《2022年《概率论》期中测试题参考解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《概率论》期中测试题参考解答.docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载概率论期中测试题参考解答1、（10 分） 设 A、 、C表示三个随机大事,试用大事A、 、C的运算分别表示以下各大事：1 A 不发生而 B、C都发生；表示为： ABC2 A、 、C三个大事至少有一个发生；ABCUABCUABC表示为： AUBUC；或表示为： ABCUABCUABCUABCU3 A、 、C三个大事至多有一个发生；表示为： ABCUABCUABCUABC4 A、 、C恰有两个不发生；表示为： ABCUCABUBAC；5 A、 、C都不发生；表示为： ABC6 A、 、C 三
2、个大事不少于两个发生；表示为： AB U BC U AC；或表示为：ABC U ABC U ABC U ABC7 A、 、C 同时发生；表示为： ABC8 A、 、C 三个大事不多于两个发生；表示为： A U B U C；或表示为： ABC或表示为：ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC9 A、 、C不全发生；表示为： AUBUC；或表示为： ABC细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
3、-优秀学习资料欢迎下载P AB ；或表示为： ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC10 A、 、C恰有一个发生 . 或表示为： ABCUABCUABC2、（14 分）已知P A0.6,P AB0.3,P B 0.6,求：1P AB ；23P AUB；4P AB ；5P A B ；6P B A ；7P A BUA . 解：（ 1）由于 0.3P ABP ABP A P AB ,所以有P ABP A0.31P A0.30.40.30.1；（2）P ABP AP AB1P AP AB10.60.10.3（3）P AUB P A P BP AB0.40.60.10.9；（4）P AB
4、P AUB1P AUB10.90.1；（5）P A BP AB0.11；P B0.66（6）P B AP ABP AB 0.33；P A1P A0.44（7）P A BUAP A BUAP ABUAAP BUAP B P AP BAP ABP B P AP BP ABP AB0.11P AP AB0.60.173、（8 分）一个盒子中有 10个球,其中 4 个黑球 6 个红球,求以下大事的概率：1 A =“ 从盒子中任取一球,这个球是黑球”；2 B =“ 从盒子中任取两球,刚好一黑一红” ；3 C =“ 从盒子中任取两球,都是红球”；4 D =“ 从盒子中任 第 2 页,共 9 页 - - -
5、 - - - - - - 取五球,恰好有两个黑球”. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：（ 1）P A 1 C 42；（2）优秀学习资料欢迎下载P C 2 C 61；P B1 1C C 68 15；（3）1 C 1052 C 102 C 103（4）P C C C 4 26 3105 C 10214、（3 分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1 1 2,求目标被命中的概率 . 3 2 3解： 设 A =“甲命中目标 ”；A =
6、“乙命中目标 ”；A =“丙命中目标 ”； A =“目标被击中”；就 A 1 U A 2 U A 3,且 A 1 , A 2 , A 独立；故有,P A P A 1 U A 2 U A 3 1 P A 1 U A 2 U A 3 1 P A A A 3 1 P A P A 2 P A 3 1 1 1/ 3 1 1/ 2 1 2/ 3 8/95、（6 分）设某批产品中 , 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45% 、35%和 20% ,各厂的产品的合格品率分别为 96%、98%、 95%. 现从中任取一件, 1 求恰好取到不合格品的概率；2取到的不合格品是由甲厂生产的概率 . 解：设 A =“ 任
7、取一件产品,恰为不合格品”；iB =“ 任取一件产品,恰为第 i 条流水线生产 ”, i =甲,乙,丙；P B甲0.45, P B乙0.35, P B丙0.20, P A B甲0.04, P A B乙0.02,P A B丙0.05；（1）由全概率公式有：P A P B 甲 P A B 甲P B 乙P A B 乙P B 丙P A B 丙=0.450.04+0.35 0.02+0.20.05=0.035（2）由贝叶斯公式有：P B 甲| P AB 甲=P B 甲 | P A B 甲=0.450.04=0.51429 第 3 页,共 9 页 P AP A 0.035细心整理归纳 精选学习资料 - -
8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载6、（8 分）在电源电压不超过200 伏, 在 200240伏和超过 240 伏三种情形下 ,某种电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.001和 0.2. 假设电源电压 X N220 ,252,试求：1该电子元件损坏的概率； 2在该电子元件损坏时, 电源电压在 200240伏的概率 . 注： 0 . 8 0 . 7881 解： 设 A =“ 该电子元件损坏 ”；B =“电源电压不超过 200 伏”,
9、B =“电源电压在 200240伏”,B =“ 电源电压超过 240 伏”；已知 P A B1 0.1,P A B2 0.001,P A B3 0.2P B 1 P X 200 200 220 0.8 1 0.8 1 0.7881 0.2119 ,25P B 2 P 200 X 240 240 220 200 220 2 0.8 1 0.5762,25 25P B 3 P X 240 1 P X 240 1 240 220 1 0.8 0.2119,25（1）由全概率公式有：P A P B 1 P A B 1 P B 2 P A B 2 P B 3 P A B 3 =0.2119 0.1+0.
10、5762 0.001+0.2119 0.2=0.064146（2）由贝叶斯公式有：P B A | P AB2=P B 2P A B 2=0.57620.001=0.008983P AP A0.0641467、（6 分）设在一次试验中,大事A 发生的概率为 p ,现进行 n 次独立试验,试求 : 1 A 恰好发生两次的概率； 2 A 至少发生两次的概率； 3 A 至多发生两 次的概率 .解： 设 X 表示 n 次独立试验中大事A发生的次数,易知Xb n p ； 第 4 页,共 9 页 1 C p11p n1（1）P X22 C p21pn2；（2）P X2ni C pi1pn ii2110 C
11、p01pn0或P X21P X0P X细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1优秀学习资料欢迎下载,x , 记1pnnp1pn1；（3）P X22i C pi1pn i；8、（ 6 分 ） 从i037 五 个 整 数 中 任 取 三 个 不 同 的 数 , 设 为x x 2Xminx x2,x3,求：1 X 的分布列； 2 X 的分布函数；3P 2X4.解：（1）随机变量 X 的可能取值为： 3,4,5 且有P X32 C
12、46；P X42 C 33；P X52 C 21；所以 X 的分布3 C 5103 C 5103 C 510列为：X3 4 ；5 ,求：P6/10 3/10 1/10 0x3（2）分布函数F x 6 /103x4；9 /104x5x21x5（3）P 2X4P X3P X49/100,9、（6 分）设随机变量X 的分布函数为F x 0.3,2x10.5,1x3（1） X 的分布列；（2）E X ；（3）Var X . 0.7,3x71,x7解：（1） X 的可能取值为分布函数F x 的间断点： -2,1,3,7；P X2FF 2F 100.300.3；P X11F100.50.30.2；P X3
13、F3F300.70.50.2；P X7F7F7010.70.3；所以 X 的分布列为：细心整理归纳 精选学习资料 X-2 1 3 7 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载P 0.3 0.2 0.2 0.3 （2）E X 2 0.3 1 0.2 3 0.2 7 0.3 2.3；（3）E X 2 2 20.3 1 20.2 3 20.2 7 20.3 17.9；Var X E X 2 E X 217.9 2.
14、3 212.61；10、（3 分）随机变量 X 听从泊松分布,且 P X 0 P X 1,求 P X 2 . k解： 由于 X 听从泊松分布,即 X P ,故 X 的分布列为：P X k e,k .0 1由于 P X 0 P X 1,所以有 e e,得 1,所以0. 1.2 1P X 2 1 e 1 e2. 2kx , 0 x 311、（14 分）设随机变量 X 的密度函数为 f x 2 x , 3 x 4, 1确定常20, 其它数 k ；2求随机变量 X 的分布函数； 3求 P 1 X 7；（ 4）求 E X ；（5）2求 Var X . 解：（1）由 1 f x dx 3kxdx 42 x
15、 dx,k 1；故0 3 2 6x, 0 x 36f x 2 x , 3 x 420, 其他x（2） X 的分布函数 F x P X x f t dt ,x x（i）当 x 0 时,F x f t dt 0 dt 0；（ii ）当 0 x 3 时,F x xf t dt 00 dt 0 x t6 dt12 x 2；细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（iii ）当 3 x 4
16、时,2F x xf t dt 00 dt 0 36 tdt 3 x22 t dt 2 x x4 3；（iv ）当 x 4 时,F x xf t dt 00 dt 0 36 tdt 3 422 t dt 4 x0 dt 1；0 x 02x0 x 3故 F x 122x2 x 3 3 x 441 x 4（3）P 1 X 72 1 72 f x dx 1 36 xdx 3 72 22 x dx 4148；2或 P 1 X 7F 7F 1 2 7 1 73 1 41；2 2 2 4 2 12 48（4）E X xf x dx 3x x dx 4x 2 x dx 7；0 6 3 2 3（5）E X 2
17、x f x dx 20 3x 26 xdx 3 4x 22 x2 dx 376；2Var X E X 2 E X 2 37 7 13；6 3 18212、（3 分）设随机变量 X 的分布列如下,试求 Y X X 的分布列 . X 2 1 0 1 2P 0.3 0.2 0.1 0.3 0.1解： 由于：细心整理归纳 精选学习资料 X21012 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载30.1P0.30.20.10
18、.36 YX2X2 0 0 2 ,求：（1）随所以YX2X 的分布列为：Y0 2 6 P0.3 0.6 0.1 13、（8 分）设随机变量X 的密度函数为fX 2 , 90x0,其它机变量Y2X8的密度函数；（2）求E Y ；（ 3）求Var Y . 解：（ 1）分布函数法：记Y2X8的分布函数与密度函数分别为：2F Y y ,Yf y ；就有： 第 8 页,共 9 页 F Y P YyP2X8y P Xy28y82fX x dx（i）当y280,即y8时；y8y8F Y 2fX x dx20dx0；（ii ）当0y283,即 8y14时F Y y28fX x dx00 dx0y82xdxy8
19、2936（iii ）当y283,即y14时F Y y8fX x dx00dx32xdxy80 dx221；0930y8y88y14故F Y y828y14,fY F Y 18360其它1y14细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载公式法：由于yg x 2x8在 , 上严格递增；48；其反函数为xh y y28,且h y 1,故有：2f Y fX |h y |0h y 30其它2y2810y284y88y
20、1492180其它0其它（2）E XxfX x dx3x2xdx2；09E Y E2X82 E X822812；（3）E X2x f 2X x dx3x 22xdx9；09Var XE X2E X29225；Var Y Var2X8Var2X4 Var X4 1214、（5 分）设 X 为非负连续型随机变量且数学期望存在,证明：证明： 记 X 的密度函数为x0,P Xx1E X.1E X 第 9 页,共 9 页 xp x ,就x0有P Xx xp t dtxp t dt1xp t dttp t dt0xt p t dt x111 x1t xp t dtx细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -