《2022年-高中数学第二章推理与证明.直接证明与间接证明..综合法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年-高中数学第二章推理与证明.直接证明与间接证明..综合法.docx（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022-2022 年高中数学其次章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法教学案新人教 A 版选修 2-2预习课本 P8589,摸索并完成以下问题 1 综合法的定义是什么？有什么特点？2 综合法的推证过程是什么？3 分析法的定义是什么？有什么特点？4 分析法与综合法有什么区分和联系？ 新知初探 1综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、P. Q1 Q1. Q2 Q2. Q3顺推 Qn. Q P 表示已知条件,已有的证法定理等,经过一系列的推理论证,最终或由推导出所要证明的
2、结论成立,这种证明定义、公理、定理等,Q表示所要证明的因导方法叫做综合法结论 . 果法2. 分析法定义逐步寻框图表示特点 第 1 页,共 22 页 从要证明的结论动身,Q. P1 P1. P2逆推细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求使它成立的充分条件,直至 P2. P3 证法最终,把要证明的结论归结为得到一个明显成立的条件或执判定一个明显成立的条件 已果索知条件、 定理、定义、公理等 因法为止这种证明方法叫做分析法3综合
3、法、分析法的区分综合法 分析法推理方向 顺推,由因导果 倒溯,执果索因解题思路 探路较难,易生枝节 简洁探路,利于摸索表述形式 形式简洁,条理清楚 表达繁琐,易出错摸索的侧侧重于已知条件供应的信息 侧重于结论供应的信息重点 点睛 一般来说, 分析法解题方向明确,利于寻求解题思路； 而综合法解题条理清楚,宜于表述 因此在解决问题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程 小试身手 1判定 正确的打“ ” ,错误的打“ ” 1 综合法是执果索因的逆推证法 2 分析法就是从结论推向已知 3 全部证明的题目均可使用分析法证明 答案： 1 2 3 22如 ab0,就以下不等式中不正
4、确选项 Aa2abB abbC.1 a1D a 2 b 2b答案： C 细心整理归纳 精选学习资料 3欲证2367成立,只需证 第 2 页,共 22 页 A232672B262372C272362D236272 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案： C 4假如 a abb,就实数 a,b 应满意的条件是_答案： ab 0 综合法的应用 典例 在 ABC中,三边 a,b,c 成等比数列求证：acos2C 2ccos2A 23 2b. 证明 a,b
5、,c 成等比数列,b 2ac. 左边a1 cos C 2c1 cos A 21 2 ac 1 2 acos Cccos A 1 2 ac 2a a 2b2ab 2c2cb2 c 2 a 22bc1 2 ac 1 2bacb 2bb 23 2b右边,acos2C 2ccos2A 23 2b. 当且仅当 ac 时等号成立综合法的解题步骤 活学活用 1已知 a, b,c,dR,求证： acbd证明：左边a 2c2 2abcd b 2d2a 2c 2 a 2d 2b2c2 b 2d2 a2b 2 c2d2 右边,2 a 2 b 2 c 2 d 2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
6、 - - - - - - - - 第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - ac bd2 a2b 2 c2d2 2设数列 an 满意 a10,1 1an11 1an1. 1 求 an 的通项公式；1an 12 设 bn,Snb1b2 bn,证明： Sn1. n1 1解：1 1 an11an1,11an是公差为 1 的等差数列又1 a1 1,1ann,an11 n. 12 证明：由 1 得bn1an1nn1n1 n1 n1,11111. n1nSnb1b2 bn11211 23nn1n1S
7、n1. 分析法的应用 典例 设 a,b 为实数,求证：a 2b 22 2 a b 证明 当 ab0 时, a 2b 20,a 2b 22 2 ab 成立当 ab0 时,2用分析法证明如下：要证 a 2b 22 ab ,只需证 a 2 b 2 22 ab 2 2. 1即证 a 2b 22 a 2b 22ab ,即证 a 2b 22 ab. a 2b 22ab 对一切实数恒成立,2 a 2b 22 ab 成立综上所述,不等式得证分析法证明不等式的依据、方法与技巧细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 22 页 - - - - - -
8、- - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1 解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论；2 适用范畴：对于一些条件复杂,结构简洁的不等式的证明,常常用综合法而对于 一些条件简洁、结论复杂的不等式的证明,常用分析法；3 思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式动身,逐步寻求使它成立的 充分条件,最终得到的充分条件是已知 或已证 的不等式；4 应用技巧：用分析法证明数学命题时,肯定要恰当地用好“ 要证” 、“ 只需证” 、“ 即证” 等词语 活学活用 已知 a,b, c 都为正实数,求
9、证：a2b2c2abc 3 . a 2b 2c 233证明：要证a 2b 2c 2abc 3,3只需证a2b2c2abc 32,3只需证 3 a2 b 2 c 2 a2b2c22ab2bc2ac,只需证 2 a2 b 2 c 2 2 ab2bc2ac,只需证 a b2 b c2 c a20,而这是明显成立的,所以abc 成立3分析法与综合法的综合应用 典例 已知 a,b,c 是不全相等的正数,且0 x1. 求证： log xab 2log xbc 2log xac 2log xalog xblog xc. 证明 要证明 logxab 2logxbc 2logxa c 2logxalogxblo
10、gxc,细心整理归纳 精选学习资料 只需要证明logxab 2bc2aclogx abc , 第 5 页,共 22 页 2由已知 0x1,只需证明ab 2bc2ac 2abc,由公式ab 2ab0,bc 2bc0, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -acac0. 又 a,b,c 是不全相等的正数,2ab 2bc2ac2a 2b 2c 2abc. 即ab 2bc2ac2abc 成立logxab 2logxbc 2logxac 2logxalogxb
11、logxc 成立分析综合法的应用综合法由因导果,分析法执果索因,因此在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来使用,即先利用分析法查找解题思路,再利用综合法有条理地表述解答过程 活学活用 已知 ABC的三个内角A,B,C成等差数列, a,b,c 为三个内角对应的边长,求证：1ab1 bc3 a bc. 证明：要证1 ab1 b c3 abc,即证a bc abab c b c3,即证c aba bc1. 即证 c bc a ab ab bc ,即证 c2a2ac b 2. ABC三个内角 A, B,C成等差数列B60 .由余弦定理,有 b 2c 2a 22cacos 60 ,即 b 2c 2a
12、 2ac. c 2a 2acb 2成立,命题得证层级一 学业水平达标 1要证明aa7a 3a4 a0 可挑选的方法有多种,其中最合理的是 B类比法A综合法C分析法D归纳法解析：选 C 直接证明很难入手,由分析法的特点知用分析法最合理细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2命题“ 对于任意角 , cos4 sin4 cos 2 ” 的证明：“cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2
13、cos2 sin2 cos 2 ” ,其过程应用了 A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证法解析：选 B 结合分析法及综合法的定义可知 B正确3在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满意什么条件 2 2Aa 2b 2c B a 2 b 2cCa 2b 2c D a 2 b 2c 2 2解析：选 C 由 cos Ab 2c2bc 2a0,得 b 2c 2a 2. 2ln 2 ln 3 ln 54如 a2,b3,c5,就 Aabc B cbaCcab D bacln x 1ln x解析：选 C 利用函数单调性 设 f x x,就 f x x 2,0
14、 xe 时,f xln 40,f x单调递增； xe 时, f x 0,f x 单调递减又 a, ba c. 45设 f x 是定义在 R上的奇函数, 且当 x0 时,f x 单调递减, 如 x1x20,就 f x1f x2 的值 B恒等于零A恒为负值C恒为正值D无法确定正负解析：选 A 由 f x 是定义在 R上的奇函数,且当 x0 时, f x 单调递减,可知 f x 是 R上的单调递减函数,由 x1x20,可知 x1x2,f x1 f x2 f x2 ,就 f x1 f x20. 6命题“ 函数f x xxln x 在区间 0,1 上是增函数” 的证明过程“ 对函数f x xxln x
15、取导得 f x ln x,当 x0,1 时, f x ln x 0,故函数 f x在区间0,1上是增函数” 应用了_的证明方法解析：该证明过程符合综合法的特点答案：综合法细心整理归纳 精选学习资料 7假如 a abbab b a,就正数 a,b 应满意的条件是_ 第 7 页,共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析： aabb abba a ab b ba ab ab ab 2 ab 只要 a b,就有 a a b ba bb a. 答
16、案： a b8如不等式 1na 2 1n 1n 恒成立,就实数a 的取值范畴是对任意正整数n_2解析：当 n 为偶数时, a 21 n,而 21 n21 23 2,所以 a3 2,当 n 为奇数时, a1 n,而 21 n 2,所以 a 2. 综上可得, 2 a3 2. 答案：2,329求证： 2cos sin2 sin sin . sin 证明：要证原等式,只需证：2cos sin sin2 sin ,由于左边 2cos sin sin 2cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin . 所以成立,所以原等式成立10已知数列 an的首项 a15,Sn
17、12Snn5, nN * 1 证明数列 an1 是等比数列2 求 an. 解： 1 证明：由条件得Sn2Sn1 n1 5 n2 又 Sn12Sn n5, 得 an12an1 n2 ,所以an 11 an12 an1 12 an1 an 12. 又 n1 时, S22S1 15,且 a15,所以 a211,所以a21 a11111 51 2,所以数列 an1 是以 2 为公比的等比数列2 由于 a116,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -
18、- - - - - - - - - - -所以 an16 2n13 2n,所以 an3 2 n1. 层级二 应试才能达标 1 1 b成立的条件是 1使不等式 aAab B ab Cab 且 ab0 D ab 且 ab0 解析：选 D 要使1 a1 b,须使 1 a1 b0,即 ba ab0. 如 ab,就 ba0,ab0；如 ab,就 ba0,ab0. 2对任意的锐角 , ,以下不等式中正确选项 Asin sin sin Bsin cos cos Ccos sin sin Dcos cos cos 解析：选D 由于 ,为锐角,所以0 ,所以cos cos 又 cos 0,所以 cos cos
19、cos 3如两个正实数x,y 满意1 x4 y1,且不等式xy 4m 23m有解,就实数m的取值范 第 9 页,共 22 页 - - - - - - - - - 围是 A 1,4 B , 1 4 ,C 4,1 D , 0 3 ,解析：选B x 0, y0,1 xy 1, xy 4 xyx4 y 2 y 4x4x y22y 4x4x y4,等号在 y4x,即 x2, y8 时成立, x y 4的最小值为4,要使不等式m 23m xy 4有解,应有m 23m4, m 1 或 m4,应选 B. 4以下不等式不成立的是 Aa2b 2c2abbccaB.abab a 0,b0 C.aa1a2a3 a3D
20、.210 26 解析：选D 对 A, a2b22ab,b2c22 bc,a2c22 ac, a 2b2c 2ab bcca；对 B,ab2ab2ab,ab2ab,aba b；对 C,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -要证aa1a2a3 a3 成立, 只需证明aa3a 2a1,两边平方得 2a 32 a a3 2a32 a2 a1 ,即 a a3 a2 a1 ,两边平方得 a 23aa 23a2,即 02. 由于 02 明显成立,所以原不等式成立；对于 D,
21、210 2 2 6 212 4 5244 53 0,2102 6,故 D错误ab 2ab5已知函数 f x 2 x,a,b 为正实数, Af 2,Bf ab ,Cf ab,就 A,B,C的大小关系是 _f 解析：ab 2ab a,b 为正实数 ,2ab abab,且 f x 2 x 是增函数, f2aba bab fab,即 C BA. 2答案： CB A6如下列图,四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的侧棱垂直于底面,满意 _时, BDA1C 写上一个条件即可 解析：要证 BDA1C,只需证 BD平面 AA1C. 由于 AA1BD,只要再添加条件 ACBD,即可证明 BD平面 AA1C,从
22、而有 BD A1C. 答案： ACBD答案不唯独 7在锐角三角形 ABC中,求证： sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C. 证明：在锐角三角形 ABC中, AB 2, A 2 B. 02B A2,又在 0,2内正弦函数 y sin x 是单调递增函数,sin Asin 2B cos B,即 sin Acos B同理 sin Bcos C,sin C cos A由,得：sin A sin Bsin Ccos Acos Bcos C. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 22 页 - - - - - -
23、- - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -8已知 nN,且 n 1,求证： logn n1 logn 1 n2 证明：要证明 logn n1 logn1 n 2 ,即证明 log n n1 log n1 n2 0.* log n n1 log n1 n2 1 logn1n log n 1 n2 1log n 1n log n1 n2. logn 1n又当 n1 时, log n1n0,且 log n1 n2 0,log n 1n log n1 n2 ,log n1n log n 1 n2 1 4log n 1nlog n1 n2 2 1
24、4log n 1 n n 2 1 4log 2n1 n 21 22n 4log n 1 n1 21,故 1log n1n log n1 n 2 0,1logn 1n logn1 n2 0. logn 1n这说明 * 式成立, log n n1 log n 1 n2 2022-2022 年高中数学其次章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法教学案新人教 A 版选修 2预习课本 P8589,摸索并完成以下问题1 综合法的定义是什么？有什么特点？2 综合法的推证过程是什么？3 分析法的定义是什么？有什么特点？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -
25、 - - - - - 第 11 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4 分析法与综合法有什么区分和联系？ 新知初探 1综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、P. Q1 Q1. Q2 Q2. Q3顺推 Qn. Q P 表示已知条件,已有的证法定理等,经过一系列的推理论证,最终推导出所要证明的结论成立,这种证明或由定义、公理、定理等,Q表示所要证明的因导方法叫做综合法结论 . 果法2. 分析法定义框图表示特点从要证明的结论动身,逐步寻Q. P1 P1. P2逆推求使它成立的充分
26、条件,直至最终,把要证明的结论归结为证法判定一个明显成立的条件 已 P2. P3 或执知条件、 定理、定义、公理等 得到一个明显成立的条件果索为止这种证明方法叫做分析因法法3综合法、分析法的区分细心整理归纳 精选学习资料 推理方向综合法分析法 第 12 页,共 22 页 顺推,由因导果倒溯,执果索因解题思路探路较难,易生枝节简洁探路,利于摸索表述形式形式简洁,条理清楚表达繁琐,易出错摸索的侧侧重于已知条件供应的信息侧重于结论供应的信息重点 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
27、- - - - - - - 点睛 一般来说, 分析法解题方向明确,利于寻求解题思路； 而综合法解题条理清楚,宜于表述 因此在解决问题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程 小试身手 1判定 正确的打“ ” ,错误的打“ ” 1 综合法是执果索因的逆推证法 2 分析法就是从结论推向已知 3 全部证明的题目均可使用分析法证明 答案： 1 2 3 22如 ab0,就以下不等式中不正确选项 Aa2abB abbC.1 a1D a 2 b 2b答案： C 3欲证2367成立,只需证 A232672B262372C272362D236272答案： C 4假如 a abb,就实数
28、a,b 应满意的条件是_答案： ab 0 综合法的应用细心整理归纳 精选学习资料 典例 在 ABC中,三边 a,b,c 成等比数列求证：acos2C 2ccos2A 23 2b. 第 13 页,共 22 页 证明 a,b,c 成等比数列,b 2ac. 左边a1 cos C 2c1 cos A 21 2 ac 1 2 acos Cccos A 1 2 ac 2a a 2b2ab 2c2cb2 c 2 a 22bc - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1
29、 2 ac 1 2bacb 2bb 2 3 2b右边,acos2C 2ccos2A 23 2b. 当且仅当 ac 时等号成立综合法的解题步骤 活学活用 1已知 a, b,c,dR,求证： acbd证明：左边a 2c2 2abcd b 2d2a 2c 2 a 2d 2b2c2 b 2d2 a2b 2 c2d2 右边, ac bd2 a2b 2 c2d2 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2设数列 an 满意 a10,1 1an11 1an1. 1 求 an 的通项公式；1an 1 2 设 bn,Snb1b2 bn,证明： Sn1. n 1 1 解：1 1 an11an1,11an是公差为 1
30、的等差数列1 1 1 又1 a1 1,1ann,an1n. 2 证明：由 1 得细心整理归纳 精选学习资料 bn1an1nn1n1 n1 n1,11111. 第 14 页,共 22 页 n1nSnb1b2 bn11211 23nn1n1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Sn1. 分析法的应用 典例 设 a,b 为实数,求证：a 2b 22 2 a b 证明 当 ab0 时, a 2b 20,a 2b 22 2 ab 成立当 ab0 时,用分析法证
31、明如下：要证 a 2b 22 ab ,2只需证 a 2 b 2 22 ab 2 2. 1即证 a 2b 22 a 2b 22ab ,即证 a 2b 22 ab. a 2b 22ab 对一切实数恒成立, a 2b 22 ab 成立综上所述,不等式得证2分析法证明不等式的依据、方法与技巧1 解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；2 适用范畴：对于一些条件复杂,结构简洁的不等式的证明,常常用综合法而对于一些条件简洁、结论复杂的不等式的证明,常用分析法；3 思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式动身,逐步寻求使它成立的充分条件,最终得到的充分条件是已知 或已证 的不等式；4 应用技巧：用分析法证明数学命题时,肯定要恰当地用好“ 要证” 、“ 只需证” 、“ 即证” 等词语 活学活用 细心整理归纳 精选学习资料 已知 a,b, c 都为正实数,求证：a2b2c2abc . 3 第 15 页,共 22 页 3证明：要证a 2b 2c 2abc 3,3只需证a2b2c2abc2,33只需证 3 a2 b 2 c 2 a2b2c22ab2bc2ac, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -