2022年《动态解析高考数学综合题》平面解析几何.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载第五章 直线与圆直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形,是代数方法在几何争论中的应 用的开头 . 对于这部分内容,同学应当深刻领悟并娴熟应用数形结合的思想方法,既要留意代数运算的简洁,也要充分利用几何图形的性质,仍要仔细考虑代数式的几何意义,在对参数的争论过程中不要遗漏某些特别值所表示的特别情形 . 近年来,这一部分内容在高考试题中通常属于基础题,难度中等,但解答问题 使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率 . 第一节 直线与圆的位置关系1. 直线的 x-截距与 y -

2、截距之间的关系例 1 （09 华南师大附中 3 月）已知直线 l 在 x 轴、 y 轴上截距的肯定值相等,且到点（ 1,2）的距离为 2 ,求直线 l 的方程 . 【动感体验】要全面考虑可能成立的各种情形. 已知直线 l 在 x 轴、y 轴上截距的肯定值相等的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情形 . 如图 5.1.1 所示,点 P 在以 A （1,2）为圆心、半径为2 的圆上,直线（记为 l ）经过点 P 且与圆 A 相切 . 就该 l 到点（ 1,2）的距离为恒为2 . l 在 x 轴、 第 1 页,共 31 页 打开文件“09 华南师大附中3 月.zjz” ,拖动点 P ,观看可能显现直

3、线y 轴上截距的肯定值相等的情形. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载图 5.1.1 【思路点拨】对于满意条件的直线其截距为零和不为零两种情形分别争论 . 【动态解析】图 5.1.2-5.1.7 所示六种情形下,经过点 均相等 . P 的直线在 x轴、 y 轴上截距的肯定值图 5.1.2 图 5.1.3 图 5.1.4 图 5.1.5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

4、- - - - - - 第 2 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 5.1.6 优秀学习资料欢迎下载图 5.1.7 k可设满意条件的直线的方程为ykxb. 6或当b0时,由点到直线的距离公式得：|k2|2,解得k21k226. |k当b0时,就直线l 的斜率 k 为 1 或者 -1,由点到直线的距离公式得：5或1bk2|2,当k1时,解得b1或b3；当k1时,解得b2b1. 1,因此所求直线的方程为：y26x,或y26x,或yx或yx3,或yx5,或yx1. 【简要评注】从此题的题设条件

5、,很简单挑选利用直线的截距式方程表示直线进行求解,但要留意防止遗漏直线经过原点的情形 . 在这里我们第一考虑到直线到点 A 的距离为2 ,再查找满意要求的直线,就简单分类了 . 有时候利用直线的截距式在绘制直线时特别便利,但答案通常写成斜截式 . 2. 直线与圆的位置关系例 2 （06 湖南理 10）如圆x22y24x4y100上至少有三个不同的点 第 3 页,共 31 页 到直线l:axby0的距离为2, 就直线 l 的倾斜角的取值范畴是（）；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料

6、 - - - - - - - - - - - - - - -A12,4 B优秀学习资料 C欢迎下载,3 D,212,5126方法一 ：【动感体验】2 2 2 2方程 x y 4 x 4 y 10 0 可化为 x 2 y 2 18,该圆的圆心为（ 2,2）、半径为 3 2,圆心在直线 y x 上 . l : ax by 0 是一条过原点的直线,系数 a, b 打算其倾斜角 . 令 k a,就 l 的方程为：y kx . 考虑 k 变化时与b直线 y kx 平行并与之距离为 2 2 的两条直线与圆交点的个数 . 打开文件“06 湖南理 10.zjz ” ,实线表示直线 y kx,虚线是两条到直线

7、y kx 的距离等于 2 2,通过拖动点 P 或者动画按钮可以转变 况. k 的值,如图 5.1.8-5.1.12 所示为其中的几种情图 5.1.8 图 5.1.9 图 5.1.10 图 5.1.11 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载图 5.1.12 【思路点拨】转变 k 的值考虑当圆上恰好有三个点到直线 l 的距离为 2 2 时,两条平行线与圆的位置关系 . 这时两平行

8、线应当其一与圆相切另一与圆相交,而圆心到直线 l 的距离恰好为 2 ,由此不难确定直线 l 的倾斜角的取值范畴 . 【动态解析】留意到OC22,当圆心到直线l 的距离 CD 恰好为2 时,如图5.1.8、图0上至少5.1.11 所示,COD6. 由此不难确定如圆x2y24x4y10有三个不同的点到直线12,512. l 的距离为22时, 直线 l 的倾斜角的取值范畴是所以挑选 B . 方法二：【动感体验】方程x2y24x4y100可化为x2 2y2 218,可知该圆的 第 5 页,共 31 页 - - - - - - - - - 圆心为（ 2,2）、半径为32. 进入文件“06 湖南理10.z

9、jz” 其次页,点 C 是方程x2y24x4y100所在圆的圆心. 点 P 是圆 C 上的动点,CDOP与D ,因此可以用直线OP 表示方程axby0对应的直线 l ,其中 . 拖动点 P ,观察直线 OP 与圆 C 的位置关系,判定当圆C 上至少有三个不同的点到直线OP 的距离为22时直线 OP 所应满意的条件, 如图 5.1.13-5.1.16 所示, 为其中的几种情形. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 5.1.13 优秀学习资料欢迎下载图 5.1

10、.14 图 5.1.15 图 5.1.16 【思路点拨】将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离 . 【动态解析】令ka,就 l 的方程为：ykx. ,如图 第 6 页,共 31 页 b当直线 OP 在圆心 C 左上方时,如圆上正好有3 个点到 l 的距离为224,5.1.13 所示,就此时|CD|32222. 又由于|OC|22,xOC所以在 Rt CDO 中,COD6,所以2,如xODxOCCOD5. 12当直线 OP 在圆心 C 的右下方时,如圆上正好有3 个点到 l 的距离为2图 5.1.14 所示,就此时| CD|32222. 又由于|OC|22,细心整理归纳 精选学习资料 -

11、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -xOC4优秀学习资料欢迎下载,所以在 Rt CDO 中,COD6,所以因此当122xODxODxOCCOD12. 5 12时,如图 5.1.15、图 5.1.16 所示,圆上有四个不同的点到 l 的距离为2. 所以挑选 B . 【简要评注】此题解答过程中要抓住两个关键：一、把圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离；二、直线的特点：经过原点 . 3. 直线与动圆的位置关系2例 3 （09 广东理 B19）已知曲线

12、 C y x 与直线 l : x y 2 0 交于两点A x A , y A 和 B x B , y B ,且 x A x 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段AB所围成的平面区域（含边界）为 D设点 P s t 是 C : y x 上一点,且点 2P与点 A 和点 B 均不重合（I）如点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段PQ 的中点 M 的轨迹方程；（II）如曲线G x22 axy24ya2510与 D 有公共点,试求a 的最25小值（一）求点 M 的轨迹方程 . 这里 Q 是定点, P 是曲线 C 上的动点, M 是线段 PQ 的中点, M 随 P 点而运动. 既然曲线

13、 C 是抛物线,可以推测M 的轨迹也是一条抛物线. 至于它轨迹方程, 第 7 页,共 31 页 - - - - - - - - - 就是求点 M 的坐标之间的关系. 留意到 P 点的坐标满意曲线C 的方程,而点M 的坐标又可以通过P 和 Q 点坐标来表示,因此这个轨迹方程不难求出. 事实上：由yx2,20 ,解得：xA1,xB2；yA1,yB4,由于 Q 是xy细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -线段 AB 的中点所以有Q1,5优秀学习资料欢迎下载. 22又M

14、x,y为 PQ 的中点, 所以有x12s,y52t. 反解得s4x1,222t4 y5. 因 为 点 P 在 曲 线 C 上 ,ts2（1s2） . 将 上 式 代 入 得24y54x12,化简得y14x1 25. 22845,即4y54x12,用表示点 M 的坐标,就有s4x1,t4y2222化简得y14x1 25. 由1s2,得1x5 4. 844所以点 M 的轨迹方程为：y14x125（1x5）,它表示一个8444抛物线弧段,如图5.1.17 所示 . 图 5.1.17 （二）求 a 的最小值 . 【动感体验】2 2 251很 明 显 G x 2 ax y 4 y a 025 x a 2

15、 y 2 2 7 2,它表示一个半径为常数5着 a 的变化,这是一个可以左右平行移动的圆 . . 是 一 个 圆 的 方 程 . 可 化 为 7 而圆心为（ a ,2）的圆 . 随 5进入文件“09 广东理B19.zjz” 其次页,如图5.1.18 所示,圆 T 表示方程 第 8 页,共 31 页 - - - - - - - - - x 22 ax y 24 y a 2 510 对应的曲线 . 点 T 可以被拖动, 水平移动圆 T 的25位置 . 观看区域 D 与圆 T 有公共点的情形下,点 T 的横坐标 a 应满意的条件 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

16、 - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载图 5.1.18 【思路点拨】求圆与 D 有公共点时的a 最小值,就是求圆与线段AB 相切且位于线段左侧时的 a 的值 . 【动态解析】x如 图5.1.192所 示 , 当 圆 T 经 过 点 A 时 , 将 A （ -1 , 1 ） 代 入a2y2 72解得：a1256或a1256（舍去） . 5图 5.1.19 | a当 圆 T 与 直 线l:xy20相 切 时 , 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 ： 第 9 页,共 31 页 22|7,解得：a752

17、或a752（舍去）. 此时切点坐标为 （72,2251072）,由于721,所以切点在线段AB 内 . 由此可知 a 的最小值为1010a752. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载【简要评注】此题中的动圆圆心在一条水平直线上移动,半径固定,因而比较简单明白圆与区域、圆与直线的位置关系. 而最值是取在线段的端点的状态下仍是圆与直线相切的条件下, 这时此题重点要考察的内容 . 直观的演示可以帮忙我们探

18、究与发觉问题,但只有从数学的角度进行推理和运算才能得到结论 . 4. 求与圆有关的动态向量的数量积例 4 （08 山东临沂）直线AxByC0与圆x2y24相交于M、N两点,如C2A2B2,就OM）. ON（ O 为坐标原点）等于（A2B1C0 D1 【动感体验】圆x2y24是圆心为坐标原点半径为2 的圆,设 OM 和 ON 之间的夹角为,依据向量的数量积的定义OMON|OM|ON|cos4cos,因此关键在于确定向量OM 与 ON 之间的夹角的大小 . 1, 这 说 明 原 点 O 到 直 线由C2A2B2得 到 ：|C|B2A2AxByC0的距离等于1. 因此可以将直线AxByC0看作是经过

19、单位圆上一点并且与单位圆相切的动直线. 打开文件“08 山东临沂 .zjz” ,如图 5.1.20 所示,拖动点P ,观看直线AxByC0与圆x2y24两个交点M、N的变化规律 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载图 5.1.20 【思路点拨】分析条件C2A2B2的几何意义,争论与夹角有关的几何关系. 【动态解析】由于直线AxByC0过点 P 且与单位圆相切, 所以 O

20、P 垂直且平分 MN . 在 RtOPM 中,OP1,OM2,所以POM3,MON2. 3图 5.1.21 所以OMON|OM|ON|cos4cos4cos22. 3因此挑选 A. 【简要评注】解 决 本 题 的 关 键 在 于 在 熟 练 掌 握 向 量 的 数 量 积 概 念 的 前 提 下 挖 掘 条 件C2A2B2,从而确定直线AxByC0的特点以求出向量之间的夹角. 第 11 页,共 31 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

21、- - - - -优秀学习资料 欢迎下载5. 与直线截距有关的不等关系例 5 （08 全国 I 理 10）如直线xy1通过点Mcos,sin,就（）. abAa2b 1Ba2b 1D1C11 b11 b1a2a2【动感体验】由Mcos,sin想 到 单 位 圆 , M 是 这 个 单 位 圆 上 的 动 点 . 条 件 直 线x y1 通过点 M cos,sina b心到直线的距离与单位圆的半径 实际上是说直线和单位圆有公共点,其中隐含圆1 的关系 . 打开文件“ 08 全国 I 理 10.zjz” ,如图 5.1.22所示,经过点M 和点 N 的直线表示方程xy1对应的直线,点P 和点 Q

22、分别ab是直线与 x轴、 y 轴的交点 . 拖动点 N 可以任意转变直线性质特点,争论四个选项所表示的几何意义以及成立的可能性 . 图 5.1.22 【思路点拨】在直角三角形POQ 中考虑斜边上的高与单位圆半径之间的关系. 【动态解析】细心整理归纳 精选学习资料 图 5.1.23 和图 5.1.24 说明a2b 1和a2b 1两种情形都可能成立. 第 12 页,共 31 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 5.1.23 优秀学习资料欢迎下载图

23、 5.1.24 当直线xy1与圆 O 相切时,如图5.1.25 所示,直角三角形POQ 斜边上的ab高线等于圆 O 的半径 1. 图 5.1.25 图 5.1.26 而其他情形下,如图5.1.25 所示,直角三角形POQ 斜边上的高线小于圆O 的半径 1. 通过面积公式可以求得直角三角形POQ 斜边上的高等于abb2,由 第 13 页,共 31 页 - - - - - - - - - a2ab21化简得：111. a2ba2b2因此答案挑选D. 进入文件“08 全国 I 理 10.zjz” 的其次页,如图5.1.27 所示,就给出直线与单位圆没有公共点的情形,这时OMab21,由此111,即选

24、项Ca2ba2b2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载说明的关系 . 图 5.1.27 【简要评注】此题中 a、b 为截距,恰好是直线与两坐标轴的交点及原点所构成的直角三角形的直角边长,因此设法在 Rt POQ 中找出 a 2b 2及 12 12 的几何意义是解决a b问题的关键 . 本节小结争论直线与圆的位置关系,通常转换为圆心与直线的距离问题. 此外,充分利用代数式的所表示的几何性质,能够提高我们的解题效率、削减出错率和运算量 . 拓

25、展练习4x1. （06 湖南理10 改编）如圆x2 3 y2 5 2r2上有且仅有两点到直线3y20的距离为 1,就半径 r 的取值范畴是. 没有公共点的充要条件是2. （08 辽宁理3）圆2 xy21 与直线ykx . 细心整理归纳 精选学习资料 A.C.k2,2 B.k,22, 第 14 页,共 31 页 D.k3,3k,3 3, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载x222 y1有公共点,3. （08 安徽文 10）如过点A

26、 4 0, 的直线 l 与曲线就直线 l 的斜率的取值范畴为（）. mx m 21y4m和圆 C ：A 3,3B 3,3C3,3D3,333334. （08 宁夏、 海南文 20）已知 mR ,直线 l ：x2y28 x4y160（）求直线 l 斜率的取值范畴；（）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧？为什么？2其次节 直线系与圆系1. 动直线与动圆的位置关系l：例 1 （ 06 江西理16）已知圆M ：xcos2ysin21,直线ykx,下面四个命题：A对任意实数k 与,直线 l 和圆 M 相切；B对任意实数k 与,直线 l 和圆 M 有公共点；C对任意实数,必存在实数

27、k ,使得直线 l 与和圆 M 相切；D对任意实数k ,必存在实数,使得直线 l 与和圆 M 相切 . 其中真命题的代号是_（写出全部真命题的代号）【动感体验】这里给出的是圆 M 的标准方程,其半径为 1,圆心为 cos , sin . 可以想象出这些圆的半径都是 1,而圆心在单位圆上,所以这些圆都过原点；而直线l：y kx 就是过原点的直线但不包括 y 轴. 这就不难考虑圆和直线可能有怎样的位置关系了 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

28、- - - - - - - - - - - - -打开文件“06 江西理优秀学习资料欢迎下载A 可以转变的圆M 的16.zjz” ,如图5.2.1 所示,拖动点圆心 A 的位置 . 点 P 是圆 O 上的动点,可以用经过点 O 和点 P 的直线表示直线 l ：y kx . 拖动点 A 或者点 P ,观看和争论圆 M 和直线 l 之间的位置关系 . 图 5.2.1 【思路点拨】将圆 M 与直线 l 之间的位置关系转化为圆 离之间的大小关系 . 【动态解析】M 的半径 OA 与点 M 到直线 l 的距通过图 5.2.1 可以观看到, 圆 M 与直线 l 均经过坐标原点 O ,因此选项 B 正确,但

29、选项 A错误 . 当点 P 在任意位置时, 只要拖动点 A 使得 OP OA,就有直线 l 和圆 M 相切,即对任意实数 k ,都存在实数,使得直线 l 和圆 M 相切, 如图 5.2.2 所示 . 因此选项 D 正确 . 图 5.2.2 当点 A 在任意位置时, 只要拖动点P 使得OPOA,就有直线 l 和圆 M 相切 . 但是当点 A 在 x 轴上时,如图 项 C 错误 . 5.2.3 和图 5.2.4,就直线 l 的斜率 k 不存在,因此选细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 31 页 - - - - - - - - -

30、 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 5.2.3 优秀学习资料欢迎下载图 5.2.4 正确答案为：B、D. 【简要评注】此题是不定项挑选题,需要对每个命题进行判定. 通过动感体验可以发觉动圆与动直线经过的共同点（原点）,动中求静是这类问题的一种常见解答思路. 2. 动直线及其包络问题（0例 2 （09 江西理 16、文 16）设直线系 M ：xcosy2sin12）,对于以下四个命题：A M 中的全部直线均经过一个定点B存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上C对于任意整数n （n3）,存在正 n 边形,其全部边均在M 中的直线上D M 中

31、的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出全部真命题的代号）. 【动感体验】第一是熟悉直线系M ：xcosy2sin1（02）具有怎样的 第 17 页,共 31 页 - - - - - - - - - 特点 . 设0 ,2,3可以分别得到直线x1,y3,x1和y1. 这四2. 事实M 是否具有这样的特点条直线与点 0,2 的距离都等于1,可以想象直线系上由|0cos22 sin1|1 知道,直线系M 所表示的是到点0,2的距2 cossin2离为 1 的直线 . 或者说直线系是以点0,2为圆心、半径为1 的圆上的切线 . 也 可以把cos,sin看 成直 线的单位法向量 ,于是

32、由向量x,y2与细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -cos,sin的数量积等于优秀学习资料欢迎下载2的距离为1 的直线 . 或者说1 知直线系 M 是到点0,直线系是以点0,2为圆心、半径为1 的圆上的切线 . P 或者单击动画按钮,打开文件“09 江西理 16.zjz” ,如图 5.2.5 所示,拖动点观看直线系 M 的特点 . 图 5.2.5 【思路点拨】通过直线 M 的特点及其所围成的区域,对四个命题进行判定 . 【动态解析】M 中的直线不经过任何一个定

33、点,因此选项 A 错误 . 圆 A内的全部点均不在 M 中的任何一条直线上,因此选项 B 正确 . 当 匀称变化,即点 P 在圆周上匀速运动时,直线之间的交点就是正 n 边形的顶点,如图 5.2.6-5.2.11 所示,因此选项 C正确 . 图 5.2.6 图 5.2.7 图 5.2.8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 31 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 5.2.9 优秀学习资料欢迎下载图 5.2.11 图 5.2.10

34、用鼠标双击动画按钮的绿色部分（最右侧部分）可以打开动画按钮的属性对话框,如图 5.2.12 所示,在动画运动的频率一栏输入大于3 的整数后单击“ 确定” 按钮,再次单击动画按钮,即可出现由M 中的直线所组成的对应正多边形. 图 5.2.12 M 中的直线所能围成的区域是圆 的正三角形,因此选项 D错误 . 所以答案为： B、C. 【简要评注】A 内部,而其内部可以有很多多个面积不同抓住直线系的特点才能更好地争论其特点. 除了通常的过定点的直线系以及平 第 19 页,共 31 页 行直线系外,此题中的直线系也是一种典型类型. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载3. 动圆及其性质特点例 3（07 江西理 16）设有一组圆Ck:xk2 1y3 22 k4kN*下列四个命题：存在一条定直线与全部的圆均相切存在一条定直线与全部的圆均相交 存在一条定直线与全部的圆均不相交 全部的圆均不 经过原点其中真命题的代号是【动感体验】（写出全部真命题的代号）圆打开文件“07