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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章：有理数一、有理数的基础学问1、三个重要的定义（1）正数：像 1、2.5 、这样大于 0 的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“ ” 号,表示比 0 小的数叫做负数；（3）0 即不是正数也不是负数,0 是一个具有特别意义的数字,0 是正数和负数的分界,不是表示不存在或无实际意义；概念剖析：判定一个数是否是正数或负数,不能用数的前面加不加“+”“ ” 去判定,要严格依据“ 大于0 的数叫做正数；小于0 的数叫做负数” 去识别；正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量；全部正整数组成正整数集合；全部负整数组成负整数集合；正整数
2、、0、负整数统称为整数,正整数、 0、负整数组成整数集合；经常有温差、时差、高度差 海拔差 等等差之说,其算法为高温减低温等等；例 1 以下说法正确选项 A、一个数前面有“ ” 号,这个数就是负数； B、非负数就是正数；C、一个数前面没有“ ” 号,这个数就是正数； D、0 既不是正数也不是负数；例 2 把以下各数填在相应的大括号中 8,3 ,0.125 ,0,1 ,6,0 . 25,4 3正整数集合 整数集合负整数集合 正分数集合例 3 假如向南走 50 米记为是 50 米,那么向北走 782 米记为是 _, 0 米的意义是_；例 4 对某种盒装牛奶进行质量检测,一盒装牛奶超出标准质量2 克
3、,记作 +2 克,那么5克表示_ 学问窗口： 正数和负数通常表示具有相反意义的量,一个记为正数,另一个就记为负数,我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正,把相反意义的量规定为负；例 5 如a0,就 a 是ab,就ab；如a0,就 a是；如ab,就ab是；如是；（填正数、负数或0）2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数；有理数的分类如下：（1）按定义分类：有理数（2）按性质符号分类：正整数正有理数正整数 正分数整数0有理数负整数0分数正分数 负分数负有理数负整数 负分数概念剖析：整数和分数统称为有理数,也就是说假如一个数是有理数,就它就肯定可以化成整数
4、或分数；正有理数和 0 又称为非负有理数,负有理数和0 又称为非正有理数；整数和分数都可以化成小数部分为0 或小数部分不为0 的小数,但并不是全部小数都是有理数,只有有限小数和无限循环小数是有理数；例 6 如 a 为无限不循环小数且a0, b 是 a 的小数部分,就ab是（）第 1 页,共 27 页A、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能确定例 7 如 a 为有理数,就 a 不行能是（）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、整数 B、整数和分数 C、q p0 D、p3、数轴标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；数轴有三要素：原点、正
5、方向、单位长度；画一条水平直线,在直线上取一点表示 上向右的方向为正方向,就得到数轴；0（叫做原点）,选取某一长度作为单位长度,规定直线在数轴上所表示的数, 右边的数总比左边的数大, 即从数轴的左边到右边所对应的数逐步变大,所以正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于负数；概念剖析：画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不行；数轴的方向不肯定都是水平向右的,数轴的方向可以是任意的方向；数轴上的单位长度没有明确的长度,但单位长度与单位长度要保持相等；a 的点在原点有理数在数轴上都能找到点与之对应,一般地,设a 是一个正数,就数轴上表示数的右边,与原点的距离是 a 个单位长度； 表示数 度
6、；a 的点在原点的左边, 与原点的距离是 a 个单位长在数轴上求任意两点 a、b 的距离 L, 就有公式 L a b 或 L b a,这两个公式挑选那个都一样；例 8 在数轴上表示数 3 的点到表示数 a 的点之间的距离是 10,就数 a；如在数轴上表示数 3 的点到表示数 a 的点之间的距离是 b ,就数 a；例 9 a,b 两数在数轴上的位置如图,就以下正确选项（）b 0 aA、 a+b0 B、 ab0 C、a 0 D、a b 0b例 10 以下数轴画正确选项（）0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 0 1 2 A B 2 C 2 D 4、相反数假如两个数只有符号不同,那么其中一个数
7、就叫另一个数的相反数；0 的相反数是 0,互为相反的两个数,在数轴上位于原点的两就,并且与原点的距离相等；概念剖析：“ 假如两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”,不要茫然的认为“ 假如两个数符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”；很明显,数 a 的相反数是 a,即 a 与 a互为相反数；要把它与倒数区分开；互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边,一个在原点的右边,且离原点的距离相等,也就是说它们关于原点对称；在数轴上离某点的距离等于a 的点有两个；b1 ab0；假如数 a 和数 b 互为相反数,就 a +b =0；a1 ab0或ba求一个数的相反数,只要
8、在这个数的前面加上“ ” 即可；例如ab的相反数是ba；例 11 以下说法正确选项（）A、如两个数互为相反数,就这两个数肯定是一个正数,一个负数；B、假如两个数互为相反数,就它们的商为-1 ；C、假如 a+b =0,就数 a 和数 b 互为相反数；D、互为相反数的两个数肯定不相等；例 12 求出以下各数的相反数名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - aa1ab3c2偶数个负号相当于一个正4例 13 化简以下各数的符号4 5.132 .0 25学问窗口： 一个数前面加上“ ” 号,该数就成了它的相反数；一个数前面的符号确定
9、方法：奇数个负号相当于一个负号,号,而与正号的个数无关；5、肯定值 数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a 的肯定值；（1）肯定值的几何意义：一个数的肯定值就是数轴上表示该数的点与原点的距离；（2）肯定值的代数意义：一个正数的肯定值是它本身；0 的肯定值是 0；一个负数的肯定值是它的相反数,可用字母a 表示如下：aaaaa00 a00（3）两个负数比较大小,肯定值大的反而小；概念剖析：“ 一个数的肯定值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”个数的肯定值都是非负数,即a0；,而距离是非负,也就是说任何一互为相反数的两个数离原点的距离相等,也就是说互为相反数的两个数肯定值相等；例 14 假如两个
10、数的肯定值相等,那么这两个数是 、互为相反数或相等；A、互为相反数 B、相等 C、积为 0 D例 15 已知 ab0, 试求 | a | | b | | ab | 的值；a b ab例 16 如| x|=- x,就 x 是_数；例 17 如 x+3 + y2 =0,就（xy2005 = 例 18 将以下各数从大到小排列起来0、5 、63 、40. 0001）例 19 假如两个数 a 和 b 的肯定值相等,就以下说法正确选项（A、ab B、a1 C、ab0 D、不能确定b二、有理数的运算1、有理数的加法（1）有理数的加法法就：同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加；肯定值不等的异号两 数相加
11、,取肯定值较大数的符号,并用较大的肯定值减去较小的肯定值；互为相反的两个数相加得 0；一个数同 0 相加,仍得这个数；例 20 运算以下各式（ 3 ） （ 4 ）+7 .4 85（10）21（2）33.53+3 . 2.25（2）有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律： a+b + c = a + b + c 学问窗口： 用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分 数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加；例 21 运算以下各式名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - -
12、 - - - - 73 81020 .12531311120.254832、有理数的减法（1）有理数减法法就：减去一个数等于加上这个数的相反数；（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼,没有顾到结果的符号；仍用学校运算的习惯,不把减法 变加法；只转变运算符号,不转变减数的符号,没有把减数变成相反数；（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法,再按有理数加法法就进行运算；概念剖析： 减法是加法的逆运算,用法就“ 减去一个数等于加上这个数的相反数” 即可转化；转化后它满意加法法就和运算律；153oC,中午比半夜高多少度？例22 运算：71195例 23月球表面的温度中午是o 101C,半夜是例 2
13、4 已知 m是 6 的相反数, n 比 m 的相反数小 5,求 n 比 m 大多少？3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法就：两个有理数相乘,同号得正,异号得负,并把肯定值相乘；任何数与0相乘都得 0；（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律： ab c=a bc ；交换律： a b+c= ab+ac；（3）倒数的定义：乘积是 1 的两个有理数互为倒数,即 ab=1,那么 a 和 b 互为倒数；倒数也可以 看成是把分子分母的位置颠倒过来；概念剖析：“ 两个有理数相乘,同号得正,异号得负” 不要误认为成“ 同号得正,异号得负”多个有理数相乘时,积的符号确定规律：多个有理数相乘,如有一个
14、因数为0,就积为 0；几个都不为 0 的因数相乘,积的符号由负因数的个数来打算,当负因数的个数为奇数时,积为负；当负 因数的个数为偶数时,积为正；有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号,再求各因数肯定值的积；例 25 运算以下各式：1.25 112 .5 725105.74121111 7846245. 752535.25 49245 999254、有理数的除法 有理数的除法法就：除以一个数,等于乘上这个数的倒数,0 不能做除数；这个法就可以把除法转 化为乘法；除法法就也可以看成是：两个数相除,同号得正,异号得负,并把肯定值相除,0 除以 任何一个不等于 0 的数都等于 0；概念剖析：除法是乘法
15、的逆运算,用法就“ 除以一个数,等于乘上这个数的倒数” 即可转化,转化后它满意名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 乘法法就和运算律；倒数的求法：求一个整数的倒数,直接可写成这个数分之一,即 a 的倒数为 1 a 0 ；求一个真a分数和假分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下即可,即 n 的倒数为 m ；求一个带分数的倒数,m n应先将带分数化为假分数,再求其倒数；求一个小数的倒数,应先将小数化为分数,再求其倒数；留意： 0 没有倒数；例 25 倒数是其本身的数有 _；例 26 运算以下各式：2.5118 5714868
16、25、有理数的乘方（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a 的积的运算叫做乘方,乘方是一种运算,是几个相同的因数的特别乘法运算,记做“a ” 其中 a 叫做底数,表示相同的因数,nn 叫做指数,表示相同因数的个数,它所表示的意义是 n 个a相乘,不是 n 乘以a,乘方的结果叫做幂；（2）正数的任何次方都是正数,负数的偶数次方是正数,负数的奇数次方是负数,0 的任何非 0次幂都是 0,1 的任何非 0 次幂都是 1,1偶数次幂是 1、1奇数次幂是 1；概念剖析： “a ”n所表示的意义是 n 个 a 相乘,不是 n 乘以 a； a na n；由于 a 表示 n 个 na相乘,而 a n表示 n
17、 个 a 的相反数；任何数的偶次幂都得非负数,即 a 2n 0；3例 27 2 的意义是 _； 5 的意义是 _；4 6 5 的意义是 _；7例 28 当 a 3,b 3 时,就 a 2b 2_；2例 29 运算： 2 2022 2 2022例 30 如 a , b a 0 , b 0 互为相反数, n 是自然数,就（）A、a 2 和 b 2 互为相反数 B、a 2n 1和 b 2n 1互为相反数C、2 a 和2 b 互为相反数 D2n、n a 和n b 互为相反数2 ；学问窗口： 全部的奇数可以表示为1或2n1；全部的偶数可以表示为6、有理数的混合运算（1）进行有理数混合运算的关建是娴熟把握
18、加、减、乘、除、乘方的运算法就、运算律及运算顺序；比较复杂的混合运算,一般可先依据题中的加减运算,把算式分成几段,运算时,先从每段的乘方开头,按次序运算,有括号先算括号里的,同时要留意敏捷运用运算律简化运算；（2）进行有理数的混合运算时,应留意：一是要留意运算次序,先算高一级的运算,再算低一级的运算；二是要留意观看,敏捷运用运算律进行简便运算,以提高运算速度及运算才能；学问窗口： 有理数混合运算的关键时把握好运算次序,即先乘方、再乘除、最终加减；有括号的先算括号；如是同级运算,应依据从左到右的次序进行；例 31 运算以下各式10111163321224221第 5 页,共 27 页23433名
19、师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 32 已知 a 的肯定值为 3、且 a 满意 x 的一元一次方程ab x2 3a x20,就a3b2a的b值为多少？7、科学记数法（1）把一个大于 10 的数记成 a 10 的形式,其中 a 是整数位只有一位的数,这种记数方法叫做科 n学记数法；（2）与实际完全符合的数叫做精确数,与精确数接近的数叫做近似数；一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位；（3）一个数,从左边第一个不是 做这个数的有效数字；概念剖析：0 的数字起,到精确到的数位止（最末尾一位） ,所得的数字,叫I 把一
20、个数 b 用科学记数法表示为an 10 ,其中1a10, n 为自然数,得1 .8800004105,当b10时, n 为这个数 b 的整数位数减 1；例如：用科学记数法表示188000.04它满意11.880000410,561（188000.04的整数部分有 6 位数）；当1b10时, n为 0；例如：用科学记数法表示1 .8800004得1 .8800004100当b1时, n 为由 b 变到 a的过程中小数点移动位数的相反数；科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简洁的记数方法,那么就在记数的过程中不能显现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词显现；II在让数字精
21、确和数有效数字时应留意：.09；在四舍五入法精确小数时不行轻视,即假如要求将一个小数精确到千分位,而四舍五入所得到的结果千分位为 0 时,该 0 不能省略；如：将2. 08965601精确到千分位,应为2. 090,不应为2其他分位也应留意；在数一个数的有效数字时应当严格依据“ 从左边第一个不是0 的数字起,到精确到的数位止（最末尾一位）,所得的数字” ； 科学记数法an 10 的形式中,效数字只与a 有关,而与n 10 无关；例 33 用科学记数法表示以下各数1893400000 800032000 0.000003578012 120 万人民币；例 34 3.256 有_位效数字,它们分别
22、是 _；0.032560 有_位效数字,它们分别是 _； 3 . 2560 10 8有 _位效数字,它们分别是 _； 3 . 256 10 8有_位效数字,它们分别是 _；例 35 用四舍五入法完成以下各题 0 . 02954 _（精确到千分位）,所得结果有 _位效数字,它们分别是； 0 . 999999 _（精确到万分位）,所得结果有 _位效数字, 它们分别是 _； 0 . 93 _（精确到个位）所得结果有 _位效数字,它们分别是 _；练习：一、挑选题：1、以下说法正确选项（）第 6 页,共 27 页A、非负有理数即是正有理数 B、0 表示不存在,无实际意义C、正整数和负整数统称为整数 D
23、、整数和分数统称为有理数2、以下说法正确选项（）A、互为相反数的两个数肯定不相等 B、互为倒数的两个数肯定不相等C、互为相反数的两个数的肯定值相等 D、互为倒数的两个数的肯定值相等名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、肯定值最小的数是（）A、1 B、0 C、 1 D、不存在4、运算 2 4 2 4 所得的结果是（）A、0 B、32 C、32 D、16 5、有理数中倒数等于它本身的数肯定是（）A、1 B、0 C、 1 D、 1 6、（ 3 ） （ 4 ）+7 的运算结果是（）A、0 B、8 C、 14 D、 8 7、（ 2 ）的相反数的倒数
24、是（）A、1 B、1 C、2 D、 2 2 28、化简：a 2 4,就 a 是（）A、2 B、 2 C、2 或 2 D、以上都不对9、如 x 1 y 2,就 x y =（）A、 1 B、1 C、0 D、3 10、有理数 a,b 如下列图位置,就正确选项（）A、a+b0 B、ab0 C、b- a| b| 二、填空题11、（ 5 ）+（ 6 ）=_；（ 5 ） （ 6 ）=_；12、（ 5 ） （ 6 ）=_；（ 5 ） 6=_；413、2 2 1 _；2 4 1=_；2 214、3 2 1 _；3 2 1 _；27 92002 200315、1 1 _；16、平方等于 64 的数是 _；_的立方
25、等于 64 17、5 与它的倒数的积为 _；718、如 a、b 互为相反数,c、d 互为倒数,m的肯定值是 2,就 a+b=_；cd=_；m=_；19、假如 a 的相反数是 5 ,就a=_,| a|=_,| a 3|=_ ；20、如 | a|=4 ,| b|=6 ,且 ab0,就 | a- b|=_；三、运算：（1）482 825 5 23（2）31532 252514（3）2 33232（4）24843（5）32162 36 1 35（6）1.359四、某工厂方案每天生产彩电 100 台,但实际上一星期的产量如下所示：星期一二三四五六日第 7 页,共 27 页名师归纳总结 - - - - -
26、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 增减/ 辆 1 +3 2 +4 +7 5 10 比方案的 100 台多的记为正数,比方案中的 100 台少的记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天的产量最多,那一天的产量最少？五、某工厂在上一星期的星期日生产了 100 台彩电,下表是本星期的生产情形：星期 一 二 三 四 五 六 日增减/ 辆 1 +3 2 +4 +7 5 10 比前一天的产量多的计为正数,比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最终一天星期日的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？其次章：整式的加减一、代数式的概念1、用字母表
27、示数之后,可能用字母表示的有（1）具有肯定数量的数；（2）一些变化的规律；（3）数的运算法就和运算定律；（4）数量关系；（5）数学公式；2、用字母表示数的意义用字母表示数是代数的一个重要特点,它的优点在于能简明、扼要、精确地把数和数之间的关系表示出来,化特别为一般,深刻地揭示数量之间的联系,为我们学习数学和应用数学带来便利；3、用字母表示数学公式（1）加法、乘法的运算律； （2）平面图形的面积公式； （3）平面图形的周长公式； （4）立体图形的体积公式；4、代数式的概念用字母表示数之后,显现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子,我们把它们叫做代数式；概念剖析：运算符号指的是加、减、
28、乘、除、乘方、肯定值,大中小括号以及以后要学到的开方符号,但不包括大于、小于号、等号等表示数量关系的关系符号；单个的数字和字母也是代数式；判定一个式子是否是代数式,只要看看它能否满意代数式的概念即可；例1、 以下的式子中那些是代数式x1y2a10ny3x501112x28x52x33 m2x22 m2 57 7pmn7x5y是代数式的有 _（只填序号）；例 2、以下各式中不是代数式的是（）、a+b=b+aA、 B、0 C、x1y D5、书写代数式的规定（1）数字与字母、字母与字母相乘时,乘号可以省略不写或用“ ” 代替,省略乘号时,数字因数应写在字母因数的前面,数字是带分数时要改写成假分数,数
29、字与数字相乘时仍要写“ ” 号；（2）代数式中显现除法运算时,一般要写成分数的形式；（3）用代数式表示某一个量时,代数式后面带有单位,假如代数式是和、差形式,要用括号把代 数式括起来；例 3、以下个代数式中41aabcn3人25 25.a2b第 8 页,共 27 页2书写规范的有 _（只填序号）；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、代数式的意义代数式的意义是把代数式的数量关系翻译成用文字表达的数量关系,即为读代数式用语言把一个代数式的数学意义表示出来时,序,仍要留意语言的简练精确；例 4、说出以下代数式的意义要正确表达式中所含有代数运算
30、以及它们运算顺2mn的意义是 _；全部字母因数的指数2mn 的意义是 _；mn的意义是 _；t7、单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式,其中数因数叫做单项式的系数,之和叫做单项式的次数；单独的一个数或字母也叫做单项式；概念剖析：单项式是代数式中的一种特别形式；要判定一个式子是否是单项式,只要看看它是否满意单项式的定义；单独的一个数作为单项式时,其系数就是它本身,次数为 系数就是 1,次数为它本身的次数；0；单独的一个字母作为单项式时,其如一个单项式的次数为 m ,我们就叫该单项式 m 次单项式；单项式与单项式相等的条件：几个单项式完全相同；例 5、以下代数式中, ab1 2x31a3x
31、38ab52a8x2022是单项式的有（只填序号）；17ab例 6、代数式5 abc,7x21,2x,211中,单项式的个数是（）55A、4 个B、3 个C、2 个D、1 个6,求 m和 n的值；例 7、单项式2mxn1y2n1是关于 x 、 y 的 4 次单项式,其系数是例 8、如单项式3 x5y4与单项式n mxy4相等,就 m, n；8、多项式几个多项式的和叫做多项式, 其中、每个单项式都叫做多项式的项, 不含字母的项叫做常数项,次数最高项的次数叫做该多项式的次数,每个单项式的系数都是多项式的系数；假如一个多项式有n 项,且次数为 m,就我们称该多项式为 概念剖析：m 次 n 项式；多项
32、式是代数式中的一种特别形式；在多项式里,全部字母的指数都是非负数；多项式与多项式相等的条件：几个多项式的对应项完全相同；例 9、多项式3x5y2z是由哪些项组成,系数是,次数；1abr2是由哪些项组成,系数是,次数；2例 10、如m2 x5y3 x3yx2xy1是关于 x 、 y 的四次四项式,就 m例 11、如x3y2xny2n2 x1是关于 x 、 y 的四次三项式,就 n；如3 xy2 xny2n2 x1是关于 x 、 y 的多项式,且不含一次项就n第 9 页,共 27 页例 12、当 x取何值时,多项式2x5y5可化简为关于 y 的一次单项式；3名师归纳总结 - - - - - - -
33、精选学习资料 - - - - - - - - - 例 13、如多项式7xmy23xyn与多项式nx4y23 xy7相等,就 m,n；9、整式单项式和多项式统称整式二、代数式的运算 1、同类项 所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项,常数项也是同类项；概念剖析： 判定同类项的标准有两条： （ 1）所含字母相同；（2）相同字母的指数也分别相同；即：“ 两相同,一关系；” 两相同：所含字母相同、相同字母的指数也分别相同；一关系：字母与字母之间是乘积关系；例 14、指出多项式2x4y38xy2x3y4x4y31xy里的同类项它们分别是；32例 15、如7 xm2y4与3 x3yn是同类
34、项,就 m _, n _；例 16、当 n_时,3 x2y5与2x2y3 n1是同类项；2、合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项,不是同类项不能合并；合并同类项法就：（1）系数相加,所得结果作为系数； （2）字母和字母的指数不变；例 17、把多项式13x976x12x23x合并同类项后得 _；例 18、当a1时,求多项式3 a25 a26a26a3的值；2例 19、已知2xm yn与1x2y同类项,求多项式32 m2n3 mn5m2n3mn64 m2n7m2n2 m2n5的的值；例 20、如单项式4 xyn与2 x2m3y3的和仍是单项式,就4m3 n3、去括号去括号法就：（1）括号前是“+” 号,把括号和它前面的“+” 号去掉后,原括号里各项符号都” 号去掉后,原括号里各项的符号都不转变；（2）括号前是“” 号,把括号和它前面的“要转变；例 21、将以下各式的括号去掉3aaby3bc1 7x2y33 aabbc1 72 xy37x22xy7 x23 y2xy3 aabbc1 例 22、化简a5 aab2 b名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页