质;性质函数xay) 1(axay)10(a定义域R 值域(0 ,+) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0,1) ,即0 x时,1y单调性在),(是增函数在),(是减函数1) 当1a时 函 数 为 单 调 增 , 当10a时 函 数 为 单

4、 调 减 ;2) 不 论x为 何 值 ,y总 是 正 的 , 图 形 在x轴 上 方 ;3) 当0 x时 ,1y, 所 以 它 的 图 形 通 过 (0,1)点 。1yO (0,1) x y xay)10(ax xay)1(a1yO (0,1) y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理3. (选,补充)指数函数值的大小比较*Na;a. 底数互为倒数的两个指数函数xaxf)(,xaxf1)(

5、的函数图像关于y 轴对称。b.1. 当1a时,a 值越大,xay的图像越靠近 y 轴;b.2. 当10a时,a 值越大,xay的图像越远离 y 轴。4. 指数的运算法则(公式);a. 整数指数幂的运算性质),0(Qnma;(1) nmnmaaa(2) nmnmaaa(3) mnnmnmaaa(4) nnnbaabb. 根式的性质;(1)aann; (2) 当 n 为奇数时,aann当 n 为偶数时,)0(0)(aaaaaannc. 分数指数幂;(1) 1, 0(*nZnmaaanmnm(2)1, 0(11*nZnmaaaanmnmnmy xaxf)(xaxf1)(O (0,1) x x O (

6、0,1) y xxf2)(xxh3)(O (0,1) y xxq21)(xxg31)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理四、对数函数xyalog(a是常数且1, 0 aa) ,定义域),0(x 无界 1. 对数的概念: 如果 a(a 0,a1) 的 b 次幂等于 N,就是Nab,那么数b 叫做以 a 为底 N的对数,记作bNalog, 其中 a 叫做对数的底数,N叫做真数,式子Nalog

7、叫做对数式。对数函数xyalog与指数函数xay互为反函数,所以xyalog的图象与xay的图象关于直线xy对称。2. 常用对数:N10log的对数叫做常用对数,为了简便,N的常用对数记作Nlg。3. 自然对数: 使用以无理数7182.2e为底的对数叫做自然对数,为了简便,N的自然对数Nelog简记作Nln。4. 对数函数的图象:5. 对数函数的性质;性质函数xyalog)1(axyalog)10(a定义域(0 ,+) 值域R 奇偶性非奇非偶公共点过点(1,0),即1x时,0y单调性在(0,+ ) 上是增函数在(0,+ ) 上是减函数1)对数函数的图形为于y 轴的右方,并过点(1,0) ;2)

8、当1a时,在区间 (0,1) ,y 的值为负,图形位于x 的下方;在区间(1, +) ,y 值为正,图形位于x 轴上方,在定义域是单调增函数。1a在实际中很少用到。y O x (1,0) 1xxyalog)1(aO x (1,0) y 1xxyalog) 10(a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理6. (选,补充)对数函数值的大小比较*Na;a. 底数互为倒数的两个对数函数xyalog,

9、xya1log的函数图像关于x 轴对称。b.1. 当1a时, a 值越大,xxfalog)(的图像越靠近x 轴;b.2. 当)10(a时, a 值越大,xxfalog)(的图像越远离x 轴。7. 对数的运算法则(公式);a. 如果 a0,a1,M 0,N0,那么:NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglogb. 对数恒等式:NaNalog)010(Naa,且c. 换底公式:(1)bNNaablogloglog(1,0 aa,一般常常换为e或 10为底的对数 , 即bNNblnlnlog或bNNblglglog)(2) 由公式和运算性质推倒的结论:bm

10、nbananloglogd. 对数运算性质(1)1的对数是零,即01loga;同理01ln或01lg(2) 底数的对数等于1,即1logaa;同理1ln e或110lgy O x (1,0) xyalogxya1logy O x (1,0) xxf2log)(xxf3log)(y O x (1,0) xxf21log)(xxf31log)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理五、三角函数1

11、. 正弦函数xysin, 有界函数,定义域),(x,值域 1, 1y图象:五点作图法:0,2,23,22. 余弦函数xycos,有界函数,定义域),(x,值域 1, 1y图象:五点作图法:0,2,23,23. 正、余弦函数的性质;性质函数xysin)(Zkxycos)(Zk定义域R 值域-1,1 -1,1 奇偶性奇函数偶函数周期性2T2T对称中心)0,(k)0 ,2(k对称轴2kx)0,2(k单调性在22 ,22kkx上是增函数在232 ,22kkx上是减函数在kkx2,2上是增函数在kkx2,2上是减函数最值22kx时,1maxy22kx时,1minykx2时,1maxykx2时,1miny

12、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理4. 正切函数xytan,无界函数,定义域)( ,2Zkkxx,值域),(yxytan的图像5. 余切函数xycot,无界函数,定义域Zkkxx,),(yxycot的图像6. 正、余切函数的性质;性质函数xytan)(Zkxycot)(Zk定义域2kxkx值域RR奇偶性奇函数奇函数周期性TT单调性在)2,2(kk上都是增函数在) 1( ,(kk上都是减函

13、数对称中心)0 ,2(k)0 ,2(k零点)0,(k)0,2(k2O 2322532232253y x 2O 23225223225y x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理7. 正割函数xysec,无界函数,定义域)( ,2Zkkxx,值域1secx8. 余割函数xxysin1csc,无界函数,定义域)( ,Zkkxx,值域1cscx9. 正、余割函数的性质;性质函数xysec)(Zk

14、xycsc)(Zk定义域kxx2kxx值域), 1 1(,), 1 1(,奇偶性偶函数奇函数周期性2T2T单调性)232,2()2,22(kkkk减)2,22()22 ,2(kkkk增)22,232()22,2(kkkk减)232,2()2,22(kkkk增2O 232252232253y x -1 1 2O 232252232253y x -1 1 xysec的图像xycsc的图像名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 13 页 - - - - - - - -

15、- word 格式文档专业整理续表:性质函数xysec)(Zkxycsc)(Zk对称中心)0,2(k)0 ,(k对称轴kxkx2渐近线kx2kx六、反三角函数1. 反正弦函数xyarcsin,无界函数,定义域-1,1,值域,0A.反正弦函数的概念:正弦函数xysin在区间2,2上的反函数称为反正弦函数,记为xyarcsin2. 反余弦弦函数xyarccos,无界函数,定义域-1,1,值域,0B. 反余弦函数的概念:余弦函数xycos在区间,0上的反函数称为反余弦函数,记为xyarccosxyarcsin的图像xyarccos的图像3. 反正、余弦函数的性质;性质函数xyarcsinxyarcc

16、os定义域-1,1 -1,1 值域,0,0奇偶性奇函数非奇非偶函数单调性增函数减函数O x y 1 -1 22O x y 1 -1 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理4. 反正切函数xyarctan,有界函数,定义域),(x, 值域2,2C.反正切函数的概念:正切函数xytan在区间2,2上的反函数称为反正切函数,记为xyarctan5. 反余切函数xarcycot,有界函数,定义域)

17、,(x, 值域,0D. 反余切函数的概念:余切函数xycot在区间,0上的反函数称为反余切函数,记为xarcycotxyarctan的图像xarcycot的图像6. 反正、余弦函数的性质;函数性质xyarctanxarcycot定义域R 值域2,2,0奇偶性奇函数非奇非偶单调性增函数减函数x y O 22x y O 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理三角函数公式汇总一、任意角的三角函

18、数在角的终边上任取一点),(yxP,记:22yxr。正弦:rysin余弦:rxcos正切:xytan余切:yxcot正割:xrsec余割:yrcsc二、同角三角函数的基本关系式倒数关系:1cscsin,1seccos,1cottan商数关系:cossintan,sincoscot平方关系:1cossin22,22sectan1,22csccot1三、诱导公式x轴上的角,口诀:函数名不变,符号看象限;y轴上的角,口诀:函数名改变,符号看象限。四、和角公式和差角公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos

19、(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(五、二倍角公式cossin22sin2tan1tan22tan2222sin211cos2sincos2cos二倍角的余弦公式常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)2cos22cos12sin22cos12)cos(sin2sin12)cos(sin2sin1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理22cos1cos2

20、,22sin1sin2,2cos12sin2sin2cos1tan六、三倍角公式)3sin()3sin(sin4sin4sin33sin3)3cos()3cos(cos4cos3cos43cos3)3tan()3tan(tantan31tantan33tan23七、和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos八、辅助角公式)sin(cossin22xbaxbxa其中:角的终边所在的象限与点),(ba所在的象限相同,22sinbab,22cosbaa,abtan九、三角函数的周期公式函数)sin(xAy,Rx

21、及函数)cos( xAy,Rx(A, 为常数,且0,0A) 周期:2T函数)tan( xAy,Zkkx,2(A, 为常数,且0,0A) 周期:T十、正弦定理RCcBbAa2sinsinsin( R为ABC外接圆半径)十一、余弦定理Abccbacos2222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 13 页 - - - - - - - - - word 格式文档专业整理Baccabcos2222Cabbaccos2222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 13 页 - - - - - - - - -

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